сладко стянул

Как-то на уроке математики мы получили серию задач о бесконечных множествах, нужно было доказывать про них разные штуки, разобрать серию примеров и теорем, которые усыпили мою бдительность, заставили думать, что это что-то интуитивно понятное, и привели нас к невинно выглядящему вопросу о множестве всех множеств. Я понятия не имел, к чему это всё идёт, и был парадоксом Кантора взят врасплох. И поймал в итоге тревогу, и какое-то время пытался этот парадокс как-то всё-таки разрешить, мою наивную первую интуицию — починить; ничего не получилось. Потом я подумал, что мне очень повезло — и этот растерянный ужас — опыт, который невозможно уже повторить. Если бы мне сразу сказали про парадокс Кантора, я бы, может, никогда бы не имел возможность его испытать. Годы спустя я жил в Петербурге прямо напротив дома на Ваське, где Кантор когда-то жил — и думал о том, что, может быть, его безумие мне немножко понятно.

Есть такой феномен, метастабильный полиморфизм кристаллов: у кристаллов есть разные способы собираться в решётки и они могут друг друга "заражать", заставлять другие кристаллы принимать ту же форму. Один такой под названием "гидрохлорид пароксетина" долгое время кристаллизовался в одной форме "ангидрата", но вдруг в конце 1984 года случайно сделали новую кристаллическую форму - полугидрат. После этого все новые кристаллы этой штуки начали формироваться в виде этого полугидрата. Как не бились в лабораториях, по всему миру получался лишь этот новый полугидрат. Воздух всей планеты был заражен новой формой, и к старой уже почти невозможно вернуться.

Так вот и с разными парадоксами, они вызывают ужас и безумие у одного поколения, привыкшего к препарадоксальному мышлению, но потом оказываются в культурном воздухе и становятся чем-то абсолютно нормальным, от чего невозможно вернуться назад. Это именно поколенческая история, потому что "идеи" в какой-то конкретной голове очень стабильны. "Наука движется вперёд исключительно похоронами", предлагает принцип Планка — научное сообщество адаптируется к новому мышлению сменяя поколение, а не меняя сами живые умы. Именно между поколениями проявляется метастабильность мысли.

То же можно сказать и про моральные и культурные изменения. В этом отличном обзоре рассматривается история этой идеи, "смены когорт" у Патнэма: Культуры не меняется, когда люди меняют свои старые идеи на новые — они меняются, когда люди со старыми идеями умирают, и их сменяют люди, выросшие с новыми. Хайековские "вторичные перекупщики идей" (люди типа меня и многих из вас) играют в этом процессе важную роль — они никого никогда не переубедят, но создают атмосферу, в которой "новые идеи", уже для следующего поколения, становятся чем-то само собой разумеющимся. Даже если эти идеи не нравятся, вернуться к миру без них не получится — можно только придумать еще какие-то другие, им противоречащие или от них защищающие.

Меня интересует в этом всём именно опыт парадокса. Есть парадоксы или открытия, что мне невозможно "пережить", скажем, я с удивлением наблюдал, как молодые люди радуются концептуальным достижениям модернизма или постмодернизма, вдохновенно повторяя, что "теперь" в творчестве можно всё, и сильно им завидовал, потому что с детства ощущал эту "свободу" как уже старую и довольно утомительную идею, а новой никакой у меня не было и нет. Так же я силился и не смог прожить, например, Кьеркегоровский парадокс про веру (зато про повторение у него отличный), и удивлённо завидовал тем, кто может.

Но мне повезло с Кантором, и именно опираясь на этот опыт, я много думал о Брауэре, чьё безумие (читая Жан-Ив Жирара) я видел как одно из важнейших событий протоистории компьютеров. Когда-то я спорил об этом всём с одной философской знаменитостью, фанатом Гильберта (который разрушил Брауэру всю карьеру, и в итоге жизнь), и я пытался сослаться на этот опыт парадокса, и понял, что аналогичного опыта у моего собеседника просто нет. Как объяснить парадокс человеку, готовому всегда повторять за Гильбертом: "Мы можем знать. Мы должны знать", - Гильберт настаивал на этом даже после того, как Гёдель математикой же уничтожил всю эту его невыносимую программу?

"Людвиг Больцман, который потратил значительную часть своей жизни на изучение статистической механики, покончил свою жизнь самоубийством в 1906 г. Пауль Эренферст, продолживший работу Больцмана, умер аналогичным образом в 1933 г. Настала наша очередь изучать статистическую механику", так начал свой учебник Девид Гудштайн, который умер, кстати, несколько месяцев назад (видимо от естественных причин). В чем безумие статистической механики, я разобраться не успел, мозгов ее изучать не хватило, но, конечно, очень хочется. У Ника Ланда есть книжка "Жажда Аннигиляции", про Батая с участием Больцмана, очень странная — не ручаюсь, что она действительно близка к собственному безумию статистической механики, но определенный вайб выдаёт. Сейчас сходят с ума наследники Больцмана, изобретатели искусственного интеллекта вроде Ильи Суцкевера, – мне трудно отвлечься от твиттерского вайба всей этой тусовки (культуры дешевого инвесторского бабла, тестов IQ, принципов "рационального мышления" и твитов о Сознании чатажипити), так что всерьёз вживаться я в это не очень хочу, но я понимаю, что их так захватывает, пугает, и заставляет создавать странные культы.

Так что я был разочарован, читая посреди "Пассажира" МакКарти длинный монолог об истории физики 20 века — одна фамилия за другой, кто-то на кого-то повлиял, кто-то у кого-то что-то украл, кто-то пытался что-то открыть великое и не смог, кто-то остался неизвестным и т.д. (Откуда вообще этот жанр? Про философию тоже теперь любят так писать, сто фамилий на безыдейный абзац, и обязательно какую-то малоизвестную надо вписать, доказав, что сделали домашнее задание). Уверен, что тревоги про признание заботили этих всех великих физиков не меньше, чем нас с вами. Но настоящее безумие науки вовсе не в неудачных попытках получить нобелевку, и подозреваю, что и не в атомной бомбе и не в гендерных всяких перипетиях (даже известные удивительные сексуальные практики тоже бы объяснял бы не гением, а социологией наук США и СССР середины 20 века). Куда ближе то, как это в "Проблеме трёх тел": облокотившись на привычки свого понимания, как на вечернюю третью ногу, и резко эту опору потеряв, ученые не смогли найти другого выхода, кроме как отравляться, вешаться, стреляться. Так наука двигается вперёд.

Тао тоже вон отказывают в публикациях, и он говорит, что это обычное дело для него. А то что об этом не рассказывает, вызывает у многих остальных синдром самозванца: https://mathstodon.xyz/@tao/113721192051328193

возможно, надо смириться с тем что "подмногообразие естественных картинок в пространстве всех картинок" — важный объект мира идей (не хуже какой-нибудь алгебры Вирасоро), и надо нащупывать строгую науку именно про объекты такого рода. Что-то в пространстве большой размерности, что мы можем чуть-чуть потрогать. Вопрос в том, что про это многообразие в принципе можно содержательного спросить (современная "геометризованная" математика привыкла считать естественными совершенно другие объекты и поэтому тут вряд ли применима, но подход должен быть математический)

Обсудим (хотя бы наполовину)?)

На трюк с группами отражений Дэвиса вдохновили Hsiang&Hsiang, Тёрстон и Винберг. Трюк помогает строить странные асферичные замкнутые многообразия (некоторые из них даже не накрываются Rⁿ: Davis, 1983.)

(X асферично, если его односвязное накрытие стягиваемо. Тогда пишут X=K(G,1), где G=π_1(X). Любые два пространства типа K(G,1) гомотопически эквивалентны.)

Например, из трюка следует
Предложение. Пусть существует конечный клеточный комплекс типа K(π,1). Тогда существует замкнутое многообразие типа K(G,1), где группа G ретрагируется на π.

Для групп Баумслага-Солитера
π=BS(p,q):=<a,b|b^p a=ab^q>
соответствующий двумерный комплекс будет иметь тип K(π,1) по теореме Линдона. А ещё известно: централизатор элемента b в BS(n,1) изоморфен Z[1/n]={m/n^k} \subset Q.

Вывод: для любого n≥4 найдется n-мерное (асферичное) компактное многообразие M такое, что π_1(M) содержит подгруппу Z[1/2] (в частности, бесконечно делимые элементы)!

(Mess, "Examples of Poincare Duality groups", 1990)

#Lean
Многие знают, что после успешно завершённого Liquid Tensor Experiment Кевин Баззард и команда отдохнули немного, и вновь взялись за работу. Они занимаются формализацией доказательства Великой теоремы Ферма.

В своём блоге Кевин рассказал об их продвижениях до сих пор. И это совершенно прекрасная история, написанная живым и слегка ироническим языком.

Кратко, его товарищи в процессе работы, прописывая основания кристальных когомологий, обнаружили, что оригинальное доказательство не компилируется. В нём нашлась неустранимая дыра: доказательство ссылается на статью N.Roby 1965 года, Лемма 8 из которой неверна. Что удивительно, N.Roby доказывает её, неправильно цитируя свою же статью 1963 года.

Кевин пишет, что для него в этот момент обрушилось всё доказательство; теорема Ферма стала вновь стала открытой проблемой. Но он знал, что раз теория кристальных когомологий используется последние пятьдесят лет, то она работает, и нужно лишь по-новому обосновать верное утверждение.

Кевин, чем писать электронные письма экспертам, выпил кофе с одним профессором, пообедал с другим, и в конце концов нашёлся текст Артура Огуса, который закрывал дыру, а сам Артур взялся закрывать известные ему дыры в этом своём тексте.

Кевин заключает замечанием о том, в каком хрупком состоянии находится современная математика, сколько критических деталей известны лишь специалистам и нигде толком не прописаны.
--------

Меня в этой истории вдохновляет, что к нам в математику как будто приходит живой трибунал, универсальный калькулятор истинности. Пока утверждение не компилируется Lean'ом, оно не считается доказанным.

Похожая история была в XIX веке: Вейерштрасс, Коши, Пеано, Гильберт, все занимались отделением математики от натурфилософии, постановкой её на формальные рельсы. Их критиковали за излишнюю строгость, за изгнание творчества из математики; но, как и в случае с Lean'ом, ответ есть лишь один: если мы занимаемся математикой, хотим быть уверенными в истинности утверждения, всегда иметь опору под ногами, иметь проверяемые универсальные результаты, нужно модернизировать наш средневековый цех всеми доступными современными технологиями. За Lean'ом будущее!

да, с точки зрения жителя симплициального жилищного комплекса, линк это горизонт.

а двойственность Экманна-Хилтона, с точки зрения жителя категории клеточных комплексов, как бы переставляет человека и мир ("субъект и объект"?). И она о происходящем.

корасслоение: если ты, то и я могу за тобой.
расслоение: происходящее с тобой может отразиться и на мне

пишут кстати что у Гордана не бомбануло с "неконструктивности" теоремы Гильберта о базисе, это скорее всего миф
https://wayback.archive-it.org/all/20090116011956/http://people.math.jussieu.fr/~harris/theology.pdf

#чётамнаархиве
подарок для любителей мэшапов,
наука про приложения срезанных узлов в четырехмерной топологии (Hayden-Piccirillo)
+
наука про прямоугольные группы Коксетера (M.Davis' reflection group trick)
=
экзотические гладкие структуры на замкнутых асферичных 4-многообразиях
https://arxiv.org/abs/2411.19400

Stories about Friedhelm Waldhausen by members of the algebraic topology community

Friedhelm Waldhausen passed away on November 21, 2024. The following are thoughts and stories about Waldhausen that were shared by members of the alg-top email list.

вот ещё мощнейшее совпадение непрерывного и дискретного.

у групп Ли есть экспоненциальное отображение: зафиксировав вектор в T_eG, можно идти вдоль него по G бесконечно долго, каждый раз сдвигая его себе под ноги. Поэтому из любой точки, лежащей в образе exp:T_eG -> G, извлекается корень любой степени (если туда можно дойти за время t, то это все равно что n раз шагнуть на t/n)

шокирует, что верно и обратное: если из элемента связной группы Ли извлекаются все корни, то до него можно дойти пешком. Это не просто доказать (в частности, нужна теория вещественных алгебраических групп)

1. ориентация это выбор порождающей в кое-какой бесконечной циклической группе
2. ориентация это выбор компоненты связности в многообразии всех реперов кое-какого векторного пространства V (конечномерного, над R).

Эти определения связаны через теорему де Рама, то есть очень странным образом. Сопоставим реперу внешнее произведение входящих в него векторов; получим точку в многообразии всех реперов одномерного векторного пространства W (старшей внешней степени пространства V); по сути, точку многообразия W\{0}, которое является подмножеством топологической группы (W,+). В ней на самом деле сидит "решётка" — бесконечная циклическая группа, и в каждой компоненте связности пространства W\{0} лежит ровно одна образующая этой решётки. (Причем от выбора решетки это не зависит.)

Странно, что всё это кажется нам естественным

P.S.
а ещё из этого чуда следует, что "непрерывная" и "дискретная" интуиции насчёт "прошлого" и "будущего" почему-то совпадают

Эрдёш предлагал деньги за решение особенно интересных ему проблем в комбинаторике — это хорошо известно. Сегодня я узнал, что это происходило не в неформальной обстановке, а буквально напечатано в статьях

см. также https://www.erdosproblems.com/prizes

оказывается, в первой части некролога по Тёрстону тоже есть воспоминания коллег (Хефлигера, Эпштейна, Салливана):
https://www.ams.org/journals/notices/201511/rnoti-p1318.pdf

с днём гомотопических пушаутов
#картинка
(легко понять, что каждый квадрат в верхней диаграмме является гомотопическим пушаутом. а ещё их можно склеивать, и так получается пушаут внизу.)

и немного мыслей самого Тёрстона о том, как люди понимают математику.

We humans have a wide range of abilities that help us perceive and analyze mathematical content. We perceive abstract notions not just through seeing but also by hearing, by feeling, by our sense of body motion and position. Our geometric and spatial skills are highly trainable, just as in other high-performance activities. In mathematics we can use the modules of our minds in flexible ways—even metaphorically. A whole-mind approach to mathematical thinking is vastly more effective than the common approach that only manipulates symbols.
(Из введения к The Best Writing on Mathematics 2010, см. https://www.degruyter.com/document/doi/10.1515/9781400836123-001/html )

на картинке — кусочек замечательного эссе https://arxiv.org/abs/math/9404236
(перевод кусочка побольше от @LaunchControlCenter : https://telegra.ph/how-to-understand-math-08-26 )

Воспоминания учеников Уильяма Тёрстона (1946—2012)
https://www.ams.org/publications/journals/notices/201601/rnoti-p31.pdf

в том числе воспоминания Benson Farb'а "On being Thurstonised".
Перевод от Аннетты: https://telegra.ph/O-tom-kak-byt-Tyorstonovym-11-22

(доказательство теоремы о шарнирных механизмах, которая там упоминается: https://arxiv.org/abs/math/9803150 )

А вот как его себе видит Новиков: (цитата не точная, картинка моя. возможно, уместно сказать, что у него W — гладкое (n+1)-мерное многообразие, которое разбито компактным n-мерным подмногообразием V на две части A и B; но на рассуждение это не влияет)

«Пусть x∈H_*(A) и z⊂A — представляющий его цикл. Тогда z гомологичен в W некоторому циклу z', лежащему в B, с помощью плёнки c⊂W. Пересечение c ∩ V есть цикл z''⊂V, представляющий класс гомологий x'∈H_*(V) такой, что i1(x')=x.»

Это не доказательство, а рассказ, что происходит на самом деле. Строгое доказательство я придумал и написал в предыдущем посте — это было совсем не сложно (если надо, даже распишу, почему это то же самое что у Новикова) — и при этом я не получил понимания ситуации. А это, может быть, и самое важное

Обозначим V:=A∩B и W:=A∪B, и докажем, например, сюръективность i1.

Вот так мы рассуждаем сейчас:
«Так как j1 и j2 сюръективны, в данном случае точная последовательность Майера—Вьеториса превращается в короткую точную последовательность

0 -> H_*(V) -F-> H_*(A)⊕H_*(B) -G-> H_*(W) -> 0,
где F(u) := i1(u)⊕i2(u) и G(x⊕y) := j1(x)-j2(y).

Пусть теперь x∈H_*(A); тогда j1(x)∈H_*(W). Так как j2 сюръективно, имеем j1(x)=j2(y) для некоторого y∈H_*(B). Получаем G(x⊕y)=0. Наша последовательность точна, поэтому x⊕y=F(x') для некоторого x'∈H_*(V). Итак, x=i1(x'). Сюръективность доказана.»

Рассуждение строгое и чисто алгебраическое; его проще придумать с листочком бумаги, чем с закрытыми глазами

Пусть p — большое простое число (хотя бы 5). В каком диапазоне известна p-компонента в стабильных гомотопических группах сфер?

Зафиксирую тут, что нагуглил. Удобно обозначить q:=2p-2.

-1. Методом убивающих пространств легко показать, что в размерностях <2q есть только одна копия Z/p, которая сидит в q-ой группе. То есть легко досчитать примерно до ~4p. При p=5 получается 15.

0. Hirosi Toda в серии статей "p-primary components of homotopy groups" (1958-1959) досчитал до p^2q-4, то есть примерно до 2p^3. При p=5 получается 196. Видимо, он комбинировал метод убивающих пространств с EHP-последовательностями, композициями, скобками Тоды. В книжке "Композиционные методы..." почему-то сформулирован результат только до размерности pq-2 ~ 2p^2; не знаю, почему.

1. Методами Тоды много считал Shichiro Oka. В серии статей The Stable Homotopy Groups of Spheres (1971-1975) этим методом он посчитал компоненты до размерности (2p^2+p-2)q-6, то есть примерно до 4p^3. При p=5 получается 416.

2. Комбинируя с вычислениями Накамуры* второго листа в с.п. Адамса, Ока смог продвинуться ещё на 4p размерностей и добраться до (2p^2+p)q-4. При p=5 получается 436.

3. Используя те же вычисления Накамуры, но для с.п. Адамса-Новикова (и спектра Брауна-Петерсона, следуя Миллеру и Нейзендорферу), Marc Aubry посчитал компоненты до размерности
(3p^2+4p)q-1, то есть примерно до 6p^3. При p=5 получается 759.
(статья "Calculs de groupes d'homotopie stables de la sphere, par la suite spectrale d'Adams-Novikov", 1984. Это диссертация под руководством Лемэра.)

4. В книжке Douglas Ravenel "Complex cobordism and stable homotopy groups of spheres" (1986) предлагается некий "метод бесконечного спуска" (использующий, помимо с.п. А.-Н., всякие накопленные знания про BP, хроматическую теорию, введённые Равенелем спектры T(m)...).
Равенел не говорит, насколько далеко удаётся продвинуться для любого p, но при p=5 проводит показательные вычисления и добирается до 999.

5. Наконец, в тексте Hirofumi Nakai, Douglas Ravenel "The method of infinite descent in stable homotopy theory II" высказана надежда, что примерно теми же методами можно добраться примерно до p^4q ~ 2p^5. Этот текст появился как препринт в 2008, выложен на архив в 2018, опубликован в 2024 в New York Journal of Mathematics. При публикации в нём появился абзац:

It is unlikely that either author will take up this computational project any time soon. The purpose of the present paper is to document what we believe to be the most promising method of extending the computation of [Rav04, Chapter 7] in hopes that some more energetic mathematicians will use it in the future.

*Osamu Nakamura, On the cohomology of the mod p Steenrod algebra (1975)

P.S. Конечно, в описанных размерностях известны не только группы, но и композиционные умножения между ними; у Aubry соответствующая алгебра даже задана образующими и соотношениями

Во введении к сборнику статей 50-60-ых годов "Топологическая библиотека" С.П.Новиков пишет:
...К сожалению, окончательное превращение топологии в строгий и точный раздел чистой математики имел и отрицательные последствия: возрос уровень абстрактности языка, его формализация — я бы сказал, излишняя, отрывающая топологию от классической математики <...> Изложения [возникших в то время] идей и результатов классической топологии в учебной литературе сводится к немыслимо абстрактно и формально изложенным кусочкам, а в остальном просто отсутствует. По-счастью, лучшие достижения этого периода приемлемо описаны в оригинальных работах — весьма ясно и с полезными доказательствами...

Кажется, я нашёл иллюстрацию. Пусть AUB — топологическое пространство, A, B — его хорошие подмножества (например, открытые). Попробуйте доказать утверждения с картинки в предположении, что j1 и j2 сюръективны.

(Это несложная задача по теории гомологий. Попозже перескажу, как её решение записано в статье Новикова)

600 страниц про отношение эквивалентности?

а может лучше

100 страниц про правило Лейбница
df/dt = df/dx * dx/dt?
https://arxiv.org/abs/2410.20504

Минутка гомотопической суеты

Я пойду дорогой той где никто не проходил

Будем говорить, что пространство X имеет конечный тип, если все группы π_n(X) конечно порождены. (Если X односвязно, то гомотопические группы можно заменить на целочисленные гомологии, а ещё тогда у X есть CW-модель, у которой в каждой размерности конечное число клеток.)

Определим четыре класса:

W := класс односвязных топологических пространств конечного типа, гомотопически эквивалентных букетам сфер;

P+ := класс связных топологических пространств конечного типа, гомотопически эквивалентных произведениям сфер и петель на сферах;

P := класс связных топологических пространств конечного типа, гомотопически эквивалентных произведениям S^1, S^3, S^7 и петель на сферах;

P- := класс связных топологических пространств конечного типа, гомотопически эквивалентных произведениям петель на сферах.

(Здесь "петли на сферах" — это пространства вида ΩS^n. Все произведения и букеты могут быть бесконечными, но из слов "конечного типа" следует, что в каждой размерности их конечное число. Например, всякое пространство из W выглядит как букет, содержащий для каждого n>1 по B_n копий n-мерной сферы, где B_n≥0 любые конечные)

Мои ноги обогнут за серпантином серпантин

Эти классы пространств забавно взаимодействуют, помимо очевидных включений P- ⊆ P ⊆ P+.

Во-первых, из расслоений Хопфа выводится, что
ΩS^3 ~ ΩS^2 x S^1,
ΩS^7 ~ ΩS^4 x S^3,
ΩS^15 ~ ΩS^8x S^7,
поэтому P- можно определить как "пространства из P, в которых петель на S^2, S^4 и S^8 не меньше, чем копий S^1, S^3, S^7".

Ещё есть вот такая симметрия/сопряжённость:
Утв. 1. Если X ∈ W, то ΩX ∈ P-.
Утв. 2. Если Y ∈ P+, то ΣY ∈ W.
Утв. 3. W замкнуто относительно ретрактов.
(То есть: если X ∈ W и существуют отображения A -i-> X -r-> A, такие что ri: A->A гомотопно тождественному, то A ∈ W)
Утв. 4. P замкнуто относительно ретрактов.

И вот ещё забавные факты:
Утв. 5. Если ΩZ ∈ P+, то ΩZ ∈ P.
Утв. 6. Если ΩΣX ∈ P+, то ΣX∈ W и поэтому ΩΣX ∈ P-.

Зачем это нужно? Иногда кучей рассуждений схожего характера удаётся доказать, что для некоторого Z верно ΩZ ∈ P. Это приятно, но копии S^1, S^3, S^7 мешаются под ногами. Но если заодно мы знаем, что ΩZ — это произведение пространств вида ΩΣX, то из Утв.4 и 6 следует, что "лишних копий нет" — их можно засунуть по Хопфу в петли на сферах, и в итоге ΩZ ∈ P-.

Мой маршрут — это путь из точки $a$ в точку $a$

В доказательствах нужно знать: (помимо стандартных свойств типа "смэш-произведение коммутирует с надстройкой", "смэш двух сфер это сфера", "смэш со сферой это итерированная надстройка" итд)

Лемма: Σ(XxY) гомотопически эквивалентно ΣX v ΣY v Σ(XлY).
("надстройка над произведением — это надстройка над букетом смэшей")

Теорема Хилтона—Милнора: ΩΣ(X1 v X2 v ...) гомотопически эквивалентно произведению пространств вида ΩΣ(Xi1 л Xi2 л ... л Xik), где 1≤i1≤.. ≤ ik, и каждый такой смэш встречается известное число раз (соответствует размерностям мультиградуированных компонент свободной алгебры Ли).
("петли на надстройке над букетом — это произведение петель на надстройках над смэшами")

Расщепление Джеймса: ΣΩΣX гомотопически эквивалентно букету ΣX v Σ(XлX) v Σ(XлXлX) v ....

Для чего эта надрывная музыка сфер?

Эти результаты обобщаются: зафиксируем класс {Ai} односвязных пространств конечного типа, и определим

W := букеты пространств вида
Σ(ΩAi1 л ΩAi2 л ... л ΩAik),

P+ := произведения пространств вида
ΩAi1 л ΩAi2 л ... л ΩAik и
ΩΣ(ΩAi1 л ΩAi2 л ... л ΩAik),

P- := произведения пространств вида
ΩΣ(ΩAi1 л ΩAi2 л ... л ΩAik).

Тогда аналогично доказываются:
Утв. 1'. Если X ∈ W, то ΩX ∈ P-.
Утв. 2'. Если Y ∈ P+, то ΣY ∈ W.
Утв. 5'. Если ΩY ∈ P+, то на каждом сомножителе ΩAi1 л ΩAi2 л ... л ΩAik, входящем в разложение ΩY, можно ввести структуру H-пространства.
Утв. 6'. Пусть W замкнут относительно ретрактов. Тогда: если ΩΣX ∈ P+, то ΩΣX ∈ P-.

Её случайно занесло или божественной работой?

Как всё-таки доказывается утверждение 3? Оно очевидно вытекает из двух простых лемм:

Лемма 1. Если односвязное пространство X таково, что
(1) гомоморфизм Гуревича π_*(X) -> H_*(X) сюръективен,
(2) H_*(X) свободная абелева,
то X гомотопически эквивалентно букету сфер. Верно и обратное.
(Действительно: можно построить отображение из букета сфер в X, задающее изоморфизм на гомологиях, и применить гомологическую теорему Гуревича.)

Лемма 2. Свойства (1) и (2) сохраняются при переходе к ретрактам.
(Упражнение.)
————-
Как видно, доказательство не обобщается на случай с {Ai}. Да и в целом, гомологическая теорема Уайтхеда это как будто читерство — надо уметь и изящно ей владеть (?), и обходиться без неё (?)

Замыкается петля и в середине неё я

Доказательство утверждения 1:
Если X односвязно и букет сфер, то ΩX — это ΩΣ(букет сфер). По теореме Хилтона—Милнора, такое пространство — это произведение пространств вида ΩΣ(смэш сфер) = ΩS^n для некоторого n.

Доказательство утверждения 2:
Если X — произведение сфер и петель на сферах, то по формуле для надстройки над произведением ΣX — это букет надстроек над пространствами вида "смэш сфер и петель над сферами". Мы хотим доказать, что каждая такая надстройка — букет сфер.

Действительно: ΣΩS^n = ΣΩΣS^{n-1} = S^n v S^{2n-1} v ... из расщепления Джеймса. Поочерёдно засовывая надстройку в каждый сомножитель вида ΩS^n в смэше, можно с помощью сигм истребить всех омег. В итоге останется букет надстроек над смэшем букетов сфер, а это букет сфер.

Доказательство утверждения 3: это несложно, см. Lemma 3.1 в https://arxiv.org/abs/2006.16320 или ниже

Доказательство утверждения 4: это сложнее, см. Theorem 3.10 в https://arxiv.org/abs/2306.12814

Доказательство утверждения 5: действительно, на ретракте H-пространства возникает структура H-пространства. Значит, если ΩY∈ P+ содержит сомножитель S^n, то на S^n возникает структура H-пространства. Адамс доказал, что при n≠1,3,7 так не бывает.

Доказательство утверждения 6:
Если ΩΣX ∈ P+, то ΣΩΣX ∈ W по утверждению 2. При этом ΣX — ретракт пространства ΣΩΣX по расщеплению Джеймса, а W замкнуто относительно ретрактов по утверждению 3. Значит, ΣX∈ W. Теперь ΩΣX ∈ P- по утверждению 1.

3. (Интригующее заявление, что в итоге теорию гомотопий можно запрятать в обычные группоиды + категорию чумов)

It is perhaps instructive to mention how our theory describes homotopy
types. These correspond to enhanced groupoids, that is, enhanced categories given by fibrations C→Pos+ whose fibers are groupoids. In a sense, the whole gadget exhibits a sort of an Eckmann-Hilton duality between the ideas of order (exemplified by partially ordered sets J ∈ Pos+) and symmetry (exemplified by the groupoids C_J). In another sense, it restores the original idea of “symmetries between symmetries”, but in different guise. There are no “higher groupoids”, there are just groupoids in the usual sense – but a whole bunch of them (just as a scheme can be thought of as a bunch of sets of its points over various affine schemes)

2. (Тут немного пафосно. Идея Гротендика: восстанавливать "объект" по морфизмам из него; следовательно, структуру на объекте — по структуре на морфизмах из него. Так "нетривиальную" локализацию можно запрятать в "тривиальную" — в ослабление изоморфизма категорий до эквивалентности категорий)

If it is inevitable that enhanced categories are only defined up to an equivalence of some sort, let us at least make this equivalence as easy to control as possible.
Then observe that there is another type of controlled localization that is so common and widespread that it usually goes unnoticed by its users: the category Cat of small categories, and the class W of, well, equivalences of categories. In principle, this can be localized by using model category techniques, but this is akin to smelling roses through a gas mask. the answer is actually much simpler, and similar to the homotopy category of chain complexes: objects are small categories, morphisms are isomorphism classes of
functors.

Moreover, we can also consider families of small categories indexed
by some category I. This is conveniently packaged by the Grothendieck construction of [SGA 1, Exposé 6] into a Grothendieck fibration С→I with small fibers, with morphisms given by functors C→C′ cartesian over I. Then again, localizing with respect to equivalences gives the category with the same objects, and isomorphism classes of cartesian functors as morphisms (for precise definitions, see below Subsection 1.4).

Now, an enhanced category C comes equipped with its underlying usual category h(C), but there is more: for any small category I, we also have the enhanced category C^I of functors I→C, and its underlying usual category h(C^I). Thus we actually have a whole family of categories indexed by Cat. This has been described in [Grothendieck, "Pursuing Stacks"] under the name of a derivator; the question was, is it enough to recover C? Our answer is: with some modifications, yes.

(...The main modification compared to [Grothendieck] is that it is not necessary, nor in fact desirable to index our enhanced categories over the whole Cat – it is sufficient to consider the category Pos+ of left-bounded partially ordered sets.)

Обзорный текст от Каледина, покороче:
https://arxiv.org/abs/2409.18378
вы туда все равно не полезете, захотелось запостить несколько отрывков из введения

1. (Чем плох "текущий подход" к гомотопическим оснащениям)

...Thus the current thinking goes along more-or-less the following lines.

(i) “Quillen-equivalent model categories have the same homotopy theory”; this is accepted as an article of faith and not discussed.
(ii) One constructs a “category of models” for enhanced small categories; this category of models is equipped with a model structure and produces all the desired data; an “enhanced category” is then simply defined as an object in the corresponding localized category.
(iii) Models are not unique at all, and neither are “categories of models”,
but one checks that they are all Quillen-equivalent, so see (i).

There are two obvious issues with this kind of thinking. Firstly, it is very
set-theoretical in nature and feels like a throwback to 19-th century – a category, something that should be a fundamental notion, is treated as a special type of a simplicial set, or “space”, whatever it is, or something like that. The idea of symmetry so dear to people like Grothendieck is thrown out of the window.
Secondly, a worse problem is the inherent circularity of the argument. Of all the avaliable models, it is best seen in the approach of [BK] based on relative categories.

By definition, a relative category is a small category C equipped with a class of maps W.
Barwick and Kan propose putting a model structure on the category of relative categories, and showing that it is Quillen-equivalent to all the other existing models. Then in this particular model, the result of localizing a category C with
respect to a class of maps W is the relative category ⟨C, W⟩. Effectively, it looks pretty much as if in this approach – and ipso facto in all the others, since they are all Quillen-equivalent – one "solves" the localization problem by declaring it solved.

Дима Каледин, математик (старожилы русского интернета могут знать его имя по старому ЖЖ), опубликовал 600-страничную статью , в которой описывает новый подход к абстрактной теории гомотопии, над которым он работал много лет. Он предлагает этот подход в качестве альтернативы популярной в последние 20 лет теории категорий бесконечных порядков Джейкоба Лурье.

Я совершенно некомпетентен в этих вопросах и не имею собственного мнения о работе Каледина (или о школе Лурье), но должен сказать, что первые 40 страниц статьи Каледина - введение - прочел с огромным интересом; что-то понял, другое пропустил, и все равно интересно. Рекомендую.

Очень понравились слова Каледина о силе нарратива, это что-то, в чем я неоднократно убеждаюсь в своей жизни и своих мыслях снова и снова:

"I still remember a talk in Tokyo, in 2008, after which a prominent algebraic geometer came to me and said something like this: “I liked your talk; of course, the last thing the world needs are new foundations for homological algebra, but at least, there was a story”. This was one of the best pieces of advice I ever had: no matter what you do, people will listen if there is a story."

Антон Капустин, у которого я прочитал об этой работе, тоже хвалит ее введение и замечает, что хорошо бы кто-то выпустил книгу, состоящую только из особенно хороших предисловий к математическим статьям или книгам. Да, такое я бы с удовольствием почитал.

пусть X — k-мерный остов симплекса на m вершинах. Можно убедиться, что X — букет k-мерных сфер; их число легко посчитать через эйлерову характеристику.

Задачка: а как описать действие группы S_m на H_k(X;Z)?

...наводит на мысль, что о Хилтоне-Милноре правильно говорить на языке операд (хотя я и не умею пока на нем говорить). По крайней мере, уже считается известным, что через операды правильно кодировать информацию о гомотопических инвариантах конфигурационных пространств, см.
https://arxiv.org/abs/2407.11092

Про это слышал из доклада A.Kupers'а, сам доклад к сожалению не записан

A history of duality in algebraic topology (Becker, Gottlieb)
https://www.math.purdue.edu/~gottlieb/Bibliography/53.pdf

Пишут: в начале 70-х в воздухе витала идея трансфера для накрытий. (См. интересный обзор в параграфе 4.1 книги Адамса "Бесконечнократные пространства петель"). Для разных теорий когомологий были построены разные конструкции трансферов. Их можно было бы объединить, если построить трансфер как S-отображение [=стабильное, то есть достаточно много раз надстроенное, отображение на уровне топологических пространств]. Разные конструкции S-отображений предлагали D.Kan, J.Becker, F.W.Roush (1971). Ни одна из них не была опубликована, потому что первооткрыватели не сочли их важными.

Дж.Ф.Адамс пишет в своей книге (с.99-100 русского перевода):
"Внимание топологов к трансферу привлекла хорошо известная работа Кана и Придди (1972). Они писали: "...существование трансфера кажется хорошо известным фактом, но нам неизвестна ни одна публикация на этот счет". Так топологический мир узнал, что все хорошо информированные специалисты должны были бы знать о трансфере, хотя в действительности о нем знали лишь те, кому очень повезло."

(Беккер и Готтлиб потом обобщили эту историю, и ввели трансфер уже в расслоениях...)

начинаем утро правильно:
https://youtu.be/50sCZvDU0gg

это имеет последствия для гиперболической геометрии

https://arxiv.org/abs/2408.15403

https://www.galoisrepresentations.com/2024/06/16/a-talk-on-my-new-work-with-vesselin-dimitrov-and-yunqing-tang-on-irrationality/

пишут что иногда в ряд R,C,H,O,... между кватернионами H и октонионами O уместно добавить шестимерную алгебру секстонионов S (определение на картинке; U=R^2).

Например, можно определить проективную плоскость SP^2 — 12-мерное вещественное алгебраическое многообразие. Особые точки образуют RP^5, их дополнение — векторное расслоение ранга 4 над Gr(2,R^6). (а проективная прямая SP^1 — особая квадрика в RP^7)

А ещё так можно построить (не простую) алгебру Ли e_{7.5}, которая сидит между (исключительными простыми) алгебрами Ли e_7 и e_8
https://arxiv.org/abs/math/0402157

9-14 сентября делаем с ребятами движ по топологии/комбинаторике/приложениям в Воронеже. Регистрация до 26 августа
https://sites.google.com/view/voronezh-top-2/september-2024
(в прошлые разы была микро-конференция, теперь это мини-школа: приглашаем участников докладываться, вроде даже оплачиваем проживание)

(организаторы внутри непланарного графа — для привлечения внимания)

встретилась такая связь между двумя последовательностями {A_1,A_2,...} и {B_1,B_2,...}, понять бы что это значит (помимо того, что они друг друга определяют)

а ещё можно убедиться что число с предыдущей картинки не больше, чем
3^410.

Это не случайно: сколь угодно большого кручения при фиксированном количестве вершин у симплициального комплекса быть не может.

Это и так очевидно, неочевидно что оценка здоровенная (и вроде даже асимптотически точная)

[HKP17] https://arxiv.org/abs/1308.6232

асимптотическая точность:
https://arxiv.org/abs/1707.09271

с гомологиями пространств петель все ещё хуже: существует односвязный клеточный комплекс из 19 клеток, у которого в целочисленных гомологиях петель есть Z/n для всех n

https://www.researchgate.net/publication/38341618_A_Loop_Space_whose_Homology_Has_Torsion_of_All_Orders

Сегодня узнал, что билипшицеву эквивалентность (метрических пространств) иногда называют липеоморфизм

для подпространства X метрического пространства (M,d_M) можно сравнивать индуцированную метрику (в точности d_M(x,y)) и внутреннюю метрику (инфимум длин спрямляемых путей, лежащих в X). Поэтому липеоморфизмы подпространств бывают внутренние и внешние.

А вообще люди оказываются придумали специальные гомологии, чтобы исследовать ростки таких подпространств: moderately discontinuous homology. Цепи состоят из "симплексов, линейно приближающихся к нулю": непрерывных отображений из конуса над стандартным симплексом в наше подпространство, при которых все точки "симплекса, умноженного на t" находятся на расстоянии не меньше t/K и не больше t*K от нуля. (для каждого симплекса константа K>1 своя).
Правда, нужно ещё завести некоторую эквивалентность на таких симплексах, зависящую от вещественного параметра b ("показателя разрывности"). Поэтому циклы в этих гомологиях представляются комбинациями симплексов, которые как бы "стыкуются друг с другом с некоторой погрешностью".
инфа отсюда:
https://arxiv.org/abs/2408.00851
а придумали группы MDH^b_*(X,Y) пять лет назад,
https://arxiv.org/abs/1910.12552

#чётамнаархиве

Вот такие.

[9] N. Linial, R. Meshulam, and M. Rosenthal,
Sum complexes – a new family of hypertrees,
Discrete Comput. Geom 44 (2010), 622–636.
https://arxiv.org/abs/0903.1359

(скриншот из https://arxiv.org/abs/1707.09271 )

Расмотрим двумерный симплициальный комплекс на множестве вершин {0,1,...,40}:
нужно провести все ребра, а затем вклеить те треугольники {i,j,k}, для которых
i+j+k = 0, 1 или 3 (mod 41).

Ни за что не угадаете, какие у него первые гомологии