сладко стянул

А вот как его себе видит Новиков: (цитата не точная, картинка моя. возможно, уместно сказать, что у него W — гладкое (n+1)-мерное многообразие, которое разбито компактным n-мерным подмногообразием V на две части A и B; но на рассуждение это не влияет)

«Пусть x∈H_*(A) и z⊂A — представляющий его цикл. Тогда z гомологичен в W некоторому циклу z', лежащему в B, с помощью плёнки c⊂W. Пересечение c ∩ V есть цикл z''⊂V, представляющий класс гомологий x'∈H_*(V) такой, что i1(x')=x.»

Это не доказательство, а рассказ, что происходит на самом деле. Строгое доказательство я придумал и написал в предыдущем посте — это было совсем не сложно (если надо, даже распишу, почему это то же самое что у Новикова) — и при этом я не получил понимания ситуации. А это, может быть, и самое важное

Обозначим V:=A∩B и W:=A∪B, и докажем, например, сюръективность i1.

Вот так мы рассуждаем сейчас:
«Так как j1 и j2 сюръективны, в данном случае точная последовательность Майера—Вьеториса превращается в короткую точную последовательность

0 -> H_*(V) -F-> H_*(A)⊕H_*(B) -G-> H_*(W) -> 0,
где F(u) := i1(u)⊕i2(u) и G(x⊕y) := j1(x)-j2(y).

Пусть теперь x∈H_*(A); тогда j1(x)∈H_*(W). Так как j2 сюръективно, имеем j1(x)=j2(y) для некоторого y∈H_*(B). Получаем G(x⊕y)=0. Наша последовательность точна, поэтому x⊕y=F(x') для некоторого x'∈H_*(V). Итак, x=i1(x'). Сюръективность доказана.»

Рассуждение строгое и чисто алгебраическое; его проще придумать с листочком бумаги, чем с закрытыми глазами

Пусть p — большое простое число (хотя бы 5). В каком диапазоне известна p-компонента в стабильных гомотопических группах сфер?

Зафиксирую тут, что нагуглил. Удобно обозначить q:=2p-2.

-1. Методом убивающих пространств легко показать, что в размерностях <2q есть только одна копия Z/p, которая сидит в q-ой группе. То есть легко досчитать примерно до ~4p. При p=5 получается 15.

0. Hirosi Toda в серии статей "p-primary components of homotopy groups" (1958-1959) досчитал до p^2q-4, то есть примерно до 2p^3. При p=5 получается 196. Видимо, он комбинировал метод убивающих пространств с EHP-последовательностями, композициями, скобками Тоды. В книжке "Композиционные методы..." почему-то сформулирован результат только до размерности pq-2 ~ 2p^2; не знаю, почему.

1. Методами Тоды много считал Shichiro Oka. В серии статей The Stable Homotopy Groups of Spheres (1971-1975) этим методом он посчитал компоненты до размерности (2p^2+p-2)q-6, то есть примерно до 4p^3. При p=5 получается 416.

2. Комбинируя с вычислениями Накамуры* второго листа в с.п. Адамса, Ока смог продвинуться ещё на 4p размерностей и добраться до (2p^2+p)q-4. При p=5 получается 436.

3. Используя те же вычисления Накамуры, но для с.п. Адамса-Новикова (и спектра Брауна-Петерсона, следуя Миллеру и Нейзендорферу), Marc Aubry посчитал компоненты до размерности
(3p^2+4p)q-1, то есть примерно до 6p^3. При p=5 получается 759.
(статья "Calculs de groupes d'homotopie stables de la sphere, par la suite spectrale d'Adams-Novikov", 1984. Это диссертация под руководством Лемэра.)

4. В книжке Douglas Ravenel "Complex cobordism and stable homotopy groups of spheres" (1986) предлагается некий "метод бесконечного спуска" (использующий, помимо с.п. А.-Н., всякие накопленные знания про BP, хроматическую теорию, введённые Равенелем спектры T(m)...).
Равенел не говорит, насколько далеко удаётся продвинуться для любого p, но при p=5 проводит показательные вычисления и добирается до 999.

5. Наконец, в тексте Hirofumi Nakai, Douglas Ravenel "The method of infinite descent in stable homotopy theory II" высказана надежда, что примерно теми же методами можно добраться примерно до p^4q ~ 2p^5. Этот текст появился как препринт в 2008, выложен на архив в 2018, опубликован в 2024 в New York Journal of Mathematics. При публикации в нём появился абзац:

It is unlikely that either author will take up this computational project any time soon. The purpose of the present paper is to document what we believe to be the most promising method of extending the computation of [Rav04, Chapter 7] in hopes that some more energetic mathematicians will use it in the future.

*Osamu Nakamura, On the cohomology of the mod p Steenrod algebra (1975)

P.S. Конечно, в описанных размерностях известны не только группы, но и композиционные умножения между ними; у Aubry соответствующая алгебра даже задана образующими и соотношениями

Во введении к сборнику статей 50-60-ых годов "Топологическая библиотека" С.П.Новиков пишет:
...К сожалению, окончательное превращение топологии в строгий и точный раздел чистой математики имел и отрицательные последствия: возрос уровень абстрактности языка, его формализация — я бы сказал, излишняя, отрывающая топологию от классической математики <...> Изложения [возникших в то время] идей и результатов классической топологии в учебной литературе сводится к немыслимо абстрактно и формально изложенным кусочкам, а в остальном просто отсутствует. По-счастью, лучшие достижения этого периода приемлемо описаны в оригинальных работах — весьма ясно и с полезными доказательствами...

Кажется, я нашёл иллюстрацию. Пусть AUB — топологическое пространство, A, B — его хорошие подмножества (например, открытые). Попробуйте доказать утверждения с картинки в предположении, что j1 и j2 сюръективны.

(Это несложная задача по теории гомологий. Попозже перескажу, как её решение записано в статье Новикова)

600 страниц про отношение эквивалентности?

а может лучше

100 страниц про правило Лейбница
df/dt = df/dx * dx/dt?
https://arxiv.org/abs/2410.20504

Её случайно занесло или божественной работой?

Как всё-таки доказывается утверждение 3? Оно очевидно вытекает из двух простых лемм:

Лемма 1. Если односвязное пространство X таково, что
(1) гомоморфизм Гуревича π_*(X) -> H_*(X) сюръективен,
(2) H_*(X) свободная абелева,
то X гомотопически эквивалентно букету сфер. Верно и обратное.
(Действительно: можно построить отображение из букета сфер в X, задающее изоморфизм на гомологиях, и применить гомологическую теорему Гуревича.)

Лемма 2. Свойства (1) и (2) сохраняются при переходе к ретрактам.
(Упражнение.)
————-
Как видно, доказательство не обобщается на случай с {Ai}. Да и в целом, гомологическая теорема Уайтхеда это как будто читерство — надо уметь и изящно ей владеть (?), и обходиться без неё (?)

Для чего эта надрывная музыка сфер?

Эти результаты обобщаются: зафиксируем класс {Ai} односвязных пространств конечного типа, и определим

W := букеты пространств вида
Σ(ΩAi1 л ΩAi2 л ... л ΩAik),

P+ := произведения пространств вида
ΩAi1 л ΩAi2 л ... л ΩAik и
ΩΣ(ΩAi1 л ΩAi2 л ... л ΩAik),

P- := произведения пространств вида
ΩΣ(ΩAi1 л ΩAi2 л ... л ΩAik).

Тогда аналогично доказываются:
Утв. 1'. Если X ∈ W, то ΩX ∈ P-.
Утв. 2'. Если Y ∈ P+, то ΣY ∈ W.
Утв. 5'. Если ΩY ∈ P+, то на каждом сомножителе ΩAi1 л ΩAi2 л ... л ΩAik, входящем в разложение ΩY, можно ввести структуру H-пространства.
Утв. 6'. Пусть W замкнут относительно ретрактов. Тогда: если ΩΣX ∈ P+, то ΩΣX ∈ P-.

Замыкается петля и в середине неё я

Доказательство утверждения 1:
Если X односвязно и букет сфер, то ΩX — это ΩΣ(букет сфер). По теореме Хилтона—Милнора, такое пространство — это произведение пространств вида ΩΣ(смэш сфер) = ΩS^n для некоторого n.

Доказательство утверждения 2:
Если X — произведение сфер и петель на сферах, то по формуле для надстройки над произведением ΣX — это букет надстроек над пространствами вида "смэш сфер и петель над сферами". Мы хотим доказать, что каждая такая надстройка — букет сфер.

Действительно: ΣΩS^n = ΣΩΣS^{n-1} = S^n v S^{2n-1} v ... из расщепления Джеймса. Поочерёдно засовывая надстройку в каждый сомножитель вида ΩS^n в смэше, можно с помощью сигм истребить всех омег. В итоге останется букет надстроек над смэшем букетов сфер, а это букет сфер.

Доказательство утверждения 3: это несложно, см. Lemma 3.1 в https://arxiv.org/abs/2006.16320 или ниже

Доказательство утверждения 4: это сложнее, см. Theorem 3.10 в https://arxiv.org/abs/2306.12814

Доказательство утверждения 5: действительно, на ретракте H-пространства возникает структура H-пространства. Значит, если ΩY∈ P+ содержит сомножитель S^n, то на S^n возникает структура H-пространства. Адамс доказал, что при n≠1,3,7 так не бывает.

Доказательство утверждения 6:
Если ΩΣX ∈ P+, то ΣΩΣX ∈ W по утверждению 2. При этом ΣX — ретракт пространства ΣΩΣX по расщеплению Джеймса, а W замкнуто относительно ретрактов по утверждению 3. Значит, ΣX∈ W. Теперь ΩΣX ∈ P- по утверждению 1.

Мой маршрут — это путь из точки $a$ в точку $a$

В доказательствах нужно знать: (помимо стандартных свойств типа "смэш-произведение коммутирует с надстройкой", "смэш двух сфер это сфера", "смэш со сферой это итерированная надстройка" итд)

Лемма: Σ(XxY) гомотопически эквивалентно ΣX v ΣY v Σ(XлY).
("надстройка над произведением — это надстройка над букетом смэшей")

Теорема Хилтона—Милнора: ΩΣ(X1 v X2 v ...) гомотопически эквивалентно произведению пространств вида ΩΣ(Xi1 л Xi2 л ... л Xik), где 1≤i1≤.. ≤ ik, и каждый такой смэш встречается известное число раз (соответствует размерностям мультиградуированных компонент свободной алгебры Ли).
("петли на надстройке над букетом — это произведение петель на надстройках над смэшами")

Расщепление Джеймса: ΣΩΣX гомотопически эквивалентно букету ΣX v Σ(XлX) v Σ(XлXлX) v ....

Мои ноги обогнут за серпантином серпантин

Эти классы пространств забавно взаимодействуют, помимо очевидных включений P- ⊆ P ⊆ P+.

Во-первых, из расслоений Хопфа выводится, что
ΩS^3 ~ ΩS^2 x S^1,
ΩS^7 ~ ΩS^4 x S^3,
ΩS^15 ~ ΩS^8x S^7,
поэтому P- можно определить как "пространства из P, в которых петель на S^2, S^4 и S^8 не меньше, чем копий S^1, S^3, S^7".

Ещё есть вот такая симметрия/сопряжённость:
Утв. 1. Если X ∈ W, то ΩX ∈ P-.
Утв. 2. Если Y ∈ P+, то ΣY ∈ W.
Утв. 3. W замкнуто относительно ретрактов.
(То есть: если X ∈ W и существуют отображения A -i-> X -r-> A, такие что ri: A->A гомотопно тождественному, то A ∈ W)
Утв. 4. P замкнуто относительно ретрактов.

И вот ещё забавные факты:
Утв. 5. Если ΩZ ∈ P+, то ΩZ ∈ P.
Утв. 6. Если ΩΣX ∈ P+, то ΣX∈ W и поэтому ΩΣX ∈ P-.

Зачем это нужно? Иногда кучей рассуждений схожего характера удаётся доказать, что для некоторого Z верно ΩZ ∈ P. Это приятно, но копии S^1, S^3, S^7 мешаются под ногами. Но если заодно мы знаем, что ΩZ — это произведение пространств вида ΩΣX, то из Утв.4 и 6 следует, что "лишних копий нет" — их можно засунуть по Хопфу в петли на сферах, и в итоге ΩZ ∈ P-.

Минутка гомотопической суеты

Я пойду дорогой той где никто не проходил

Будем говорить, что пространство X имеет конечный тип, если все группы π_n(X) конечно порождены. (Если X односвязно, то гомотопические группы можно заменить на целочисленные гомологии, а ещё тогда у X есть CW-модель, у которой в каждой размерности конечное число клеток.)

Определим четыре класса:

W := класс односвязных топологических пространств конечного типа, гомотопически эквивалентных букетам сфер;

P+ := класс связных топологических пространств конечного типа, гомотопически эквивалентных произведениям сфер и петель на сферах;

P := класс связных топологических пространств конечного типа, гомотопически эквивалентных произведениям S^1, S^3, S^7 и петель на сферах;

P- := класс связных топологических пространств конечного типа, гомотопически эквивалентных произведениям петель на сферах.

(Здесь "петли на сферах" — это пространства вида ΩS^n. Все произведения и букеты могут быть бесконечными, но из слов "конечного типа" следует, что в каждой размерности их конечное число. Например, всякое пространство из W выглядит как букет, содержащий для каждого n>1 по B_n копий n-мерной сферы, где B_n≥0 любые конечные)

3. (Интригующее заявление, что в итоге теорию гомотопий можно запрятать в обычные группоиды + категорию чумов)

It is perhaps instructive to mention how our theory describes homotopy
types. These correspond to enhanced groupoids, that is, enhanced categories given by fibrations C→Pos+ whose fibers are groupoids. In a sense, the whole gadget exhibits a sort of an Eckmann-Hilton duality between the ideas of order (exemplified by partially ordered sets J ∈ Pos+) and symmetry (exemplified by the groupoids C_J). In another sense, it restores the original idea of “symmetries between symmetries”, but in different guise. There are no “higher groupoids”, there are just groupoids in the usual sense – but a whole bunch of them (just as a scheme can be thought of as a bunch of sets of its points over various affine schemes)

2. (Тут немного пафосно. Идея Гротендика: восстанавливать "объект" по морфизмам из него; следовательно, структуру на объекте — по структуре на морфизмах из него. Так "нетривиальную" локализацию можно запрятать в "тривиальную" — в ослабление изоморфизма категорий до эквивалентности категорий)

If it is inevitable that enhanced categories are only defined up to an equivalence of some sort, let us at least make this equivalence as easy to control as possible.
Then observe that there is another type of controlled localization that is so common and widespread that it usually goes unnoticed by its users: the category Cat of small categories, and the class W of, well, equivalences of categories. In principle, this can be localized by using model category techniques, but this is akin to smelling roses through a gas mask. the answer is actually much simpler, and similar to the homotopy category of chain complexes: objects are small categories, morphisms are isomorphism classes of
functors.

Moreover, we can also consider families of small categories indexed
by some category I. This is conveniently packaged by the Grothendieck construction of [SGA 1, Exposé 6] into a Grothendieck fibration С→I with small fibers, with morphisms given by functors C→C′ cartesian over I. Then again, localizing with respect to equivalences gives the category with the same objects, and isomorphism classes of cartesian functors as morphisms (for precise definitions, see below Subsection 1.4).

Now, an enhanced category C comes equipped with its underlying usual category h(C), but there is more: for any small category I, we also have the enhanced category C^I of functors I→C, and its underlying usual category h(C^I). Thus we actually have a whole family of categories indexed by Cat. This has been described in [Grothendieck, "Pursuing Stacks"] under the name of a derivator; the question was, is it enough to recover C? Our answer is: with some modifications, yes.

(...The main modification compared to [Grothendieck] is that it is not necessary, nor in fact desirable to index our enhanced categories over the whole Cat – it is sufficient to consider the category Pos+ of left-bounded partially ordered sets.)

Обзорный текст от Каледина, покороче:
https://arxiv.org/abs/2409.18378
вы туда все равно не полезете, захотелось запостить несколько отрывков из введения

1. (Чем плох "текущий подход" к гомотопическим оснащениям)

...Thus the current thinking goes along more-or-less the following lines.

(i) “Quillen-equivalent model categories have the same homotopy theory”; this is accepted as an article of faith and not discussed.
(ii) One constructs a “category of models” for enhanced small categories; this category of models is equipped with a model structure and produces all the desired data; an “enhanced category” is then simply defined as an object in the corresponding localized category.
(iii) Models are not unique at all, and neither are “categories of models”,
but one checks that they are all Quillen-equivalent, so see (i).

There are two obvious issues with this kind of thinking. Firstly, it is very
set-theoretical in nature and feels like a throwback to 19-th century – a category, something that should be a fundamental notion, is treated as a special type of a simplicial set, or “space”, whatever it is, or something like that. The idea of symmetry so dear to people like Grothendieck is thrown out of the window.
Secondly, a worse problem is the inherent circularity of the argument. Of all the avaliable models, it is best seen in the approach of [BK] based on relative categories.

By definition, a relative category is a small category C equipped with a class of maps W.
Barwick and Kan propose putting a model structure on the category of relative categories, and showing that it is Quillen-equivalent to all the other existing models. Then in this particular model, the result of localizing a category C with
respect to a class of maps W is the relative category ⟨C, W⟩. Effectively, it looks pretty much as if in this approach – and ipso facto in all the others, since they are all Quillen-equivalent – one "solves" the localization problem by declaring it solved.

Дима Каледин, математик (старожилы русского интернета могут знать его имя по старому ЖЖ), опубликовал 600-страничную статью , в которой описывает новый подход к абстрактной теории гомотопии, над которым он работал много лет. Он предлагает этот подход в качестве альтернативы популярной в последние 20 лет теории категорий бесконечных порядков Джейкоба Лурье.

Я совершенно некомпетентен в этих вопросах и не имею собственного мнения о работе Каледина (или о школе Лурье), но должен сказать, что первые 40 страниц статьи Каледина - введение - прочел с огромным интересом; что-то понял, другое пропустил, и все равно интересно. Рекомендую.

Очень понравились слова Каледина о силе нарратива, это что-то, в чем я неоднократно убеждаюсь в своей жизни и своих мыслях снова и снова:

"I still remember a talk in Tokyo, in 2008, after which a prominent algebraic geometer came to me and said something like this: “I liked your talk; of course, the last thing the world needs are new foundations for homological algebra, but at least, there was a story”. This was one of the best pieces of advice I ever had: no matter what you do, people will listen if there is a story."

Антон Капустин, у которого я прочитал об этой работе, тоже хвалит ее введение и замечает, что хорошо бы кто-то выпустил книгу, состоящую только из особенно хороших предисловий к математическим статьям или книгам. Да, такое я бы с удовольствием почитал.

пусть X — k-мерный остов симплекса на m вершинах. Можно убедиться, что X — букет k-мерных сфер; их число легко посчитать через эйлерову характеристику.

Задачка: а как описать действие группы S_m на H_k(X;Z)?

...наводит на мысль, что о Хилтоне-Милноре правильно говорить на языке операд (хотя я и не умею пока на нем говорить). По крайней мере, уже считается известным, что через операды правильно кодировать информацию о гомотопических инвариантах конфигурационных пространств, см.
https://arxiv.org/abs/2407.11092

Про это слышал из доклада A.Kupers'а, сам доклад к сожалению не записан

A history of duality in algebraic topology (Becker, Gottlieb)
https://www.math.purdue.edu/~gottlieb/Bibliography/53.pdf

Пишут: в начале 70-х в воздухе витала идея трансфера для накрытий. (См. интересный обзор в параграфе 4.1 книги Адамса "Бесконечнократные пространства петель"). Для разных теорий когомологий были построены разные конструкции трансферов. Их можно было бы объединить, если построить трансфер как S-отображение [=стабильное, то есть достаточно много раз надстроенное, отображение на уровне топологических пространств]. Разные конструкции S-отображений предлагали D.Kan, J.Becker, F.W.Roush (1971). Ни одна из них не была опубликована, потому что первооткрыватели не сочли их важными.

Дж.Ф.Адамс пишет в своей книге (с.99-100 русского перевода):
"Внимание топологов к трансферу привлекла хорошо известная работа Кана и Придди (1972). Они писали: "...существование трансфера кажется хорошо известным фактом, но нам неизвестна ни одна публикация на этот счет". Так топологический мир узнал, что все хорошо информированные специалисты должны были бы знать о трансфере, хотя в действительности о нем знали лишь те, кому очень повезло."

(Беккер и Готтлиб потом обобщили эту историю, и ввели трансфер уже в расслоениях...)

начинаем утро правильно:
https://youtu.be/50sCZvDU0gg

это имеет последствия для гиперболической геометрии