Непрерывное математическое образование @cme

Непрерывное математическое образование

23 Nov, 13:35

картинки по выходным — из «Цепных дробей» Арнольда

Непрерывное математическое образование

22 Nov, 10:30

Вот некоторые из очерков Владимира Михайловича Тихомирова о математиках:

"Ровесники октября"
https://biblio.mccme.ru/node/5495

"Жизнь математика", посвященная жизни и творчеству выдающегося математика Алексеева В. М.
https://biblio.mccme.ru/node/2622

"Великие математики прошлого и их великие теоремы"
https://old.mccme.ru/free-books/mmmf-lectures/book.1.pdf

1,915

Непрерывное математическое образование

22 Nov, 08:15

Владимиру Михайловичу исполняется сегодня 90 лет — поздравляем!

2,104

Непрерывное математическое образование

22 Nov, 08:13

https://math.ru/lib/bmkvant/56

напомним также про «Рассказы о максимумах и минимумах» В.М.Тихомирова

2,301

Непрерывное математическое образование

22 Nov, 07:08

https://mccme.ru/free-books/mmmf-lectures/book.15.pdf

пусть здесь будет небольшая брошюра В.М.Тихомирова про начала анализа

2,269

Непрерывное математическое образование

21 Nov, 20:16

Как разложить F:=X³+Y³+Z³-3XYZ на множители? Вот несколько возможных подходов.

1) Если поверить, что это возможно, то один из множителей линейный. Проверим, делится ли это выражение на симметричный линейный множитель, X+Y+Z. Ну, если X+Y+Z=0, то Z=-(X+Y) и X³+Y³+Z³=X³+Y³-(X+Y)³=-3X²Y-3XY²=-3XY(X+Y)=3XYZ. То есть X³+Y³+Z³-3XYZ=0 (mod X+Y+Z). Дальше можно разделить F на X+Y+Z в столбик просто.

2) Насколько X³+Y³+Z³ отличается от (X+Y+Z)³? X³+Y³+Z³=(X+Y+Z)³-3(X+Y+Z)(XY+YZ+ZX)+3XYZ (можно сказать, что мы выразили левую часть через элементарные симметрические многочлены). Видим, что F=(X+Y+Z)((X+Y+Z)²-3(XY+YZ+ZX))=(X+Y+Z)(X²+Y²+Z²-XY-YZ-ZX).

Дальше на этом пути можно пытаться выразить суммы n-х степеней через элементарные симметрические (“формулы Ньютона”).

3) F — определитель матрицы
|X Y Z|
|Z X Y|
|Y Z X|
Если прибавить к первой строке две остальные, то видно, что он делится на (X+Y+Z). Оставшийся определитель легко посчитать, но можно вместо этого заметить, что по аналогичной причине определитель делится на (X+wY+w²Z) и (X+w²Y+wZ), где w — кубический корень из 1.

Это вычисление несложно обобщить на определитель F_n матрицы X_{i-j mod n}. Но на этом история не заканчивается, скорее только начинается. И это история про Фробениуса и теорию представлений конечных групп — можно посмотреть по этому поводу текст K.Conrad’а, https://kconrad.math.uconn.edu/articles/groupdet.pdf

2,705

Непрерывное математическое образование

20 Nov, 09:06

https://arxiv.org/abs/0903.4637

в продолжение темы покрытия прямоугольными планками

2,915

Непрерывное математическое образование

18 Nov, 05:44

Предыдущее рассуждение учит, что квадрат нельзя закрыть планками, суммарная ширина которых меньше стороны квадрата, если каждую планку класть параллельно одной из сторон.

А если их разрешается класть как угодно? Оказывается, все равно планками суммарной ширины меньше 1 нельзя покрыть единичный квадрат… и даже единичный круг нельзя.

У этого утверждения есть замечательное геометрическое доказательство, опирающееся на лемму Архимеда. Можно прочитать его в статье А.Акопяна в Кванте — https://www.mathnet.ru/rus/kvant3725

3,235

Непрерывное математическое образование

18 Nov, 05:44

У задачи выше есть разные решения — например, такое:

Будем считать сторону квадрата равной 1. Если одна из сторон прямоугольника равна A, то его площадь не больше A (ведь вторая сторона не больше 1). Поэтому суммарна длина отмеченных отрезков не меньше суммарной площади всех прямоугольников, т.е. 1.

Задача, кстати, была на ММО и на Турнире городов, предложил ее В.В.Произволов.

2,583

Непрерывное математическое образование

18 Nov, 05:44

Квадрат разрезан на прямоугольники. В каждом прямоугольнике отмечена одна сторона. Доказать, что сумма длин отмеченных сторон не меньше стороны квадрата.

2,354