Бесплатный Wi-Fi только для математиков
Математика не для всех
@mathematics_not_for_you
Математика - царица наук, окружающая нас с рождения до самой смерти. У нас - теоремы, головоломки, мемы и факты из алгебры, геометрии, топологии и других областей.
По рекламе: https://telega.in/c/mathematics_not_for_you и @andreybrylb
Математика не для всех (Russian)
Добро пожаловать в канал "Математика не для всех"! Здесь вы найдете интересные математические факты, теоремы, головоломки и мемы из мира алгебры, геометрии, топологии и других областей математики. Математика - царица наук, которая окружает нас с рождения до самой смерти, и мы готовы поделиться с вами увлекательными знаниями из этой удивительной области. Присоединяйтесь к нам, чтобы узнать больше о фундаментальной науке и развивать свой ум вместе с нами. Не упустите возможность изучить математику с удовольствием в нашем канале! По вопросам рекламы вы можете обратиться по ссылке: https://telega.in/c/mathematics_not_for_you или связаться с администратором @andreybrylb. Приходите к нам и давайте вместе погрузимся в удивительный мир математики!
Математика не для всех
15 Feb, 13:44
Что такое "зоопарк узлов" ?
На изображении представлена коллекция узлов, где каждый узел обозначен числовым кодом, который указывает на его структуру. Первое число обозначает количество пересечений, а нижний индекс указывает на порядковый номер узла среди всех узлов с таким же количеством пересечений.
Некоторые узлы имеют и верхний, и нижний индекс - количество звеньев, участвующих в построении. Такие звенья выделены цветом.
На изображении представлена коллекция узлов, где каждый узел обозначен числовым кодом, который указывает на его структуру. Первое число обозначает количество пересечений, а нижний индекс указывает на порядковый номер узла среди всех узлов с таким же количеством пересечений.
Некоторые узлы имеют и верхний, и нижний индекс - количество звеньев, участвующих в построении. Такие звенья выделены цветом.
Математика не для всех
15 Feb, 08:44
Теорема Пика может быть обобщена и на более сложные случаи. Например, для многоугольников с отверстиями формула площади учитывает не только количество внутренних и граничных точек, но и число этих отверстий. В таких случаях площадь вычисляется с добавлением дополнительного слагаемого h, связанного с количеством отверстий. Это позволяет применять теорему к более широкому классу фигур, включая те, которые имеют сложную структуру с внутренними границами.
Кроме того, теорема Пика может быть расширена на области, ограниченные сложными плоскими графами с целочисленными координатами вершин. В таких случаях используются дополнительные параметры, такие как эйлерова характеристика области и её границы, что позволяет учитывать более сложные топологические особенности. Также существуют обобщения для самопересекающихся многоугольников, где формула включает информацию о количестве обходов многоугольника вокруг каждой целочисленной точки.
Однако в трёхмерном пространстве теорема Пика теряет свою применимость. Примером этого являются тетраэдры Рива, которые имеют целочисленные вершины и не содержат других целочисленных точек, но при этом их объёмы могут различаться. Это показывает, что в трёхмерном случае невозможно выразить объём многогранника только через количество внутренних и граничных точек. Тем не менее, для таких многогранников объёмы могут быть описаны с помощью полиномов Эрхарта, что является аналогом теоремы Пика для высших измерений.
Кроме того, теорема Пика может быть расширена на области, ограниченные сложными плоскими графами с целочисленными координатами вершин. В таких случаях используются дополнительные параметры, такие как эйлерова характеристика области и её границы, что позволяет учитывать более сложные топологические особенности. Также существуют обобщения для самопересекающихся многоугольников, где формула включает информацию о количестве обходов многоугольника вокруг каждой целочисленной точки.
Однако в трёхмерном пространстве теорема Пика теряет свою применимость. Примером этого являются тетраэдры Рива, которые имеют целочисленные вершины и не содержат других целочисленных точек, но при этом их объёмы могут различаться. Это показывает, что в трёхмерном случае невозможно выразить объём многогранника только через количество внутренних и граничных точек. Тем не менее, для таких многогранников объёмы могут быть описаны с помощью полиномов Эрхарта, что является аналогом теоремы Пика для высших измерений.
Математика не для всех
14 Feb, 14:24
От Дениса Мельникова
C просторов интернета
#zlobny_prepod #юмор #прикол
C просторов интернета
#zlobny_prepod #юмор #прикол
Математика не для всех
07 Feb, 17:20
Поехали! Впервые в истории России сегодня, 6 февраля, выходит в широкий прокат документальный фильм, снятый в самом пекле войны — в боевых порядках штурмовых групп. Наша — Максима Фадеева и Сергея Белоуса — документальная тетралогия «У края бездны».
Абсолютно честное, бескомпромиссное, искреннее и независимое кино, снятое исключительно на народные средства. Поэтому путь к его широкому освещению весьма тернист: даже сейчас некоторые киносети и кинотеатры боятся ставить его в прокат. Одни опасаются западных санкций, другие — пустых залов («народ не пойдет на документальный фильм об СВО»).
Широкой рекламы — откуда ей взяться? — нет. Поэтому вся надежда снова на вас, дорогие зрители! Только с помощью народной поддержки мы сможем снова сделать чудо — точно так же вывести фильм в топ проката, как это уже было с онлайн-платформами (где мы занимали даже топ-2 и топ-3 по просмотрам).
Поэтому большая просьба: если не видите «У края бездны» в прокате в вашем городе, сразу обращайтесь коллективно в локальные киносети и отдельные кинотеатры, дублируя обращение в местный Минкульт о том, что вы хотите видеть этот фильм в кинозалах. И подключайте местные патриотические организации и СМИ.
Согласитесь, странно получается: в объявленный Президентом Год защитника Отечества некоторыми саботируется показ документального фильма о Герое России, капитане Романе Воробьеве, удостоенном этого звания указом В.В.Путина посмертно… А ведь, если «У края бездны», первую ласточку, вот так провалят — это создаст негативный прецедент для прокатчиков касательно будущих фильмов о героях СВО.
Фильм о настоящих героях из народа, снятый и продвигаемый при поддержке народа.
Каждый, кто читает этот пост, напишите, пожалуйста, о фильме у себя на странице, перешлите пост другим и расскажите всем друзьям лично!
Постом ниже и также в ВК мы сообщим, где и как удобнее искать информацию о показах
P.S. Отдельная радостная новость! Сегодня на музыкальных платформах вышел официальный саундрек «У края бездны», написанный нашим композитором Александром Осиповым. Отдельные композиции альбома пробирают до мурашек!
Абсолютно честное, бескомпромиссное, искреннее и независимое кино, снятое исключительно на народные средства. Поэтому путь к его широкому освещению весьма тернист: даже сейчас некоторые киносети и кинотеатры боятся ставить его в прокат. Одни опасаются западных санкций, другие — пустых залов («народ не пойдет на документальный фильм об СВО»).
Широкой рекламы — откуда ей взяться? — нет. Поэтому вся надежда снова на вас, дорогие зрители! Только с помощью народной поддержки мы сможем снова сделать чудо — точно так же вывести фильм в топ проката, как это уже было с онлайн-платформами (где мы занимали даже топ-2 и топ-3 по просмотрам).
Поэтому большая просьба: если не видите «У края бездны» в прокате в вашем городе, сразу обращайтесь коллективно в локальные киносети и отдельные кинотеатры, дублируя обращение в местный Минкульт о том, что вы хотите видеть этот фильм в кинозалах. И подключайте местные патриотические организации и СМИ.
Согласитесь, странно получается: в объявленный Президентом Год защитника Отечества некоторыми саботируется показ документального фильма о Герое России, капитане Романе Воробьеве, удостоенном этого звания указом В.В.Путина посмертно… А ведь, если «У края бездны», первую ласточку, вот так провалят — это создаст негативный прецедент для прокатчиков касательно будущих фильмов о героях СВО.
Фильм о настоящих героях из народа, снятый и продвигаемый при поддержке народа.
Каждый, кто читает этот пост, напишите, пожалуйста, о фильме у себя на странице, перешлите пост другим и расскажите всем друзьям лично!
Постом ниже и также в ВК мы сообщим, где и как удобнее искать информацию о показах
P.S. Отдельная радостная новость! Сегодня на музыкальных платформах вышел официальный саундрек «У края бездны», написанный нашим композитором Александром Осиповым. Отдельные композиции альбома пробирают до мурашек!
Математика не для всех
07 Feb, 10:19
В этот день в 1979 году Плутон переместился внутрь орбиты Нептуна, став восьмой планетой от Солнца вместо девятой. Это необычное событие произошло из-за сильно вытянутой орбиты Плутона, которая пересекается с орбитой Нептуна примерно раз в 248 лет. В течение 20 лет (1979–1999) Плутон находился ближе к Солнцу, чем Нептун, прежде чем вернуться на своё обычное место в качестве самой удалённой планеты — до его переклассификации в карликовую планету в 2006 году.
Математика не для всех
05 Feb, 18:37
«По мере того, как сложность возрастает, точные утверждения теряют значимость, а значимые утверждения теряют точность».
4 февраля 1921 г. родился Лотфи Заде, американский математик и логик азербайджанского происхождения, автор термина «нечёткая логика» и один из основателей теории нечётких множеств.
В своей речи мы часто оперируем множествами. Например, когда называем кого-то молодым, то формально делим всё человечество на «молодых» и «не молодых» людей. И таким образом причисляем обсуждаемого персонажа к множеству «молодых».
Однако, в реальном мире возраст, температура, богатство и большинство прочих оценочных категорий, которыми мы оперируем, имеют нечёткие границы. Практически всегда существуют переходные формы, при которых человек может быть «не совсем молодым», воздух в комнате «чуть тёплым» и так далее. Как объяснить это бездушной машине?
Учёный предложил ввести понятие частичного вхождения элемента в множество, глубину которого можно измерять в пределах от 0 (полностью не принадлежит) до 1 (полностью принадлежит). Этот параметр Заде назвал «степенью принадлежности». Можно записать, что человек входит в множество «молодых» со степенью принадлежности 0,7 или температура соответствует множеству «тёплая» со степенью 0,2.
Нечёткая логика, построенная подобным образом, позволяет микропроцессору оперировать промежуточными понятиями: например, не просто «холодно» и «жарко», а ещё и «прохладно», «тепло» и «очень тепло». Благодаря этому «электронный мозг» может гибко реагировать на меняющиеся параметры среды и принимать решения из широкого набора вариантов, заложенных в его память.
Предложенная Заде «нечёткая логика» стала попыткой связать математику с интуитивным способом, с которым люди разговаривают, думают и взаимодействуют с миром. Очертания таких множеств Лотфи сравнил с тенями, которые предметы отбрасывают на стены. Он назвал эти множества «нечёткими», применив английское слово fuzzy, обозначающее нечто туманное и расплывчатое.
Заде разработал приёмы, позволяющие работать с лингвистическими переменными подобно тому, как программисты работают с обычными логическими (Boolean) переменными.
Он определил правила для выполнения логических операций AND, OR, NOT над нечёткими высказываниями. В простейшем случае результатом операции «A AND B» будет минимум из степеней истинности A и B, а для операции «A OR B» — максимум. Отрицание реализуется путём вычитания значения истинности из единицы.
С 1990-х годов нечёткую логику широко используют в различных системах управления — от сложных производственных процессов до бытовых приборов. На рынке появилось множество устройств, на корпусе которых красуется надпись «Fuzzy Logic», ставшая своеобразным символом ИИ.
Например, стиральные машины с шильдиком «Fuzzy Logic» самостоятельно проводят анализ таких факторов, как объём белья, тип порошка, уровень загрязнения, и выбирает оптимальный режим стирки из более чем 4000 возможных вариантов.
Но в отличие от искусственных нейронных сетей, классические нечёткие системы не имеют возможности машинного обучения и не могут самостоятельно корректировать свою работу.
4 февраля 1921 г. родился Лотфи Заде, американский математик и логик азербайджанского происхождения, автор термина «нечёткая логика» и один из основателей теории нечётких множеств.
В своей речи мы часто оперируем множествами. Например, когда называем кого-то молодым, то формально делим всё человечество на «молодых» и «не молодых» людей. И таким образом причисляем обсуждаемого персонажа к множеству «молодых».
Однако, в реальном мире возраст, температура, богатство и большинство прочих оценочных категорий, которыми мы оперируем, имеют нечёткие границы. Практически всегда существуют переходные формы, при которых человек может быть «не совсем молодым», воздух в комнате «чуть тёплым» и так далее. Как объяснить это бездушной машине?
Учёный предложил ввести понятие частичного вхождения элемента в множество, глубину которого можно измерять в пределах от 0 (полностью не принадлежит) до 1 (полностью принадлежит). Этот параметр Заде назвал «степенью принадлежности». Можно записать, что человек входит в множество «молодых» со степенью принадлежности 0,7 или температура соответствует множеству «тёплая» со степенью 0,2.
Нечёткая логика, построенная подобным образом, позволяет микропроцессору оперировать промежуточными понятиями: например, не просто «холодно» и «жарко», а ещё и «прохладно», «тепло» и «очень тепло». Благодаря этому «электронный мозг» может гибко реагировать на меняющиеся параметры среды и принимать решения из широкого набора вариантов, заложенных в его память.
Предложенная Заде «нечёткая логика» стала попыткой связать математику с интуитивным способом, с которым люди разговаривают, думают и взаимодействуют с миром. Очертания таких множеств Лотфи сравнил с тенями, которые предметы отбрасывают на стены. Он назвал эти множества «нечёткими», применив английское слово fuzzy, обозначающее нечто туманное и расплывчатое.
Заде разработал приёмы, позволяющие работать с лингвистическими переменными подобно тому, как программисты работают с обычными логическими (Boolean) переменными.
Он определил правила для выполнения логических операций AND, OR, NOT над нечёткими высказываниями. В простейшем случае результатом операции «A AND B» будет минимум из степеней истинности A и B, а для операции «A OR B» — максимум. Отрицание реализуется путём вычитания значения истинности из единицы.
С 1990-х годов нечёткую логику широко используют в различных системах управления — от сложных производственных процессов до бытовых приборов. На рынке появилось множество устройств, на корпусе которых красуется надпись «Fuzzy Logic», ставшая своеобразным символом ИИ.
Например, стиральные машины с шильдиком «Fuzzy Logic» самостоятельно проводят анализ таких факторов, как объём белья, тип порошка, уровень загрязнения, и выбирает оптимальный режим стирки из более чем 4000 возможных вариантов.
Но в отличие от искусственных нейронных сетей, классические нечёткие системы не имеют возможности машинного обучения и не могут самостоятельно корректировать свою работу.
Математика не для всех
03 Feb, 19:15
В традиционный университетский праздник Татьянин день, 25.01.1922 г., московские математики разных поколений — от студентов-первокурсников до профессоров — собрались на торжество. П. Урысон «открыл» праздник шуточным докладом — он прочёл его со всей серьёзностью — на тему: «Интеграл от субъективного счастья в пределах от рождения до смерти человека равен нулю».
Субъективное счастье — производная от объективного. По теореме Ньютона–Лейбница этот интеграл равен разности значения объективного счастья в моменты рождения и смерти. Но эти значения равны нулю (если кто-либо не думает, что объективное счастье человека в момент его смерти равно нулю, пусть возьмёт какой-либо момент после смерти). Что доказывает теорему.
У одного из основателей современной топологии П.С. Александрова было прозвище «ПЁС». Оно появилось благодаря дарственной надписи на книге, которую он презентовал П.С. Урысону: «ПСУ от ПСА».
Субъективное счастье — производная от объективного. По теореме Ньютона–Лейбница этот интеграл равен разности значения объективного счастья в моменты рождения и смерти. Но эти значения равны нулю (если кто-либо не думает, что объективное счастье человека в момент его смерти равно нулю, пусть возьмёт какой-либо момент после смерти). Что доказывает теорему.
У одного из основателей современной топологии П.С. Александрова было прозвище «ПЁС». Оно появилось благодаря дарственной надписи на книге, которую он презентовал П.С. Урысону: «ПСУ от ПСА».
Математика не для всех
03 Feb, 19:15
3 февраля 1898 г. родился Павел Самуилович Урысон, советский математик. Основные результаты в области топологии, нелинейных дифференциальных уравнений, геометрии.
Совместно с П.С. Александровым Урысон основал советскую топологическую школу. Урысон доказал много интереснейших теорем, связанных с введённым им понятием размерности. Но ему никак не удавалось доказать, что самый обычный куб имеет размерность 3. После длительных усилий он нашёл замечательный выход из положения, придумав новое определение размерности. Упрощённо его можно пояснить на примерах. Если взять отрезок или окружность, то их можно разбить на сколь угодно малые части так, что каждая точка принадлежит не более чем двум кусочкам. При этом надо брать кусочки вместе с их границами (то есть конечными точками). Квадрат уже так разбить нельзя. На первый взгляд кажется, что при разбиении квадрата на куски всегда будут точки, принадлежащие четырём частям. Но если уложить части так, как кирпичи на стройке, то удаётся добиться, чтобы каждая точка принадлежала не более чем трём различным частям. Точно так же у куба есть разбиение на маленькие параллелепипеды при котором каждая точка принадлежит не более чем четырём параллелепипедам.
Именно это свойство и принял Урысон за новое определение размерности. Фигура называется имеющей размерность n, если её можно разбить на сколь угодно малые замкнутые части так, чтобы ни одна точка не принадлежала n+2 различным частям, но любом достаточно мелком разбиении найдутся точки, принадлежащие n+1 различным частям.
Используя это определение размерности, Урысон доказал, что размерность квадрата равна 2, куба — 3 и т. д. А потом он показал, что это определение равносильно первоначально данному.
Построенная Урысоном теория размерности произвела глубокое впечатление на весь математический мир. Об этом ярко говорит следующий эпизод. Во время заграничной командировки Урысон сделал доклад о своих результатах в Гёттингене (где до прихода к власти нацистов была самая сильная математическая школа). После доклада руководитель геттингенской математической школы Давид Гильберт сказал, что эти результаты надо опубликовать в журнале “Mathematische Annalen” — одном из главных математических журналов того времени. Через несколько месяцев Урысон снова делал доклад в Геттингене и Гильберт спросил у своего помощника по журналу, напечатана ли уже работа Урысона. Тот ответил, что работа рецензируется. “Но я же ясно сказал, что её надо не рецензировать, а печатать!” — воскликнул Гильберт. После столь недвусмысленного заявления статья была немедленно напечатана.
Павел Самуилович трагически погиб в возрасте 26 лет во время купания в шторм в Бискайском заливе.
Совместно с П.С. Александровым Урысон основал советскую топологическую школу. Урысон доказал много интереснейших теорем, связанных с введённым им понятием размерности. Но ему никак не удавалось доказать, что самый обычный куб имеет размерность 3. После длительных усилий он нашёл замечательный выход из положения, придумав новое определение размерности. Упрощённо его можно пояснить на примерах. Если взять отрезок или окружность, то их можно разбить на сколь угодно малые части так, что каждая точка принадлежит не более чем двум кусочкам. При этом надо брать кусочки вместе с их границами (то есть конечными точками). Квадрат уже так разбить нельзя. На первый взгляд кажется, что при разбиении квадрата на куски всегда будут точки, принадлежащие четырём частям. Но если уложить части так, как кирпичи на стройке, то удаётся добиться, чтобы каждая точка принадлежала не более чем трём различным частям. Точно так же у куба есть разбиение на маленькие параллелепипеды при котором каждая точка принадлежит не более чем четырём параллелепипедам.
Именно это свойство и принял Урысон за новое определение размерности. Фигура называется имеющей размерность n, если её можно разбить на сколь угодно малые замкнутые части так, чтобы ни одна точка не принадлежала n+2 различным частям, но любом достаточно мелком разбиении найдутся точки, принадлежащие n+1 различным частям.
Используя это определение размерности, Урысон доказал, что размерность квадрата равна 2, куба — 3 и т. д. А потом он показал, что это определение равносильно первоначально данному.
Построенная Урысоном теория размерности произвела глубокое впечатление на весь математический мир. Об этом ярко говорит следующий эпизод. Во время заграничной командировки Урысон сделал доклад о своих результатах в Гёттингене (где до прихода к власти нацистов была самая сильная математическая школа). После доклада руководитель геттингенской математической школы Давид Гильберт сказал, что эти результаты надо опубликовать в журнале “Mathematische Annalen” — одном из главных математических журналов того времени. Через несколько месяцев Урысон снова делал доклад в Геттингене и Гильберт спросил у своего помощника по журналу, напечатана ли уже работа Урысона. Тот ответил, что работа рецензируется. “Но я же ясно сказал, что её надо не рецензировать, а печатать!” — воскликнул Гильберт. После столь недвусмысленного заявления статья была немедленно напечатана.
Павел Самуилович трагически погиб в возрасте 26 лет во время купания в шторм в Бискайском заливе.
Математика не для всех
03 Feb, 15:07
Чем зарабатывают мамы в декрете в 2025 году?
✔️ От 50.000 руб зарабатывает начинающий менеджер маркетплейсов в первый месяц, а дальше – столько, сколько сможет вести магазинов одновременно. Хорошая новость — нагрузку и доход можно регулировать самостоятельно.
Это уже реальность многих мам – учениц Александра. Он опытый селлер с оборотом 10 млн/мес. На своем опыте знает, каким должен быть менеджер маркетплейсов, которого сейчас ищут все продавцы на WB и Ozon.
📢 На канале MOCHNEV — простые инструкции, как освоить профессию менеджера маркетплейсов даже в декрете, когда времени в обрез, но свой доход нужно иметь уже сейчас.
➡️ Подписывайтесь на Александра Мочнева и забирайте бесплатный урок в закрепе ⬅️
Это уже реальность многих мам – учениц Александра. Он опытый селлер с оборотом 10 млн/мес. На своем опыте знает, каким должен быть менеджер маркетплейсов, которого сейчас ищут все продавцы на WB и Ozon.
Математика не для всех
03 Feb, 14:16
История математики: от муравьев до фракталов
Математика — это не просто наука, это язык Вселенной. И его история начинается задолго до появления человека. Давайте пройдемся по ключевым моментам, которые сформировали математику такой, какой мы ее знаем сегодня.
Доисторическая математика
150 млн лет назад: муравьи учатся считать шаги.
30 млн лет назад: счет появляется у приматов.
1 млн лет назад: цикады используют простые числа для синхронизации появления из-под земли, чтобы запутать хищников.
18 000 лет назад: археологи находят кость с отметками, которые умножаются и складываются.
5000 лет назад: в Иране появляются первые игральные кости.
3000 лет назад: инки создают узелковые таблицы для математических расчетов, не имея письменности.
Древний мир
2200 до н.э.: в Китае распространяются "магические квадраты".
1800 до н.э.: вавилоняне записывают "пифагоровы тройки".
1650 до н.э.: египетский свиток с задачами по математике, подписанный Ахмесом — первый известный математик.
1300 до н.э.: в Египте изобретают крестики-нолики.
600 до н.э.: теорема Пифагора.
530 до н.э.: братство пифагорейцев.
440 до н.э.: Гиппократ приводит первые доказательства.
350 до н.э.: Платон описывает платоновы тела, а Аристотель выпускает "Органон".
300 до н.э.: Евклид формулирует основы геометрии.
250 до н.э.: Архимед вычисляет число π и исследует большие числа.
240 до н.э.: Эратосфен предлагает метод нахождения простых чисел.
Средние века
650: в Индии появляется знак "ноль".
800: аббат Алкуин пишет учебники по математике.
830: Аль-Хорезми создает алгебру.
1202: Фибоначчи знакомит Европу с арабскими числами.
1427: Ал-Каши выводит теорему косинусов.
Эпоха Возрождения и Новое время
1509: изобретение золотого сечения.
1545: Кардано описывает мнимые числа.
1637: Декарт создает аналитическую геометрию.
1665: Ньютон и Лейбниц разрабатывают математический анализ.
1727: Эйлер вводит число e и формулу e^(iπ) + 1 = 0.
1736: основы теории графов.
1742: гипотеза Гольдбаха (до сих пор не доказана).
XIX век: математика становится абстрактной
1829: Лобачевский создает неевклидову геометрию.
1858: лента Мебиуса.
1874: теория множеств Кантора.
1884: "Флатландия" и тессеракт — первые шаги в четырехмерную математику.
1899: формулы Пика для вычисления площадей.
XX век: взрыв идей
1900: Гильберт формулирует 23 проблемы математики.
1904: гипотеза Пуанкаре (решенная Перельманом в 2003 году).
1910: математика сводится к формальной логике.
1931: теорема Гёделя о неполноте.
1936: машины Тьюринга.
1948: теория информации.
1974: кубик Рубика и сюрреальные числа.
1980: множество Мандельброта — самый сложный объект в математике.
XXI век: математика будущего
2003: доказательство гипотезы Пуанкаре.
2012: abc-гипотеза (остается недоказанной).
2020-е: развитие теории узлов, фракталов и квантовой математики.
Математика — это не просто числа и формулы. Это история о том, как человечество пытается понять мир вокруг себя. И эта история далека от завершения.
#математика #история #наука
Математика — это не просто наука, это язык Вселенной. И его история начинается задолго до появления человека. Давайте пройдемся по ключевым моментам, которые сформировали математику такой, какой мы ее знаем сегодня.
Доисторическая математика
150 млн лет назад: муравьи учатся считать шаги.
30 млн лет назад: счет появляется у приматов.
1 млн лет назад: цикады используют простые числа для синхронизации появления из-под земли, чтобы запутать хищников.
18 000 лет назад: археологи находят кость с отметками, которые умножаются и складываются.
5000 лет назад: в Иране появляются первые игральные кости.
3000 лет назад: инки создают узелковые таблицы для математических расчетов, не имея письменности.
Древний мир
2200 до н.э.: в Китае распространяются "магические квадраты".
1800 до н.э.: вавилоняне записывают "пифагоровы тройки".
1650 до н.э.: египетский свиток с задачами по математике, подписанный Ахмесом — первый известный математик.
1300 до н.э.: в Египте изобретают крестики-нолики.
600 до н.э.: теорема Пифагора.
530 до н.э.: братство пифагорейцев.
440 до н.э.: Гиппократ приводит первые доказательства.
350 до н.э.: Платон описывает платоновы тела, а Аристотель выпускает "Органон".
300 до н.э.: Евклид формулирует основы геометрии.
250 до н.э.: Архимед вычисляет число π и исследует большие числа.
240 до н.э.: Эратосфен предлагает метод нахождения простых чисел.
Средние века
650: в Индии появляется знак "ноль".
800: аббат Алкуин пишет учебники по математике.
830: Аль-Хорезми создает алгебру.
1202: Фибоначчи знакомит Европу с арабскими числами.
1427: Ал-Каши выводит теорему косинусов.
Эпоха Возрождения и Новое время
1509: изобретение золотого сечения.
1545: Кардано описывает мнимые числа.
1637: Декарт создает аналитическую геометрию.
1665: Ньютон и Лейбниц разрабатывают математический анализ.
1727: Эйлер вводит число e и формулу e^(iπ) + 1 = 0.
1736: основы теории графов.
1742: гипотеза Гольдбаха (до сих пор не доказана).
XIX век: математика становится абстрактной
1829: Лобачевский создает неевклидову геометрию.
1858: лента Мебиуса.
1874: теория множеств Кантора.
1884: "Флатландия" и тессеракт — первые шаги в четырехмерную математику.
1899: формулы Пика для вычисления площадей.
XX век: взрыв идей
1900: Гильберт формулирует 23 проблемы математики.
1904: гипотеза Пуанкаре (решенная Перельманом в 2003 году).
1910: математика сводится к формальной логике.
1931: теорема Гёделя о неполноте.
1936: машины Тьюринга.
1948: теория информации.
1974: кубик Рубика и сюрреальные числа.
1980: множество Мандельброта — самый сложный объект в математике.
XXI век: математика будущего
2003: доказательство гипотезы Пуанкаре.
2012: abc-гипотеза (остается недоказанной).
2020-е: развитие теории узлов, фракталов и квантовой математики.
Математика — это не просто числа и формулы. Это история о том, как человечество пытается понять мир вокруг себя. И эта история далека от завершения.
#математика #история #наука
Математика не для всех
02 Feb, 16:14
Многие уверены, что понимают, что такое машинное обучение: достаточно загрузить в компьютер набор данных, и он научится выполнять задачи без явного программирования. Однако компьютеры не обладают способностью к обучению в привычном смысле, а данные не являются для них чем-то вроде корма. За этими терминами скрываются точные математические процессы, лежащие в основе современных технологий искусственного интеллекта.
Машинное обучение представляет собой направление в области искусственного интеллекта, которое сосредоточено на разработке методов, позволяющих алгоритмам адаптироваться и улучшать собственные результаты. Хотя существуют и другие подходы, машинное обучение стало основным двигателем прогресса, поскольку оно ориентировано на автоматическое совершенствование работы алгоритмов.
Одним из наиболее распространённых методов является обучение с учителем. В этом случае процесс начинается с поставленной задачи — например, научить систему различать изображения с кошками и без них. Для её решения необходимо определить математическую функцию, способную выполнять классификацию, преобразовывая числовые данные, составляющие изображение, в выходные значения, соответствующие определённым меткам. Вначале эта функция представляет собой лишь каркас без точных предсказаний. Затем начинается этап обучения, когда другой алгоритм оценивает разницу между прогнозами модели и реальными ответами, вычисляя численное отклонение. Этот алгоритм, не обладая знаниями о природе входных данных, лишь корректирует параметры модели, стремясь уменьшить расхождение между предсказаниями и истиной.
Этот процесс повторяется снова и снова: модель обновляется, затем проходит очередную проверку, после чего корректируется ещё раз. Итерация за итерацией, модель постепенно приближается к точным результатам, и после достаточного числа циклов оказывается способной справляться с новыми, ранее не встречавшимися примерами. В этом заключается ключевая особенность машинного обучения: вместо явного кодирования признаков задачи алгоритм сам находит математические закономерности, необходимые для успешного решения.
Алгоритмы, обученные таким образом, используются во множестве сфер. Они помогают фильтровать спам в электронных письмах, классифицировать изображения, предсказывать финансовые тренды и решать множество других задач. В таких случаях заранее известно, какие ответы должны быть получены, и модель обучается на размеченных данных, привыкая ассоциировать входные примеры с правильными выходными значениями. Однако существуют и другие подходы. В некоторых задачах заранее заданных ответов нет, и алгоритм вынужден искать скрытые закономерности самостоятельно. Такой метод позволяет системе группировать данные по сходству, находя в них структуры, которые не были явно указаны заранее. Его применяют, например, в системах рекомендаций, когда алгоритм анализирует предпочтения пользователя и предлагает контент, соответствующий его вкусам.
Другой важный подход основывается на принципе вознаграждения. Вместо того чтобы ориентироваться на заранее известные правильные ответы, система учится на основе проб и ошибок, получая сигнал о том, насколько успешным оказалось её решение. Постепенно она адаптируется, увеличивая вероятность выбора действий, которые приводят к положительному результату. Именно так обучаются программы, способные играть в шахматы или управлять автомобилем без водителя, реагируя на изменения окружающей среды и принимая оптимальные решения.
Современные исследования машинного обучения охватывают множество сложных алгоритмов, но центральное место занимает использование искусственных нейронных сетей. Эти модели получили своё название из-за схожести их структуры с биологическими нейронами. Они оказались эффективными в решении задач, которые ранее считались неподъёмными для вычислительных систем. Особенно впечатляющие результаты были достигнуты в области обработки естественного языка, где крупные языковые модели способны предсказывать последовательность слов и генерировать осмысленные тексты, используя миллиарды или даже триллионы параметров.
Машинное обучение представляет собой направление в области искусственного интеллекта, которое сосредоточено на разработке методов, позволяющих алгоритмам адаптироваться и улучшать собственные результаты. Хотя существуют и другие подходы, машинное обучение стало основным двигателем прогресса, поскольку оно ориентировано на автоматическое совершенствование работы алгоритмов.
Одним из наиболее распространённых методов является обучение с учителем. В этом случае процесс начинается с поставленной задачи — например, научить систему различать изображения с кошками и без них. Для её решения необходимо определить математическую функцию, способную выполнять классификацию, преобразовывая числовые данные, составляющие изображение, в выходные значения, соответствующие определённым меткам. Вначале эта функция представляет собой лишь каркас без точных предсказаний. Затем начинается этап обучения, когда другой алгоритм оценивает разницу между прогнозами модели и реальными ответами, вычисляя численное отклонение. Этот алгоритм, не обладая знаниями о природе входных данных, лишь корректирует параметры модели, стремясь уменьшить расхождение между предсказаниями и истиной.
Этот процесс повторяется снова и снова: модель обновляется, затем проходит очередную проверку, после чего корректируется ещё раз. Итерация за итерацией, модель постепенно приближается к точным результатам, и после достаточного числа циклов оказывается способной справляться с новыми, ранее не встречавшимися примерами. В этом заключается ключевая особенность машинного обучения: вместо явного кодирования признаков задачи алгоритм сам находит математические закономерности, необходимые для успешного решения.
Алгоритмы, обученные таким образом, используются во множестве сфер. Они помогают фильтровать спам в электронных письмах, классифицировать изображения, предсказывать финансовые тренды и решать множество других задач. В таких случаях заранее известно, какие ответы должны быть получены, и модель обучается на размеченных данных, привыкая ассоциировать входные примеры с правильными выходными значениями. Однако существуют и другие подходы. В некоторых задачах заранее заданных ответов нет, и алгоритм вынужден искать скрытые закономерности самостоятельно. Такой метод позволяет системе группировать данные по сходству, находя в них структуры, которые не были явно указаны заранее. Его применяют, например, в системах рекомендаций, когда алгоритм анализирует предпочтения пользователя и предлагает контент, соответствующий его вкусам.
Другой важный подход основывается на принципе вознаграждения. Вместо того чтобы ориентироваться на заранее известные правильные ответы, система учится на основе проб и ошибок, получая сигнал о том, насколько успешным оказалось её решение. Постепенно она адаптируется, увеличивая вероятность выбора действий, которые приводят к положительному результату. Именно так обучаются программы, способные играть в шахматы или управлять автомобилем без водителя, реагируя на изменения окружающей среды и принимая оптимальные решения.
Современные исследования машинного обучения охватывают множество сложных алгоритмов, но центральное место занимает использование искусственных нейронных сетей. Эти модели получили своё название из-за схожести их структуры с биологическими нейронами. Они оказались эффективными в решении задач, которые ранее считались неподъёмными для вычислительных систем. Особенно впечатляющие результаты были достигнуты в области обработки естественного языка, где крупные языковые модели способны предсказывать последовательность слов и генерировать осмысленные тексты, используя миллиарды или даже триллионы параметров.
Математика не для всех
02 Feb, 16:14
Несмотря на успехи, машинное обучение не лишено проблем. Иногда модели оказываются слишком зависимыми от обучающих данных и теряют способность к обобщению, что делает их уязвимыми к небольшим изменениям входной информации. Ошибки в исходных данных могут приводить к искажениям в прогнозах, создавая потенциально несправедливые результаты. Кроме того, даже при высокой точности предсказаний не всегда можно понять, почему модель пришла к тому или иному выводу, что создаёт сложности в интерпретации её работы.
Тем не менее, несмотря на все сложности, основной принцип машинного обучения остаётся неизменным: многократное повторение процесса корректировки позволяет системе самостоятельно вырабатывать решения, которые человек не может формализовать в виде чётких правил. Это движение вперёд-назад, вперёд-назад в конечном итоге приводит к появлению моделей, способных решать задачи, которые ещё недавно казались недостижимыми.
Источник: https://www.quantamagazine.org/what-is-machine-learning-20240708/
Тем не менее, несмотря на все сложности, основной принцип машинного обучения остаётся неизменным: многократное повторение процесса корректировки позволяет системе самостоятельно вырабатывать решения, которые человек не может формализовать в виде чётких правил. Это движение вперёд-назад, вперёд-назад в конечном итоге приводит к появлению моделей, способных решать задачи, которые ещё недавно казались недостижимыми.
Источник: https://www.quantamagazine.org/what-is-machine-learning-20240708/
Математика не для всех
29 Jan, 13:25
Российские телеканалы выставили Google штраф в 1,8 дуодециллиона рублей за блокировку своих каналов на YouTube — теперь эта астрономическая сумма превышает общий мировой ВВП
Для справки: дуодециллион — это число с 39 нулями, а это примерно в 22 секстиллиона раз больше, чем мировой ВВП. И это ещё не предел — сумма продолжает увеличиваться.
Для справки: дуодециллион — это число с 39 нулями, а это примерно в 22 секстиллиона раз больше, чем мировой ВВП. И это ещё не предел — сумма продолжает увеличиваться.
Математика не для всех
29 Jan, 11:14
🌿 Цикады и магия чисел: как природа использует математику 🌿
Знаете ли вы, что в мире насекомых есть настоящие математические гении? Речь идет о периодических цикадах — уникальных созданиях, чья жизнь подчиняется строгим числовым закономерностям. Их история — это не просто биология, а настоящий урок математики от природы.
Периодические цикады, обитающие в Северной Америке, известны своим необычным жизненным циклом. Они проводят под землей 13 или 17 лет, после чего одновременно выходят на поверхность. Эти числа — не случайность. Они являются простыми числами, то есть делятся только на себя и на единицу. Почему это важно?
Ученые считают, что такой выбор — это эволюционная стратегия, которая помогает цикадам выживать. Если бы их цикл длился, например, 12 лет, они могли бы синхронизироваться с хищниками, чьи жизненные циклы составляют 2, 3, 4 или 6 лет. Но 13 и 17 — это числа, которые крайне редко совпадают с циклами их врагов. Это делает их появление непредсказуемым для хищников, что увеличивает шансы на выживание.
Но и это еще не все. Цикады делятся на группы, называемые "выводами". Каждый вывод имеет свой график появления, и некоторые из них появляются только раз в 17 лет. Ученые до сих пор изучают, как эти насекомые так точно отсчитывают время. Представьте: каждая цикада "знает", когда именно ей нужно выйти на поверхность, чтобы синхронизироваться с миллионами других. Это как огромный природный таймер, работающий с невероятной точностью.
Когда цикады появляются, их количество поражает воображение. На одном гектаре леса может быть до 1,5 миллионов особей! Это тоже часть их стратегии: хищники просто не могут съесть всех сразу. Математика помогает им выжить даже в таких условиях.
Их короткая жизнь на поверхности — это финальный аккорд в их многолетнем цикле. За несколько недель они должны найти партнера, отложить яйца и завершить свой путь. После этого их потомство возвращается под землю, чтобы начать новый отсчет.
Знаете ли вы, что в мире насекомых есть настоящие математические гении? Речь идет о периодических цикадах — уникальных созданиях, чья жизнь подчиняется строгим числовым закономерностям. Их история — это не просто биология, а настоящий урок математики от природы.
Периодические цикады, обитающие в Северной Америке, известны своим необычным жизненным циклом. Они проводят под землей 13 или 17 лет, после чего одновременно выходят на поверхность. Эти числа — не случайность. Они являются простыми числами, то есть делятся только на себя и на единицу. Почему это важно?
Ученые считают, что такой выбор — это эволюционная стратегия, которая помогает цикадам выживать. Если бы их цикл длился, например, 12 лет, они могли бы синхронизироваться с хищниками, чьи жизненные циклы составляют 2, 3, 4 или 6 лет. Но 13 и 17 — это числа, которые крайне редко совпадают с циклами их врагов. Это делает их появление непредсказуемым для хищников, что увеличивает шансы на выживание.
Но и это еще не все. Цикады делятся на группы, называемые "выводами". Каждый вывод имеет свой график появления, и некоторые из них появляются только раз в 17 лет. Ученые до сих пор изучают, как эти насекомые так точно отсчитывают время. Представьте: каждая цикада "знает", когда именно ей нужно выйти на поверхность, чтобы синхронизироваться с миллионами других. Это как огромный природный таймер, работающий с невероятной точностью.
Когда цикады появляются, их количество поражает воображение. На одном гектаре леса может быть до 1,5 миллионов особей! Это тоже часть их стратегии: хищники просто не могут съесть всех сразу. Математика помогает им выжить даже в таких условиях.
Их короткая жизнь на поверхности — это финальный аккорд в их многолетнем цикле. За несколько недель они должны найти партнера, отложить яйца и завершить свой путь. После этого их потомство возвращается под землю, чтобы начать новый отсчет.
Математика не для всех
28 Jan, 20:41
🔍 Аргумент Квайна–Патнэма: почему математика — это не просто абстракция?
Когда мы думаем о математике, часто представляем её как что-то абстрактное, существующее отдельно от реального мира. Числа, функции, геометрические фигуры — всё это кажется продуктом человеческого разума, не имеющим прямого отношения к физической реальности. Но что, если математические объекты на самом деле существуют? Именно это утверждает аргумент Квайна–Патнэма, один из самых влиятельных тезисов в философии математики.
Этот аргумент был предложен двумя выдающимися философами — Уиллардом Ван Орманом Квайном и Хилари Патнэмом. Их идея заключается в том, что математика не просто удобный инструмент для описания мира, а неотъемлемая часть нашего научного понимания реальности. Если мы принимаем научные теории как истинные, то должны признать и существование математических объектов, которые в них используются.
Квайн и Патнэм обратили внимание на то, что математика играет ключевую роль в естественных науках. Без неё мы не смогли бы формулировать законы физики, описывать движение планет, предсказывать поведение элементарных частиц или даже разрабатывать технологии. Математика не просто помогает нам считать — она лежит в основе самых успешных научных теорий, таких как общая теория относительности или квантовая механика.
Например, чтобы описать гравитацию, мы используем дифференциальные уравнения, а чтобы понять структуру атома, обращаемся к комплексным числам. Если эти теории работают и подтверждаются экспериментами, то, по мнению Квайна и Патнэма, мы должны признать, что математические объекты, на которых они основаны, реальны.
Онтологический вывод: если математика работает, значит, она существует
Аргумент Квайна–Патнэма строится на идее онтологического вывода: если что-то необходимо для наших лучших научных теорий, то это что-то должно существовать. Например, если мы верим в существование электронов, потому что они предсказываются физическими теориями, то почему бы не верить в существование чисел или функций, которые также необходимы для этих теорий?
Этот подход бросает вызов традиционным взглядам на математику как на чисто абстрактную дисциплину. Он предлагает рассматривать математику не как набор символов и правил, а как часть реального мира, которую мы открываем, а не изобретаем.
Конечно, аргумент Квайна–Патнэма не остался без критики. Некоторые философы, например, указывают, что не все математические объекты, используемые в науке, обязательно должны существовать. Возможно, некоторые из них — просто удобные фикции, которые помогают нам описывать явления, но не имеют самостоятельного существования.
Кроме того, возникает вопрос: если математика реальна, то где и как существуют математические объекты? Они не материальны, как столы или стулья, но и не идеальны, как мысли. Это делает их природу загадочной и сложной для понимания.
Аргумент Квайна–Патнэма заставляет нас задуматься о природе математики и её месте в нашем понимании мира. Он напоминает, что даже самые абстрактные идеи могут иметь реальные корни и что математика — это не просто игра ума, а инструмент, который помогает нам раскрывать тайны Вселенной.
Когда мы думаем о математике, часто представляем её как что-то абстрактное, существующее отдельно от реального мира. Числа, функции, геометрические фигуры — всё это кажется продуктом человеческого разума, не имеющим прямого отношения к физической реальности. Но что, если математические объекты на самом деле существуют? Именно это утверждает аргумент Квайна–Патнэма, один из самых влиятельных тезисов в философии математики.
Этот аргумент был предложен двумя выдающимися философами — Уиллардом Ван Орманом Квайном и Хилари Патнэмом. Их идея заключается в том, что математика не просто удобный инструмент для описания мира, а неотъемлемая часть нашего научного понимания реальности. Если мы принимаем научные теории как истинные, то должны признать и существование математических объектов, которые в них используются.
Квайн и Патнэм обратили внимание на то, что математика играет ключевую роль в естественных науках. Без неё мы не смогли бы формулировать законы физики, описывать движение планет, предсказывать поведение элементарных частиц или даже разрабатывать технологии. Математика не просто помогает нам считать — она лежит в основе самых успешных научных теорий, таких как общая теория относительности или квантовая механика.
Например, чтобы описать гравитацию, мы используем дифференциальные уравнения, а чтобы понять структуру атома, обращаемся к комплексным числам. Если эти теории работают и подтверждаются экспериментами, то, по мнению Квайна и Патнэма, мы должны признать, что математические объекты, на которых они основаны, реальны.
Онтологический вывод: если математика работает, значит, она существует
Аргумент Квайна–Патнэма строится на идее онтологического вывода: если что-то необходимо для наших лучших научных теорий, то это что-то должно существовать. Например, если мы верим в существование электронов, потому что они предсказываются физическими теориями, то почему бы не верить в существование чисел или функций, которые также необходимы для этих теорий?
Этот подход бросает вызов традиционным взглядам на математику как на чисто абстрактную дисциплину. Он предлагает рассматривать математику не как набор символов и правил, а как часть реального мира, которую мы открываем, а не изобретаем.
Конечно, аргумент Квайна–Патнэма не остался без критики. Некоторые философы, например, указывают, что не все математические объекты, используемые в науке, обязательно должны существовать. Возможно, некоторые из них — просто удобные фикции, которые помогают нам описывать явления, но не имеют самостоятельного существования.
Кроме того, возникает вопрос: если математика реальна, то где и как существуют математические объекты? Они не материальны, как столы или стулья, но и не идеальны, как мысли. Это делает их природу загадочной и сложной для понимания.
Аргумент Квайна–Патнэма заставляет нас задуматься о природе математики и её месте в нашем понимании мира. Он напоминает, что даже самые абстрактные идеи могут иметь реальные корни и что математика — это не просто игра ума, а инструмент, который помогает нам раскрывать тайны Вселенной.
Математика не для всех
28 Jan, 16:05
"Не может решить простую математическую задачу, подтверждает существование коровьих яиц"
Французские интернет-пользователи раскритиковали разработанный во Франции чат-бот Люси из-за ошибок и неполиткорректности, сообщает радиостанция Franceinfo.
Разработкой занималась компания Linagora, которая выпустила чат-бот 23 января на тестовый период, который должен быть продлится месяц. Но вскоре пользователи начали публиковать скриншоты своих запросов к ИИ, высмеивая ответы Люси - "абсурдные и иногда просто нелегальные".
"Люси не может решить простую математическую задачу, подтверждает существование коровьих яиц, отрицает права женщин и подробно описывает рецепт метамфетамина, синтетического наркотика", - пишет Franceinfo.
Французские интернет-пользователи раскритиковали разработанный во Франции чат-бот Люси из-за ошибок и неполиткорректности, сообщает радиостанция Franceinfo.
Разработкой занималась компания Linagora, которая выпустила чат-бот 23 января на тестовый период, который должен быть продлится месяц. Но вскоре пользователи начали публиковать скриншоты своих запросов к ИИ, высмеивая ответы Люси - "абсурдные и иногда просто нелегальные".
"Люси не может решить простую математическую задачу, подтверждает существование коровьих яиц, отрицает права женщин и подробно описывает рецепт метамфетамина, синтетического наркотика", - пишет Franceinfo.
Математика не для всех
28 Jan, 05:22
28 января 1540 г. родился Лудольф ван Кейлен (Цейлен) — нидерландский математик, преподаватель фехтования в Лейденском университете. Его главным вкладом было вычисление числа π с 35 десятичными знаками. В своём вычислении Кейлен следовал известному со времён Архимеда пути определения числа π при помощи нахождения отношения к диаметру периметров правильных вписанных и описанных многоугольников при последовательном удваивании чисел их сторон — так он дошёл до 2⁶²-угольника. В этой работе в течение многих лет учёному помогала его жена. Изложив свои результаты в сочинении «Об окружности», Лудольф закончил его словами: «У кого есть охота, пусть идёт дальше». В честь него это приближение числа π называют лудольфовым числом. Найденные знаки он завещал выбить на своём надгробном камне, что и было исполнено.
Практической пользы в такой точности вычисления числа π, конечно, нет — это была гонка за усиление результата, когда пытаются выжать всё, что можно, имеющимися способами. Если бы можно было начертить идеальный вплоть до атомного масштаба круг радиуса расстояния от Земли до Солнца, то тепловые колебания молекул чернил сделали бы добрую половину этих цифр физически бессмысленными. Однако, результаты таких гонок хороши для проверки новых методов — до сих пор вычисление знаков числа π используют для тестирования компьютеров.
Однако собственно математической ценности эта упорная многолетняя работа Кейлена не представляла: оставалось так и невыясненным, является ли число π рациональным (т.е. отношением двух целых чисел), или иррациональным. Ответ пришёл только тогда, когда появился математический анализ и задача поиска аналитического выражения для отношения длины окружности к диаметру перекочевала туда. В 1767 г. немецкий математик И.Г. Ламберт доказал, что число π иррационально. А ещё через сто с лишним лет, в 1882 г., другой немецкий математик — Ф. Линдеман доказал его трансцендентность, (что означало, в частности, и невозможность построения при помощи циркуля и линейки квадрата, равновеликого данному кругу).
Картина мира такова:
Я — твой, ты — мой объект.
Боготворить, лепить, ковать,
есть плюшки на обед…
Сквозь щели промелькнувших лет —
рекордами сорить
и ни о чём не сожалеть,
времён умерив прыть.
Но как ты «пи» не приближай,
Всё уже жизни круг.
Лудольфова числа скрижаль
приснится поутру.
Твоя вселенная во мне
сомненьем создана.
На ирреальнейшей волне
луна всплывёт со дна, —
увидеть в триллионный раз
как нежностью горит
в сияньи говорящих глаз
любви александрит…
(Е. Чаусова)
Практической пользы в такой точности вычисления числа π, конечно, нет — это была гонка за усиление результата, когда пытаются выжать всё, что можно, имеющимися способами. Если бы можно было начертить идеальный вплоть до атомного масштаба круг радиуса расстояния от Земли до Солнца, то тепловые колебания молекул чернил сделали бы добрую половину этих цифр физически бессмысленными. Однако, результаты таких гонок хороши для проверки новых методов — до сих пор вычисление знаков числа π используют для тестирования компьютеров.
Однако собственно математической ценности эта упорная многолетняя работа Кейлена не представляла: оставалось так и невыясненным, является ли число π рациональным (т.е. отношением двух целых чисел), или иррациональным. Ответ пришёл только тогда, когда появился математический анализ и задача поиска аналитического выражения для отношения длины окружности к диаметру перекочевала туда. В 1767 г. немецкий математик И.Г. Ламберт доказал, что число π иррационально. А ещё через сто с лишним лет, в 1882 г., другой немецкий математик — Ф. Линдеман доказал его трансцендентность, (что означало, в частности, и невозможность построения при помощи циркуля и линейки квадрата, равновеликого данному кругу).
Картина мира такова:
Я — твой, ты — мой объект.
Боготворить, лепить, ковать,
есть плюшки на обед…
Сквозь щели промелькнувших лет —
рекордами сорить
и ни о чём не сожалеть,
времён умерив прыть.
Но как ты «пи» не приближай,
Всё уже жизни круг.
Лудольфова числа скрижаль
приснится поутру.
Твоя вселенная во мне
сомненьем создана.
На ирреальнейшей волне
луна всплывёт со дна, —
увидеть в триллионный раз
как нежностью горит
в сияньи говорящих глаз
любви александрит…
(Е. Чаусова)
Математика не для всех
27 Jan, 11:25
Некоторые уверены, что нейросети заменят людей, из-за этого сократят рабочие места, а в конечном итоге искусственный интеллект и вовсе захватит мир. Но сейчас ИИ нужен во многих сферах: от медицины и финансов до производства и транспорта.
С увеличением спроса на нейросети растет и потребность в ML-инженерах, которые умеют их обучать. О том, кто это, чем именно занимается и почему эти специалисты так востребованы, вы можете узнать на бесплатном онлайн-вебинаре от karpov courses, который пройдет 28 января в 19:00 мск.
Переходите по ссылке, регистрируйтесь на вебинар и получите карьерный гайд в подарок: https://clc.to/8dY_Hw
Реклама. ООО "КАРПОВ КУРСЫ". ИНН 7811764627. erid: 2W5zFJa7vqE
С увеличением спроса на нейросети растет и потребность в ML-инженерах, которые умеют их обучать. О том, кто это, чем именно занимается и почему эти специалисты так востребованы, вы можете узнать на бесплатном онлайн-вебинаре от karpov courses, который пройдет 28 января в 19:00 мск.
Переходите по ссылке, регистрируйтесь на вебинар и получите карьерный гайд в подарок: https://clc.to/8dY_Hw
Реклама. ООО "КАРПОВ КУРСЫ". ИНН 7811764627. erid: 2W5zFJa7vqE
Математика не для всех
27 Jan, 10:15
Льюис Кэрролл отличался живым умом и любознательностью. Он постоянно изобретал хитроумные приспособления и придумывал способы, как по-новому использовать обычные предметы или вещи. Свои новшества и открытия он с завидной педантичностью записывал в дневник.
Кэрролл изобрёл никтограф и никтографию (от греч. νύξ – «ночь»). Никтограф — прибор, с помощью которого писатель записывал свои идеи ночью в темноте при помощи специального квадратного алфавита. Он представлял собой карточку с сеткой из 16 квадратных отверстий, через которые чертились придуманные писателем символы. Каждый символ состоял из линий и точек, смещенных к углам квадратов для простоты использования.
Экономическое новаторство Кэрролла — упрощённый метод денежных переводов — успешно используется в современной банковской системе. Его суть состоит в том, что отправитель заполняет два бланка перевода, один из которых он для пересылки отдает на почту. В двух бланках содержится номер-код, который должен назвать получатель.
Льюис Кэрролл также придумал:
• правило расчёта, на какой день недели приходится конкретная дата;
• способ выравнивания строк по правому полю пишущей машины;
• руль для трёхколесного велосипеда (а в некоторых источниках утверждается, что и сам 3-колёсный велосипед);
• более точные и справедливые правила исключения из теннисных турниров;
• правила оплаты почтовых расходов;
• картонную шкалу, чтобы сверять количество налитого ликера с заказанным;
• оригинальные методы решения силлогизмов и соритов;
• мнемонические приёмы для запоминания последовательности цифр;
• круглый стол для бильярда;
• двустороннюю клейкую ленту, чтобы запечатывать конверты;
• суперобложку для книг;
• устройство для лежачих больных, которое облегчает чтение книг;
• шахматы для путешественников, где фигуры удерживаются на доске благодаря маленькому выступу и углублению;
• два шифра криптографии.
Образ Безумного Шляпника появился благодаря английской пословице «Безумен, как шляпник». Эта пословица отражала реальное положение вещей, потому что в XIX в. при обработке фетра использовали ртуть и свинец. Отравление опасными испарениями нередко заканчивалось для мастеров шляпных дел помешательством.
Кэрролл изобрёл никтограф и никтографию (от греч. νύξ – «ночь»). Никтограф — прибор, с помощью которого писатель записывал свои идеи ночью в темноте при помощи специального квадратного алфавита. Он представлял собой карточку с сеткой из 16 квадратных отверстий, через которые чертились придуманные писателем символы. Каждый символ состоял из линий и точек, смещенных к углам квадратов для простоты использования.
Экономическое новаторство Кэрролла — упрощённый метод денежных переводов — успешно используется в современной банковской системе. Его суть состоит в том, что отправитель заполняет два бланка перевода, один из которых он для пересылки отдает на почту. В двух бланках содержится номер-код, который должен назвать получатель.
Льюис Кэрролл также придумал:
• правило расчёта, на какой день недели приходится конкретная дата;
• способ выравнивания строк по правому полю пишущей машины;
• руль для трёхколесного велосипеда (а в некоторых источниках утверждается, что и сам 3-колёсный велосипед);
• более точные и справедливые правила исключения из теннисных турниров;
• правила оплаты почтовых расходов;
• картонную шкалу, чтобы сверять количество налитого ликера с заказанным;
• оригинальные методы решения силлогизмов и соритов;
• мнемонические приёмы для запоминания последовательности цифр;
• круглый стол для бильярда;
• двустороннюю клейкую ленту, чтобы запечатывать конверты;
• суперобложку для книг;
• устройство для лежачих больных, которое облегчает чтение книг;
• шахматы для путешественников, где фигуры удерживаются на доске благодаря маленькому выступу и углублению;
• два шифра криптографии.
Образ Безумного Шляпника появился благодаря английской пословице «Безумен, как шляпник». Эта пословица отражала реальное положение вещей, потому что в XIX в. при обработке фетра использовали ртуть и свинец. Отравление опасными испарениями нередко заканчивалось для мастеров шляпных дел помешательством.
Математика не для всех
27 Jan, 10:14
27 января 1832 г. родился английский писатель, математик, логик, философ, диакон, фотограф Чарльз Лютвидж Доджсон, более известный по псевдониму Льюис Кэрролл (образованному путём перестановки своих имён местами, переводу их на латынь —«Людовикус Каролус» — а затем обратному переводу на родной английский язык).
Рассказывают, что, когда в 1865 г. книжка Льюиса Кэрролла «Алиса в стране чудес» попала в руки королевы Великобритании Виктории, она пришла в восторг и тут же потребовала принести ей другие книги такого замечательного писателя. Каково же было её разочарование, когда выяснилось, что прочие труды этого автора посвящены математике.
Кэрролл питал интерес ко всем отраслям математики: евклидовой геометрии, матанализу, теории вероятностей, линейной и матричной алгебре. Одна из самых известных работ Доджсона — «Алгебраический разбор 5-й книги Эвклида», в которой математик подробно рассматривает общую теорию пропорций, изложенную древнегреческим учёным.
Писатель-математик не следовал стереотипам и свободно сочетал в себе способности технаря и гуманитария. Художественный язык Кэрролл использовал даже в научных трудах. Например, в работе «Эвклид и его современные соперники» повествование ведётся в форме забавных диалогов между математиком по имени Минос и «адвокатом дьявола» профессором Никто, который воплощает в себе соперников древнегреческого ученого.
Он написал книгу «Элементарное руководство по теории детерминантов», где, в частности, придумал метод вычисления определителей, который известен теперь как конденсация Доджсона.
В историю точных наук Кэрролл вошёл, прежде всего, как новатор в сфере математической логики, разработав графическую технику решения логических задач (или построение «дерева логических условий»). Все достижения в области математической логики Доджсона собраны в двухтомнике «Символической логики».
Ещё одной его сильной стороной были игры и головоломки — он не только любил их сочинять, но и с огромным удовольствием смотрел на реакцию детей на эти нестандартные задачки.
По ночам писателя часто мучала бессонница, и, чтобы скоротать время, Льюис Кэрролл придумывал задачки. Впоследствии они вошли в сборники «Полуночные задачи», «Математические курьёзы», «Логическая игра», «История с узелками».
По мнению некоторых биографов Кэрролла, история Алисы, возможно, была сатирой на новые разделы математики, такие как неевклидова геометрия. Подобно остальным сферам своей жизни, Доджсон был консервативным математиком, жившим и работавшим в эпоху резкого изменения дисциплины, а приключения Алисы были его пародией на зарождавшуюся в то время концептуальную математику, где фигурировали мнимые числа и кватернионы. Чеширский кот может представлять собой усиливающуюся абстракцию в этой сфере, а общая абсурдность Страны чудес означать противостояние «абсурдности» традициям, которое Доджсон видел в своей дисциплине.
Рассказывают, что, когда в 1865 г. книжка Льюиса Кэрролла «Алиса в стране чудес» попала в руки королевы Великобритании Виктории, она пришла в восторг и тут же потребовала принести ей другие книги такого замечательного писателя. Каково же было её разочарование, когда выяснилось, что прочие труды этого автора посвящены математике.
Кэрролл питал интерес ко всем отраслям математики: евклидовой геометрии, матанализу, теории вероятностей, линейной и матричной алгебре. Одна из самых известных работ Доджсона — «Алгебраический разбор 5-й книги Эвклида», в которой математик подробно рассматривает общую теорию пропорций, изложенную древнегреческим учёным.
Писатель-математик не следовал стереотипам и свободно сочетал в себе способности технаря и гуманитария. Художественный язык Кэрролл использовал даже в научных трудах. Например, в работе «Эвклид и его современные соперники» повествование ведётся в форме забавных диалогов между математиком по имени Минос и «адвокатом дьявола» профессором Никто, который воплощает в себе соперников древнегреческого ученого.
Он написал книгу «Элементарное руководство по теории детерминантов», где, в частности, придумал метод вычисления определителей, который известен теперь как конденсация Доджсона.
В историю точных наук Кэрролл вошёл, прежде всего, как новатор в сфере математической логики, разработав графическую технику решения логических задач (или построение «дерева логических условий»). Все достижения в области математической логики Доджсона собраны в двухтомнике «Символической логики».
Ещё одной его сильной стороной были игры и головоломки — он не только любил их сочинять, но и с огромным удовольствием смотрел на реакцию детей на эти нестандартные задачки.
По ночам писателя часто мучала бессонница, и, чтобы скоротать время, Льюис Кэрролл придумывал задачки. Впоследствии они вошли в сборники «Полуночные задачи», «Математические курьёзы», «Логическая игра», «История с узелками».
По мнению некоторых биографов Кэрролла, история Алисы, возможно, была сатирой на новые разделы математики, такие как неевклидова геометрия. Подобно остальным сферам своей жизни, Доджсон был консервативным математиком, жившим и работавшим в эпоху резкого изменения дисциплины, а приключения Алисы были его пародией на зарождавшуюся в то время концептуальную математику, где фигурировали мнимые числа и кватернионы. Чеширский кот может представлять собой усиливающуюся абстракцию в этой сфере, а общая абсурдность Страны чудес означать противостояние «абсурдности» традициям, которое Доджсон видел в своей дисциплине.
Математика не для всех
26 Jan, 14:08
«Цветки» — это 3D-печатные скульптуры, которые оживают при вращении под стробоскопом. Эффект анимации «цветка» достигается за счёт постепенного вращения в соответствии с золотым сечением, фи (ϕ) - тем же соотношением, которое природа использует для создания спиральных узоров, которые мы видим на сосновых шишках и подсолнухах. Скорость вращения и частота стробоскопа «цветка» синхронизированы таким образом, что при повороте «цветка» на 137,5° (угловая версия золотого сечения) происходит одна вспышка.
Математика не для всех
26 Jan, 12:02
Джордж Беркли, ирландский англиканский священнослужитель, критиковал исчисление в своем трактате «Аналитик». Он выразил обеспокоенность по поводу обоснованности использования бесконечно малых величин в исчислении, таких как производные и дифференциалы (evanescent increments).
Беркли назвал эти бесконечно малые «призраками исчезнувших величин» (ghosts of departed quantities). Он сомневался в том, что они являются конечными величинами, бесконечно малыми величинами или вообще ничем, что делает их использование в математических доказательствах проблематичным.
Беркли выразил сомнение в том, может ли исчисление считаться истинной математикой, поскольку, по его мнению, оно полагается на сомнительные рассуждения о бесконечно малых величинах. Таким образом, проблема, выделенная Беркли, заключалась в том, что основания исчисления были нестрогими из-за использования бесконечно малых величин, что ставило под сомнение математическую корректность методов исчисления, разработанных Ньютоном и Лейбницем.
Этот критический взгляд на исчисление со стороны Беркли подтолкнул математиков в 19 веке к более строгому обоснованию исчисления на основе понятия пределов, избегая рассуждений о бесконечно малых величинах.
Беркли назвал эти бесконечно малые «призраками исчезнувших величин» (ghosts of departed quantities). Он сомневался в том, что они являются конечными величинами, бесконечно малыми величинами или вообще ничем, что делает их использование в математических доказательствах проблематичным.
Беркли выразил сомнение в том, может ли исчисление считаться истинной математикой, поскольку, по его мнению, оно полагается на сомнительные рассуждения о бесконечно малых величинах. Таким образом, проблема, выделенная Беркли, заключалась в том, что основания исчисления были нестрогими из-за использования бесконечно малых величин, что ставило под сомнение математическую корректность методов исчисления, разработанных Ньютоном и Лейбницем.
Этот критический взгляд на исчисление со стороны Беркли подтолкнул математиков в 19 веке к более строгому обоснованию исчисления на основе понятия пределов, избегая рассуждений о бесконечно малых величинах.
Математика не для всех
26 Jan, 09:51
📜 Эволюция математических доказательств: от Евклида до ИИ
Математика — это не только числа и формулы, но и искусство строгого мышления. Лекция Джереми Авигада, профессора философии и математики в Университете Карнеги-Меллона, рассказывает, как методы математических доказательств менялись на протяжении веков. Давайте пройдемся по основным этапам этой увлекательной истории!
🔍 Древнегреческая геометрия
Всё началось с Евклида (около 300 г. до н.э.), который с помощью геометрических построений и логики доказал теорему Пифагора. Его подход стал эталоном строгости на тысячелетия.
🧮 Арифметика и теория чисел
В XVI веке Пьер де Ферма сформулировал гипотезу о простых числах, но доказательство оставил потомкам. Леонард Эйлер в XVIII веке справился с этой задачей, используя метод бесконечного спуска.
📐 Развитие исчисления
В XVII веке Ньютон и Лейбниц создали исчисление, основанное на бесконечно малых величинах. Однако их методы вызывали споры — строгость доказательств стала вызовом для математиков.
🎯 Строгое обоснование исчисления
В XIX веке Огюстен Луи Коши и другие математики переосмыслили исчисление, заменив интуитивные рассуждения о бесконечно малых на точные определения пределов.
♾️ Теория множеств и бесконечность
Георг Кантор в конце XIX века ввел понятие бесконечных множеств и доказал, что бесконечности бывают разного "размера". Его диагональный аргумент стал классикой, но вызвал споры о природе бесконечности.
📜 Аксиоматизация математики
В начале XX века Давид Гильберт и другие математики разработали аксиоматические системы (например, Цермело-Френкеля), чтобы придать математике строгую основу и избежать парадоксов.
💻 Компьютерные доказательства
С конца XX века компьютеры стали помогать математикам. Программы вроде Lean позволяют формально записывать и проверять доказательства, что открыло новую эру в математике.
🤖 ИИ в математике
Современные системы искусственного интеллекта, такие как AlphaGeometry и AlphaProof, уже решают задачи на уровне лучших учеников и даже находят новые доказательства.
🚀 Что дальше?
Математика продолжает эволюционировать, и её методы становятся всё более мощными. Как отмечает Авигад, математика остаётся ключевым инструментом для понимания и контроля ИИ.
А вы как думаете: сможет ли ИИ когда-нибудь полностью заменить математиков? 🤔
#Математика #ИсторияНауки #ИИ #Доказательства #Наука
Математика — это не только числа и формулы, но и искусство строгого мышления. Лекция Джереми Авигада, профессора философии и математики в Университете Карнеги-Меллона, рассказывает, как методы математических доказательств менялись на протяжении веков. Давайте пройдемся по основным этапам этой увлекательной истории!
🔍 Древнегреческая геометрия
Всё началось с Евклида (около 300 г. до н.э.), который с помощью геометрических построений и логики доказал теорему Пифагора. Его подход стал эталоном строгости на тысячелетия.
🧮 Арифметика и теория чисел
В XVI веке Пьер де Ферма сформулировал гипотезу о простых числах, но доказательство оставил потомкам. Леонард Эйлер в XVIII веке справился с этой задачей, используя метод бесконечного спуска.
📐 Развитие исчисления
В XVII веке Ньютон и Лейбниц создали исчисление, основанное на бесконечно малых величинах. Однако их методы вызывали споры — строгость доказательств стала вызовом для математиков.
🎯 Строгое обоснование исчисления
В XIX веке Огюстен Луи Коши и другие математики переосмыслили исчисление, заменив интуитивные рассуждения о бесконечно малых на точные определения пределов.
♾️ Теория множеств и бесконечность
Георг Кантор в конце XIX века ввел понятие бесконечных множеств и доказал, что бесконечности бывают разного "размера". Его диагональный аргумент стал классикой, но вызвал споры о природе бесконечности.
📜 Аксиоматизация математики
В начале XX века Давид Гильберт и другие математики разработали аксиоматические системы (например, Цермело-Френкеля), чтобы придать математике строгую основу и избежать парадоксов.
💻 Компьютерные доказательства
С конца XX века компьютеры стали помогать математикам. Программы вроде Lean позволяют формально записывать и проверять доказательства, что открыло новую эру в математике.
🤖 ИИ в математике
Современные системы искусственного интеллекта, такие как AlphaGeometry и AlphaProof, уже решают задачи на уровне лучших учеников и даже находят новые доказательства.
🚀 Что дальше?
Математика продолжает эволюционировать, и её методы становятся всё более мощными. Как отмечает Авигад, математика остаётся ключевым инструментом для понимания и контроля ИИ.
А вы как думаете: сможет ли ИИ когда-нибудь полностью заменить математиков? 🤔
#Математика #ИсторияНауки #ИИ #Доказательства #Наука
Математика не для всех
25 Jan, 09:57
«До сотворения мира Бог занимался только чистой математикой. Затем Он решил, что было бы неплохо заняться чем-то прикладным». ~ Джон Эденсор Литтлвуд, «Сборник статей математика», 1953
Математика не для всех
23 Jan, 22:25
Гильберта спросили об одном из его бывших учеников.
— Ах, этот-то? — вспомнил Гильберт. — Он стал поэтом. Для математики у него было слишком мало воображения.
На одной из своих лекций Давид Гильберт сказал:
— Каждый человек имеет некоторый определенный горизонт. Когда он сужается и становится бесконечно малым, он превращается в точку. Тогда человек говорит: «Это моя точка зрения».
Однажды Гильберт и его супруга устроили званый вечер. После прихода одного из гостей мадам Гильберт отвела мужа в сторону и сказала ему: «Давид, пойди и смени галстук». Гильберт ушёл. Прошёл час, а он всё не появлялся. Встревоженная хозяйка дома отправилась на поиски супруга и, заглянув в спальню, обнаружила Гильберта в постели. Тот крепко спал. Проснувшись, он вспомнил, что, сняв галстук, автоматически стал раздеваться дальше и, надев пижаму, лёг в кровать.
В Гёттингенском университете Гильберт 35 лет руководил кафедрой математики. Один из новых сотрудников кафедры нанёс уважаемому профессору визит. Он пришёл к нему домой, расположился в приёмной и, сев в кресло, поставил свой головной убор — модный цилиндр — на пол. Визитёр оказался чрезмерно разговорчивым и своей болтовнёй довольно быстро утомил пожилого профессора. Гильберт долго хмурился, а потом встал, надел чужой цилиндр на свою голову, тронул жену за руку и сказал: «Дорогая, мне кажется, что мы задерживаем уважаемого коллегу». С этими словами рассеянный учёный вышел из собственного дома.
Один слишком навязчивый аспирант довёл Гильберта до того, что тот сказал ему: «Идите и разработайте построение правильного многоугольника с 65537 (= 2¹⁶ + 1) сторонами». Аспирант удалился, чтобы вернуться через 20 лет с соответствующим построением (которое хранится в архивах в Гёттингене).
Гильберт каждый день появлялся в порванных брюках, что многих смущало. Задачу тактично сообщить Гильберту об этом возложили на его ассистента Р. Куранта. Зная о том, какое удовольствие Гильберту приносят прогулки по пересеченной местности, сопровождаемые разговорами о математике, Курант пригласил его пройтись, устроив это так, что им пришлось продираться через заросли колючих кустов. Тогда Курант и сказал Гильберту, что тот, похоже, порвал брюки об один из таких кустов. «Да нет же, — ответил Гильберт, — они такие уже не одну неделю, хотя никто этого и не замечает».
Кстати, именно благодарю Куранту возникла шутка о том, что Гильберт был «истинным арийцем», в жилах которого текла еврейская кровь: во время одной болезни Гильберту перелили кровь, которую сдал для него Рихард Курант.
У Гильберта был студент, который однажды показал ему работу, претендующую на доказательство гипотезы Римана. Гильберт тщательно изучил работу; на него произвела впечатление глубина аргументации. Но, увы, он обнаружил ошибку. На следующий год студент умер. Гильберт попросил у охваченных горем родителей разрешения выступить с речью на похоронах. Родственники и друзья рыдают под дождём возле могилы; Гильберт выходит вперед. Он начинает со слов о том, какая это большая трагедия, что такой одарённый молодой человек умер прежде, чем ему представилась возможность продемонстрировать, чего он в состоянии достичь. Но, продолжает Гильберт, несмотря на то что предложенное этим молодым человеком доказательство содержало ошибку, возможно тем не менее, что однажды доказательство этой знаменитой проблемы будет получено именно на том пути, который наметил покойный. «И в самом деле, — с энтузиазмом продолжил Гильберт, стоя под дождем возле могилы студента, — рассмотрим функцию комплексной переменной...»
— Ах, этот-то? — вспомнил Гильберт. — Он стал поэтом. Для математики у него было слишком мало воображения.
На одной из своих лекций Давид Гильберт сказал:
— Каждый человек имеет некоторый определенный горизонт. Когда он сужается и становится бесконечно малым, он превращается в точку. Тогда человек говорит: «Это моя точка зрения».
Однажды Гильберт и его супруга устроили званый вечер. После прихода одного из гостей мадам Гильберт отвела мужа в сторону и сказала ему: «Давид, пойди и смени галстук». Гильберт ушёл. Прошёл час, а он всё не появлялся. Встревоженная хозяйка дома отправилась на поиски супруга и, заглянув в спальню, обнаружила Гильберта в постели. Тот крепко спал. Проснувшись, он вспомнил, что, сняв галстук, автоматически стал раздеваться дальше и, надев пижаму, лёг в кровать.
В Гёттингенском университете Гильберт 35 лет руководил кафедрой математики. Один из новых сотрудников кафедры нанёс уважаемому профессору визит. Он пришёл к нему домой, расположился в приёмной и, сев в кресло, поставил свой головной убор — модный цилиндр — на пол. Визитёр оказался чрезмерно разговорчивым и своей болтовнёй довольно быстро утомил пожилого профессора. Гильберт долго хмурился, а потом встал, надел чужой цилиндр на свою голову, тронул жену за руку и сказал: «Дорогая, мне кажется, что мы задерживаем уважаемого коллегу». С этими словами рассеянный учёный вышел из собственного дома.
Один слишком навязчивый аспирант довёл Гильберта до того, что тот сказал ему: «Идите и разработайте построение правильного многоугольника с 65537 (= 2¹⁶ + 1) сторонами». Аспирант удалился, чтобы вернуться через 20 лет с соответствующим построением (которое хранится в архивах в Гёттингене).
Гильберт каждый день появлялся в порванных брюках, что многих смущало. Задачу тактично сообщить Гильберту об этом возложили на его ассистента Р. Куранта. Зная о том, какое удовольствие Гильберту приносят прогулки по пересеченной местности, сопровождаемые разговорами о математике, Курант пригласил его пройтись, устроив это так, что им пришлось продираться через заросли колючих кустов. Тогда Курант и сказал Гильберту, что тот, похоже, порвал брюки об один из таких кустов. «Да нет же, — ответил Гильберт, — они такие уже не одну неделю, хотя никто этого и не замечает».
Кстати, именно благодарю Куранту возникла шутка о том, что Гильберт был «истинным арийцем», в жилах которого текла еврейская кровь: во время одной болезни Гильберту перелили кровь, которую сдал для него Рихард Курант.
У Гильберта был студент, который однажды показал ему работу, претендующую на доказательство гипотезы Римана. Гильберт тщательно изучил работу; на него произвела впечатление глубина аргументации. Но, увы, он обнаружил ошибку. На следующий год студент умер. Гильберт попросил у охваченных горем родителей разрешения выступить с речью на похоронах. Родственники и друзья рыдают под дождём возле могилы; Гильберт выходит вперед. Он начинает со слов о том, какая это большая трагедия, что такой одарённый молодой человек умер прежде, чем ему представилась возможность продемонстрировать, чего он в состоянии достичь. Но, продолжает Гильберт, несмотря на то что предложенное этим молодым человеком доказательство содержало ошибку, возможно тем не менее, что однажды доказательство этой знаменитой проблемы будет получено именно на том пути, который наметил покойный. «И в самом деле, — с энтузиазмом продолжил Гильберт, стоя под дождем возле могилы студента, — рассмотрим функцию комплексной переменной...»
Математика не для всех
22 Jan, 11:15
Концептуальные клетки: как мозг кодирует воспоминания и понятия
Представьте, что вы сидите в баре на первом свидании, потягиваете мартини и слушаете рассказ о работе в банке. Ваш мозг в этот момент обрабатывает множество понятий: бар, свидание, мартини, оливка, банк. Глубоко в вашем мозге активируются нейроны, известные как концептуальные клетки. Эти клетки отвечают за распознавание и хранение абстрактных понятий, таких как «мартини» или «банк», независимо от того, как они представлены — в реальной жизни, на фотографии, в тексте или в речи.
Концептуальные клетки — это нейроны, которые активируются в ответ на определённые понятия. Например, у вас могут быть нейроны, которые реагируют на вид мартини, но не на оливки, или на конкретный бар, если вы бывали там раньше. Эти клетки играют ключевую роль в том, как мозг обрабатывает и хранит информацию, формируя воспоминания и ассоциации.
Идея о том, что отдельные нейроны могут кодировать конкретные понятия, долгое время считалась абсурдной. В 1969 году нейробиолог Джером Леттвин в шутку предложил концепцию «бабушкиной клетки» — нейрона, который отвечает за воспоминания о конкретном человеке, например, о вашей бабушке. Эта идея была высмеяна научным сообществом, так как казалось невероятным, чтобы один нейрон мог хранить столь сложную информацию.
Однако в начале 2000-х годов исследователи обнаружили, что такие клетки действительно существуют. Нейробиолог Родриго Киан Кирога, работая с пациентами с эпилепсией, обнаружил нейроны, которые активировались при виде фотографий Дженнифер Энистон, но не реагировали на другие изображения. Эти клетки реагировали не только на фотографии, но и на имя актрисы, что указывало на их способность кодировать абстрактные понятия.
Концептуальные клетки активируются независимо от контекста. Например, нейрон, реагирующий на Дженнифер Энистон, срабатывает при виде её фотографий, упоминании её имени или даже при мысли о ней. Эти клетки не просто распознают объекты, они формируют абстрактные представления, основанные на прошлом опыте и памяти.
Исследования показали, что для каждого понятия в мозге существует множество нейронов, а не одна «бабушкина клетка». Например, клетки, реагирующие на Гарри Поттера, могут также активироваться при упоминании его друзей — Рона Уизли или Гермионы Грейнджер. Это говорит о том, что концептуальные клетки могут кодировать как конкретные, так и более общие понятия.
Концептуальные клетки играют важную роль в формировании и извлечении воспоминаний. Они связывают отдельные понятия в сложные ассоциации, создавая основу для долговременной памяти. Например, если вы встретили человека в баре, ваш мозг может сформировать ассоциацию между этим человеком и местом, где вы познакомились.
Исследования также показали, что концептуальные клетки участвуют в работе рабочей памяти, которая временно удерживает информацию, например, список покупок. Когда вы представляете себе сценарий или рассказываете историю, эти клетки активируются, создавая связь между различными понятиями.
Несмотря на значительные успехи, многие вопросы остаются без ответа. Например, как концептуальные клетки соотносятся с другими типами нейронов, такими как пространственные клетки, которые кодируют информацию о местоположении? Некоторые учёные предполагают, что одни и те же нейроны могут выполнять разные функции в зависимости от контекста, подобно швейцарскому армейскому ножу.
Кроме того, концептуальные клетки трудно изучать, так как их можно исследовать только у пациентов, перенесших операции на мозге. Это ограничивает возможности учёных, но не останавливает их. Нейробиологи продолжают изучать, насколько абстрактными могут быть эти клетки и как они формируют основу нашего интеллекта.
Статья 2024 года на эту тему 🔽
Представьте, что вы сидите в баре на первом свидании, потягиваете мартини и слушаете рассказ о работе в банке. Ваш мозг в этот момент обрабатывает множество понятий: бар, свидание, мартини, оливка, банк. Глубоко в вашем мозге активируются нейроны, известные как концептуальные клетки. Эти клетки отвечают за распознавание и хранение абстрактных понятий, таких как «мартини» или «банк», независимо от того, как они представлены — в реальной жизни, на фотографии, в тексте или в речи.
Концептуальные клетки — это нейроны, которые активируются в ответ на определённые понятия. Например, у вас могут быть нейроны, которые реагируют на вид мартини, но не на оливки, или на конкретный бар, если вы бывали там раньше. Эти клетки играют ключевую роль в том, как мозг обрабатывает и хранит информацию, формируя воспоминания и ассоциации.
Идея о том, что отдельные нейроны могут кодировать конкретные понятия, долгое время считалась абсурдной. В 1969 году нейробиолог Джером Леттвин в шутку предложил концепцию «бабушкиной клетки» — нейрона, который отвечает за воспоминания о конкретном человеке, например, о вашей бабушке. Эта идея была высмеяна научным сообществом, так как казалось невероятным, чтобы один нейрон мог хранить столь сложную информацию.
Однако в начале 2000-х годов исследователи обнаружили, что такие клетки действительно существуют. Нейробиолог Родриго Киан Кирога, работая с пациентами с эпилепсией, обнаружил нейроны, которые активировались при виде фотографий Дженнифер Энистон, но не реагировали на другие изображения. Эти клетки реагировали не только на фотографии, но и на имя актрисы, что указывало на их способность кодировать абстрактные понятия.
Концептуальные клетки активируются независимо от контекста. Например, нейрон, реагирующий на Дженнифер Энистон, срабатывает при виде её фотографий, упоминании её имени или даже при мысли о ней. Эти клетки не просто распознают объекты, они формируют абстрактные представления, основанные на прошлом опыте и памяти.
Исследования показали, что для каждого понятия в мозге существует множество нейронов, а не одна «бабушкина клетка». Например, клетки, реагирующие на Гарри Поттера, могут также активироваться при упоминании его друзей — Рона Уизли или Гермионы Грейнджер. Это говорит о том, что концептуальные клетки могут кодировать как конкретные, так и более общие понятия.
Концептуальные клетки играют важную роль в формировании и извлечении воспоминаний. Они связывают отдельные понятия в сложные ассоциации, создавая основу для долговременной памяти. Например, если вы встретили человека в баре, ваш мозг может сформировать ассоциацию между этим человеком и местом, где вы познакомились.
Исследования также показали, что концептуальные клетки участвуют в работе рабочей памяти, которая временно удерживает информацию, например, список покупок. Когда вы представляете себе сценарий или рассказываете историю, эти клетки активируются, создавая связь между различными понятиями.
Несмотря на значительные успехи, многие вопросы остаются без ответа. Например, как концептуальные клетки соотносятся с другими типами нейронов, такими как пространственные клетки, которые кодируют информацию о местоположении? Некоторые учёные предполагают, что одни и те же нейроны могут выполнять разные функции в зависимости от контекста, подобно швейцарскому армейскому ножу.
Кроме того, концептуальные клетки трудно изучать, так как их можно исследовать только у пациентов, перенесших операции на мозге. Это ограничивает возможности учёных, но не останавливает их. Нейробиологи продолжают изучать, насколько абстрактными могут быть эти клетки и как они формируют основу нашего интеллекта.
Статья 2024 года на эту тему 🔽
Математика не для всех
22 Jan, 04:35
🎰 Человек, который обманул лотерею и выиграл 14 джекпотов 🤑
В 60-х годах в Румынии жил простой экономист Стефан Мандель. Зарплата была маленькой, а мечты — большими. Он решил, что удача — это не случайность, а точный расчет, и разработал формулу, которая позволяла угадать 5 из 6 выигрышных номеров в лотерее. Сначала он протестировал её в Румынии, выиграв джекпот, равный 18 годовым зарплатам. Эти деньги он потратил на переезд в Австралию, где продолжил свой лотерейный бизнес.
Стефан рассчитал, что для победы нужно:
узнать общее количество комбинаций (например, в лотерее "6 из 40" их 3 838 380);
найти лотерею, где джекпот втрое больше количества комбинаций;
собрать деньги, чтобы купить максимальное количество билетов;
заполнить все билеты и выиграть.
В Австралии он создал сеть из сотен людей, которые скупали лотерейные билеты по всему штату. Благодаря этому он выиграл 12 джекпотов! Позже, в США, в штате Вирджиния, Стефан скупил все 7 миллионов билетов и выиграл свой 14-й джекпот — $27 миллионов!
В 2004 году он попытался повторить успех в Израиле, но был обвинен в мошенничестве и попал в тюрьму. Отсидев срок, Стефан переехал на остров Вануату, где сейчас живет в уютном пляжном домике. Точная сумма его выигрышей неизвестна, но только в Вирджинии он получил больше $30 миллионов.
Мораль? Удача любит точный расчет. Но, возможно, не стоит пытаться повторить это сегодня — правила лотерей стали куда строже. 😅
#Лотерея #Математика #Деньги
В 60-х годах в Румынии жил простой экономист Стефан Мандель. Зарплата была маленькой, а мечты — большими. Он решил, что удача — это не случайность, а точный расчет, и разработал формулу, которая позволяла угадать 5 из 6 выигрышных номеров в лотерее. Сначала он протестировал её в Румынии, выиграв джекпот, равный 18 годовым зарплатам. Эти деньги он потратил на переезд в Австралию, где продолжил свой лотерейный бизнес.
Стефан рассчитал, что для победы нужно:
узнать общее количество комбинаций (например, в лотерее "6 из 40" их 3 838 380);
найти лотерею, где джекпот втрое больше количества комбинаций;
собрать деньги, чтобы купить максимальное количество билетов;
заполнить все билеты и выиграть.
В Австралии он создал сеть из сотен людей, которые скупали лотерейные билеты по всему штату. Благодаря этому он выиграл 12 джекпотов! Позже, в США, в штате Вирджиния, Стефан скупил все 7 миллионов билетов и выиграл свой 14-й джекпот — $27 миллионов!
В 2004 году он попытался повторить успех в Израиле, но был обвинен в мошенничестве и попал в тюрьму. Отсидев срок, Стефан переехал на остров Вануату, где сейчас живет в уютном пляжном домике. Точная сумма его выигрышей неизвестна, но только в Вирджинии он получил больше $30 миллионов.
Мораль? Удача любит точный расчет. Но, возможно, не стоит пытаться повторить это сегодня — правила лотерей стали куда строже. 😅
#Лотерея #Математика #Деньги
Математика не для всех
21 Jan, 18:18
Расстояние между скрещивающимися прямыми.
В заметке на примере решения одной, ключевой в этой теме задачи, иллюстрируются различные подходы и методы вычисления расстояния между прямыми в пространстве — разобрано 12 способов решения. Каждый способ — определённый геометрический приём или метод решения. Можно проследить взаимосвязь разнообразных геометрических подходов, возможность и целесообразность применения того или иного метода решения.
В заметке на примере решения одной, ключевой в этой теме задачи, иллюстрируются различные подходы и методы вычисления расстояния между прямыми в пространстве — разобрано 12 способов решения. Каждый способ — определённый геометрический приём или метод решения. Можно проследить взаимосвязь разнообразных геометрических подходов, возможность и целесообразность применения того или иного метода решения.
Математика не для всех
21 Jan, 11:16
Мировое правительство скрывало от нас этот антидепрессант.
Шарики на кривой Пеано
Шарики на кривой Пеано
Математика не для всех
20 Jan, 12:50
Нассим Талеб разразился очередной филиппикой против IQ. Смысл, насколько я в меру своих ограниченных способностей понял, в том, что
- эффективность IQ как оценки интеллекта часто оценивают по метрикам, которые так или иначе автокоррелируют с IQ, и поэтому фактически ничего не значат (пример: IQ коррелирует с оценками по стандартизированным тестам, но IQ это тоже стандартизированный тест - это может означать, что измеряется только способность проходить стандартизированные тесты и ничего более)
- корреляция теряется в правом крае распределения, то есть по факту высокий IQ не значит ничего и IQ это мера глупости (или её отсутствия) а не интеллекта
Мне здесь объективно не хватает навыков, чтобы судить, насколько Талеб прав, это нужно владение матстатом, которого у меня нет. В принципе, несмотря на его довольно мерзкий характер, Талеба я уважаю, потому как он все свои книжки написал уже после того, как наколбасил бабла на своём понимании вероятности. Мужик определённо разбирается в том, о чём говорит. Это не означает, что он не может ошибаться - поэтому я пока останусь агностиком в отношении IQ и просто оставлю это здесь, авось ещё кто-нибудь что-нибудь умное скажет.
#абстрактно_о_бстрактном
- эффективность IQ как оценки интеллекта часто оценивают по метрикам, которые так или иначе автокоррелируют с IQ, и поэтому фактически ничего не значат (пример: IQ коррелирует с оценками по стандартизированным тестам, но IQ это тоже стандартизированный тест - это может означать, что измеряется только способность проходить стандартизированные тесты и ничего более)
- корреляция теряется в правом крае распределения, то есть по факту высокий IQ не значит ничего и IQ это мера глупости (или её отсутствия) а не интеллекта
Мне здесь объективно не хватает навыков, чтобы судить, насколько Талеб прав, это нужно владение матстатом, которого у меня нет. В принципе, несмотря на его довольно мерзкий характер, Талеба я уважаю, потому как он все свои книжки написал уже после того, как наколбасил бабла на своём понимании вероятности. Мужик определённо разбирается в том, о чём говорит. Это не означает, что он не может ошибаться - поэтому я пока останусь агностиком в отношении IQ и просто оставлю это здесь, авось ещё кто-нибудь что-нибудь умное скажет.
#абстрактно_о_бстрактном
Математика не для всех
19 Jan, 18:16
🔍 Книга: "Как разрезать квадрат"
Автор: И. М. Яглом
📖 Эта книга — увлекательное путешествие в мир математических задач, которые на первый взгляд кажутся простыми, но оказываются невероятно сложными. Основная тема — разрезание квадрата на конечное число попарно неравных квадратов. Звучит просто, правда? Но эта задача долгое время считалась неразрешимой, и даже великие математики, такие как академик Н. Н. Лузин, сомневались в её решении.
📚 Автор рассказывает, как постепенно учёные приближались к ответу: от первых гипотез до конкретных решений. Вы узнаете, как связаны эта задача с комбинаторной геометрией, физикой и даже электрическими цепями! Например, английские математики использовали идеи из физики, чтобы найти способ разрезать квадрат на 28, а затем на 24 неравных квадрата.
🎯 Книга не только о результатах, но и о процессе математического мышления. Автор показывает, как математики ищут решения, какие методы используют и как одна задача порождает множество других.
🔧 В книге много задач для самостоятельного решения — от простых до сложных. Они помогут вам проверить свои силы и глубже понять материал. А ещё есть список нерешённых задач, которые до сих пор ждут своих исследователей!
👨🏫 Книга написана для старшеклассников, учителей математики и студентов, но будет интересна всем, кто любит математику и хочет понять, как работает математическое мышление.
📅 Год издания: 1967
#Математика #Геометрия #Задачи #Наука #Книги
Автор: И. М. Яглом
📖 Эта книга — увлекательное путешествие в мир математических задач, которые на первый взгляд кажутся простыми, но оказываются невероятно сложными. Основная тема — разрезание квадрата на конечное число попарно неравных квадратов. Звучит просто, правда? Но эта задача долгое время считалась неразрешимой, и даже великие математики, такие как академик Н. Н. Лузин, сомневались в её решении.
📚 Автор рассказывает, как постепенно учёные приближались к ответу: от первых гипотез до конкретных решений. Вы узнаете, как связаны эта задача с комбинаторной геометрией, физикой и даже электрическими цепями! Например, английские математики использовали идеи из физики, чтобы найти способ разрезать квадрат на 28, а затем на 24 неравных квадрата.
🎯 Книга не только о результатах, но и о процессе математического мышления. Автор показывает, как математики ищут решения, какие методы используют и как одна задача порождает множество других.
🔧 В книге много задач для самостоятельного решения — от простых до сложных. Они помогут вам проверить свои силы и глубже понять материал. А ещё есть список нерешённых задач, которые до сих пор ждут своих исследователей!
👨🏫 Книга написана для старшеклассников, учителей математики и студентов, но будет интересна всем, кто любит математику и хочет понять, как работает математическое мышление.
📅 Год издания: 1967
#Математика #Геометрия #Задачи #Наука #Книги
Математика не для всех
19 Jan, 13:23
Записи Марии Склодовской-Кюри до сих пор представляют опасность для жизни. На тетради присутствуют следы радия-226, период полураспада которого составляет 1600 лет.
Оцифрованные записи - https://iiif.wellcomecollection.org/pdf/b19537773
Оцифрованные записи - https://iiif.wellcomecollection.org/pdf/b19537773
Математика не для всех
19 Jan, 10:16
На изображении представлены четыре альтернативных определения медиального скелета (medial skeleton), показанные на одном и том же объекте.
(a) Центры максимально вписанных окружностей: на объекте показаны окружности, которые касаются его границ в нескольких точках, и линии, соединяющие их центры. Это иллюстрирует, как медиальный скелет формируется из таких окружностей.
(b) Граф потоков на поверхности («grassfire surface flow»): линии отображают, как поток «огня» с границ объекта встречается в центре, формируя медиальный скелет.
(c) Точки с несколькими ближайшими точками на границе: здесь показаны точки внутри объекта, которые имеют более одной ближайшей точки на его границе. Эти точки образуют медиальный скелет.
(d) Локальная ось отражательной симметрии: красные линии представляют собой оси, вдоль которых объект обладает локальной симметрией, и это тоже может быть представлено как медиальный скелет.
Источник: https://hal.science/hal-01300281/file/3D_Skeletons_STAR.pdf
(a) Центры максимально вписанных окружностей: на объекте показаны окружности, которые касаются его границ в нескольких точках, и линии, соединяющие их центры. Это иллюстрирует, как медиальный скелет формируется из таких окружностей.
(b) Граф потоков на поверхности («grassfire surface flow»): линии отображают, как поток «огня» с границ объекта встречается в центре, формируя медиальный скелет.
(c) Точки с несколькими ближайшими точками на границе: здесь показаны точки внутри объекта, которые имеют более одной ближайшей точки на его границе. Эти точки образуют медиальный скелет.
(d) Локальная ось отражательной симметрии: красные линии представляют собой оси, вдоль которых объект обладает локальной симметрией, и это тоже может быть представлено как медиальный скелет.
Источник: https://hal.science/hal-01300281/file/3D_Skeletons_STAR.pdf
Математика не для всех
19 Jan, 10:15
Медиальная ось: ключ к анализу формы и симметрии
Медиальная ось объекта — это набор точек, каждая из которых имеет более одной ближайшей точки на границе объекта. Впервые введённая Гарри Блюмом в 1967 году как инструмент для распознавания биологических форм, медиальная ось стала мощным математическим инструментом, также известным как топологический скелет.
В двумерной плоскости медиальная ось представляет собой центры окружностей, касающихся границы объекта в нескольких точках и полностью расположенных внутри него. В трёхмерном пространстве — это уже гиперсферы, помогающие анализировать объёмные модели.
Её главная особенность — способность описывать форму объекта с точностью, позволяющей полностью восстановить его. Это свойство делает медиальную ось незаменимой в таких задачах, как распознавание символов, реконструкция сложных моделей и анализ симметрии.
#математика #геометрия #симметрия #наука #реконструкция
Медиальная ось объекта — это набор точек, каждая из которых имеет более одной ближайшей точки на границе объекта. Впервые введённая Гарри Блюмом в 1967 году как инструмент для распознавания биологических форм, медиальная ось стала мощным математическим инструментом, также известным как топологический скелет.
В двумерной плоскости медиальная ось представляет собой центры окружностей, касающихся границы объекта в нескольких точках и полностью расположенных внутри него. В трёхмерном пространстве — это уже гиперсферы, помогающие анализировать объёмные модели.
Её главная особенность — способность описывать форму объекта с точностью, позволяющей полностью восстановить его. Это свойство делает медиальную ось незаменимой в таких задачах, как распознавание символов, реконструкция сложных моделей и анализ симметрии.
#математика #геометрия #симметрия #наука #реконструкция
Математика не для всех
19 Jan, 07:22
Новости науки.
Эдвард Чен и Гуй-И Чжу, ведущие авторы исследования, использовали минимальное количество квантовых вентилей для создания запутанности между двумя наборами кубитов. Ключевым элементом протокола стала коммуникация между измеренными классическими битами и неизмеренными кубитами, что напоминает принцип квантовой телепортации.
В ходе экспериментов учёным удалось с помощью классического декодирования извлечь и стабилизировать квантовый порядок в 54-кубитной системе, несмотря на присутствие шумов. Этот порядок сохранялся до момента достижения так называемого перехода Нишимори — редкого критического фазового перехода, который в классических системах требует точной настройки. Однако в квантовой системе это состояние возникло естественным образом благодаря правилу Борна.
IBM представила новый метод квантовой запутанности на 54-кубитном компьютере
«Это первый квантовый эксперимент, использующий правило Борна для создания критического состояния Нишимори без необходимости точной настройки, как в классическом мире», — отметил Гуй-И Чжу.
Результаты исследования могут иметь важное значение для развития квантовых вычислительных систем. IBM Quantum планирует улучшить протокол и разработать новое оборудование в ближайшие годы. К 2029 году компания намерена создать высокопроизводительную квантовую систему с возможностью коррекции ошибок.
Теперь что это такое:
Вместо обычных бит (которые могут быть 0 или 1) он использует «кубиты», которые могут находиться в суперположении (одновременно и 0 и 1, но с разными вероятностями).
Главная «фишка» квантовых компьютеров — запутанность кубитов. Запутанность — это когда состояние одного кубита тесно связано с состояниями другого (или других), даже если они физически далеко друг от друга. Меняя состояние одного кубита, мы можем «мгновенно» влиять на состояние другого, и это свойство может заметно ускорять вычисления и защищать данные (посредством квантовой коррекции ошибок).
В данном исследовании важны три вещи:
Дальний порядок без тонкой настройки.
Обычно, чтобы достигнуть так называемого «критического фазового перехода» (особого состояния системы), нужны очень точные настройки внешних параметров — чуть сдвинешь ползунок, и всё слетит. Но в квантовой системе, как выяснили учёные, это состояние может возникнуть «само собой» благодаря фундаментальному закону квантовой механики (правилу Борна), без необходимости тонко настраивать систему.
Новый протокол запутанности.
Учёные использовали схему (протокол), которая требует минимального количества «операций» (квантовых вентилей). Важная деталь: результаты измерений одних кубитов (то есть классические нолики и единички, которые мы получили) влияют на другие кубиты, как бы управляя ими — это напоминает принцип квантовой телепортации, где информация о состоянии «перекидывается» с одного места на другое с помощью классического канала связи.
Устойчивость к шуму.
В реальных квантовых компьютерах много шума (помех), и это мешает стабильной работе. Однако команда смогла сохранить «квантовый порядок» (то есть нужную запутанность) достаточно долго, используя специальные методы декодирования и коррекции. Они «вытаскивали» нужную информацию из измерений, тем самым удерживая систему в целевом состоянии.
Почему это важно?
Мы приближаемся к системам с достаточной реальной производительностью, что бы достигнуть практического применения квантовых вычислений. Криптография, моделирование белков и полимеров и так далее. По сути сродни изобретению реактивного двигателя для авиации.
Эдвард Чен и Гуй-И Чжу, ведущие авторы исследования, использовали минимальное количество квантовых вентилей для создания запутанности между двумя наборами кубитов. Ключевым элементом протокола стала коммуникация между измеренными классическими битами и неизмеренными кубитами, что напоминает принцип квантовой телепортации.
В ходе экспериментов учёным удалось с помощью классического декодирования извлечь и стабилизировать квантовый порядок в 54-кубитной системе, несмотря на присутствие шумов. Этот порядок сохранялся до момента достижения так называемого перехода Нишимори — редкого критического фазового перехода, который в классических системах требует точной настройки. Однако в квантовой системе это состояние возникло естественным образом благодаря правилу Борна.
IBM представила новый метод квантовой запутанности на 54-кубитном компьютере
«Это первый квантовый эксперимент, использующий правило Борна для создания критического состояния Нишимори без необходимости точной настройки, как в классическом мире», — отметил Гуй-И Чжу.
Результаты исследования могут иметь важное значение для развития квантовых вычислительных систем. IBM Quantum планирует улучшить протокол и разработать новое оборудование в ближайшие годы. К 2029 году компания намерена создать высокопроизводительную квантовую систему с возможностью коррекции ошибок.
Теперь что это такое:
Вместо обычных бит (которые могут быть 0 или 1) он использует «кубиты», которые могут находиться в суперположении (одновременно и 0 и 1, но с разными вероятностями).
Главная «фишка» квантовых компьютеров — запутанность кубитов. Запутанность — это когда состояние одного кубита тесно связано с состояниями другого (или других), даже если они физически далеко друг от друга. Меняя состояние одного кубита, мы можем «мгновенно» влиять на состояние другого, и это свойство может заметно ускорять вычисления и защищать данные (посредством квантовой коррекции ошибок).
В данном исследовании важны три вещи:
Дальний порядок без тонкой настройки.
Обычно, чтобы достигнуть так называемого «критического фазового перехода» (особого состояния системы), нужны очень точные настройки внешних параметров — чуть сдвинешь ползунок, и всё слетит. Но в квантовой системе, как выяснили учёные, это состояние может возникнуть «само собой» благодаря фундаментальному закону квантовой механики (правилу Борна), без необходимости тонко настраивать систему.
Новый протокол запутанности.
Учёные использовали схему (протокол), которая требует минимального количества «операций» (квантовых вентилей). Важная деталь: результаты измерений одних кубитов (то есть классические нолики и единички, которые мы получили) влияют на другие кубиты, как бы управляя ими — это напоминает принцип квантовой телепортации, где информация о состоянии «перекидывается» с одного места на другое с помощью классического канала связи.
Устойчивость к шуму.
В реальных квантовых компьютерах много шума (помех), и это мешает стабильной работе. Однако команда смогла сохранить «квантовый порядок» (то есть нужную запутанность) достаточно долго, используя специальные методы декодирования и коррекции. Они «вытаскивали» нужную информацию из измерений, тем самым удерживая систему в целевом состоянии.
Почему это важно?
Мы приближаемся к системам с достаточной реальной производительностью, что бы достигнуть практического применения квантовых вычислений. Криптография, моделирование белков и полимеров и так далее. По сути сродни изобретению реактивного двигателя для авиации.
Математика не для всех
18 Jan, 08:15
Что такое антихрупкость?
Антихрупкость — это концепция, описанная Нассимом Талебом, которая объясняет, как системы могут не просто выдерживать стресс и хаос, но становиться сильнее благодаря этим воздействиям. Это принцип, противоположный хрупкости, где объекты ломаются под давлением. Если хрупкие системы разрушаются от стрессоров, а устойчивые просто сохраняют своё состояние, то антихрупкие извлекают из них пользу.
Природные и технические системы часто демонстрируют эту способность. Например, в биологии стрессоры, такие как физическая нагрузка, делают мышцы сильнее, а периодическое голодание улучшает метаболизм. Антихрупкость также наблюдается в эволюции: ошибки и изменчивость в репликации ДНК создают генетическое разнообразие, которое помогает адаптироваться к окружающей среде.
В основе антихрупкости лежит нелинейная реакция на воздействия. Талеб подчёркивает, что небольшие регулярные стрессоры часто оказываются полезными, тогда как резкие и крупные удары могут быть разрушительными. Системы становятся антихрупкими, если их реакция на малые стрессоры укрепляет их, а не ослабляет.
Это понятие важно для понимания множества процессов. Например, в медицине недостаток "положительного стресса" может способствовать старению и болезням. В финансах управление рисками позволяет не только избегать катастроф, но и извлекать выгоду из рыночной волатильности. А в инженерии применение антихрупких принципов помогает создавать системы, которые становятся только лучше под нагрузкой.
Антихрупкость учит нас принимать изменения и неопределённость как неизбежную часть жизни. Она предлагает не бороться с хаосом, а использовать его в своих интересах. Это подход, который позволяет не только выживать, но и процветать в условиях нестабильности.
Оригинальная статья Нассима Талеба
Перевод статьи
Антихрупкость — это концепция, описанная Нассимом Талебом, которая объясняет, как системы могут не просто выдерживать стресс и хаос, но становиться сильнее благодаря этим воздействиям. Это принцип, противоположный хрупкости, где объекты ломаются под давлением. Если хрупкие системы разрушаются от стрессоров, а устойчивые просто сохраняют своё состояние, то антихрупкие извлекают из них пользу.
Природные и технические системы часто демонстрируют эту способность. Например, в биологии стрессоры, такие как физическая нагрузка, делают мышцы сильнее, а периодическое голодание улучшает метаболизм. Антихрупкость также наблюдается в эволюции: ошибки и изменчивость в репликации ДНК создают генетическое разнообразие, которое помогает адаптироваться к окружающей среде.
В основе антихрупкости лежит нелинейная реакция на воздействия. Талеб подчёркивает, что небольшие регулярные стрессоры часто оказываются полезными, тогда как резкие и крупные удары могут быть разрушительными. Системы становятся антихрупкими, если их реакция на малые стрессоры укрепляет их, а не ослабляет.
Это понятие важно для понимания множества процессов. Например, в медицине недостаток "положительного стресса" может способствовать старению и болезням. В финансах управление рисками позволяет не только избегать катастроф, но и извлекать выгоду из рыночной волатильности. А в инженерии применение антихрупких принципов помогает создавать системы, которые становятся только лучше под нагрузкой.
Антихрупкость учит нас принимать изменения и неопределённость как неизбежную часть жизни. Она предлагает не бороться с хаосом, а использовать его в своих интересах. Это подход, который позволяет не только выживать, но и процветать в условиях нестабильности.
Оригинальная статья Нассима Талеба
Перевод статьи
Математика не для всех
17 Jan, 09:44
⭐️РЕГИСТРАЦИЯ НА ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ТУРНИР ДЛЯ ШКОЛЬНИКОВ "ИНТЕЛЕКТОР-2025"
Продолжается регистрация на Физико-математический турнир "Интелектор-2025". К участию в Турнире допускаются учащиеся 9-11 классов.
Участие в турнире - это возможность продемонстрировать свои знания, поработать над решением сложных задач, обменяться идеями и впечатлениями с единомышленниками и, конечно же, получить удовольствие от интеллектуального соперничества. Желаем вам упорства и вдохновения. Вперед, к новым вершинам! Внимательно следите за обновлениями на официальном сайте и в Telegram-канале, чтобы быть в курсе последних событий турнира ИНТЕЛЕКТОР - 2025.
😅 Регистрация на сайте турнира
Турнир проводится в 2024-2025 учебном году в два этапа: отборочный и заключительный туры.
⭐️Ключевые даты:
😌 С 01.12.2024 по 20.01.2025 - Регистрация участников Турнира
😌 С 20.01.2025 по 26.01.2025 - Проведение отборочного тура
😌 С 27.01.2025 по 07.02.2025 - Подведение итогов отборочного тура
😌 27.04.2025 - Проведение заключительного тура
😌 С 28.04.2025 по 10.05.2025 - Подведение итогов заключительного тура.
😌 21.05.2025 - Подведение итогов Турнира
😌 С 11.05.2025 по 20.05.2025 - Прием и рассмотрение апелляций по результатам заключительного тура.
Продолжается регистрация на Физико-математический турнир "Интелектор-2025". К участию в Турнире допускаются учащиеся 9-11 классов.
Участие в турнире - это возможность продемонстрировать свои знания, поработать над решением сложных задач, обменяться идеями и впечатлениями с единомышленниками и, конечно же, получить удовольствие от интеллектуального соперничества. Желаем вам упорства и вдохновения. Вперед, к новым вершинам! Внимательно следите за обновлениями на официальном сайте и в Telegram-канале, чтобы быть в курсе последних событий турнира ИНТЕЛЕКТОР - 2025.
Турнир проводится в 2024-2025 учебном году в два этапа: отборочный и заключительный туры.
⭐️Ключевые даты:
Математика не для всех
17 Jan, 07:36
17 января 1905 г. родился Даттатрея Капрекар, индийский математик-любитель, известный достижениями в занимательной математике — тот самый, который придумал числа харшад.
Именем Капрекара названы натуральны числа, обладающие таким интересным свойством: запись квадратов этих чисел можно разбить на две части, сумма которых даёт исходное число.
Например, 297 — число Капрекара, поскольку 297² = 88209, а 88+209 = 297.
Ещё пример числа Капрекара — 45: 45² = 2025, 20+25 = 45.
Капрекар открыл и исследовал интересные свойства числа 6174, назаванного впоследствии постоянной Капрекара.
Выберем любое 4-значное число, в котором не все цифры одинаковы. Построим из него два числа: для этого расположим цифры сначала в порядке возрастания, а затем — убывания. Вычтем из большего числа меньшее. Повторяя этот процесс с получающимися разностями, не более чем за семь шагов получим число 6174, которое будет затем воспроизводить само себя.
Например, для числа 2025 имеем:
5220 – 0225 = 4995,
9954 – 4599 = 5355,
5553 – 3555 = 1998,
9981 – 1899 = 8082,
8820 – 0288 = 8532,
8532 – 2358 = 6174.
Повторение с этого момента оставляет то же число (7641 − 1467 = 6174).
Аналогичная константа для трёхзначных чисел — 495.
Для двух-, пяти- и семизначных чисел аналога постоянной Капрекара не существует, а вот для 6-значных имеется целых две неподвижных точки — 549945 и 631764.
Любое число вида 633…331766…664 (где количество цифр в последовательностях шестёрок и троек одинаково) является неподвижной точкой числа (однако не любая неподвижная точка может быть записана в таком виде).
Почему неподвижные точки есть не для всех разрядностей? Можно ли найти в них какую-то закономерность? Есть ли какая-то зависимость количества неподвижных точек от числа разрядов? Являются ли эти красивые результаты случайными или за ними стоит какая-то большая математика? Всё это просто забавные математические трюки или же ключ к чему-то большему?
На эти вопросы пока нет ответа. Но ведь век назад и простые числа многим казались пустой забавой.
Именем Капрекара названы натуральны числа, обладающие таким интересным свойством: запись квадратов этих чисел можно разбить на две части, сумма которых даёт исходное число.
Например, 297 — число Капрекара, поскольку 297² = 88209, а 88+209 = 297.
Ещё пример числа Капрекара — 45: 45² = 2025, 20+25 = 45.
Капрекар открыл и исследовал интересные свойства числа 6174, назаванного впоследствии постоянной Капрекара.
Выберем любое 4-значное число, в котором не все цифры одинаковы. Построим из него два числа: для этого расположим цифры сначала в порядке возрастания, а затем — убывания. Вычтем из большего числа меньшее. Повторяя этот процесс с получающимися разностями, не более чем за семь шагов получим число 6174, которое будет затем воспроизводить само себя.
Например, для числа 2025 имеем:
5220 – 0225 = 4995,
9954 – 4599 = 5355,
5553 – 3555 = 1998,
9981 – 1899 = 8082,
8820 – 0288 = 8532,
8532 – 2358 = 6174.
Повторение с этого момента оставляет то же число (7641 − 1467 = 6174).
Аналогичная константа для трёхзначных чисел — 495.
Для двух-, пяти- и семизначных чисел аналога постоянной Капрекара не существует, а вот для 6-значных имеется целых две неподвижных точки — 549945 и 631764.
Любое число вида 633…331766…664 (где количество цифр в последовательностях шестёрок и троек одинаково) является неподвижной точкой числа (однако не любая неподвижная точка может быть записана в таком виде).
Почему неподвижные точки есть не для всех разрядностей? Можно ли найти в них какую-то закономерность? Есть ли какая-то зависимость количества неподвижных точек от числа разрядов? Являются ли эти красивые результаты случайными или за ними стоит какая-то большая математика? Всё это просто забавные математические трюки или же ключ к чему-то большему?
На эти вопросы пока нет ответа. Но ведь век назад и простые числа многим казались пустой забавой.
Математика не для всех
24 Dec, 19:15
#обязательнокпрочтению
Статья "Непостижимая эффективность математики в естественных науках" Е.Виглера исследует удивительный и необъяснимый факт того, как математические понятия, изначально созданные для абстрактных целей, оказываются невероятно эффективными в описании законов природы. Математика здесь предстает не просто инструментом, а фундаментальным языком самой физики.
В статье подчеркивается, что математические представления часто устанавливают неожиданные и точные связи с физическими явлениями. Например, комплексные числа, которые кажутся далекими от реальности, играют ключевую роль в квантовой механике. Законы природы обладают инвариантностью, то есть не зависят от многих условий, что позволяет физикам выявлять общие закономерности. При этом все законы природы являются условными и описывают лишь часть окружающего мира.
Особое внимание уделяется тому, что математика является неотъемлемой частью физических теорий, а не просто инструментом для вычислений. Физики выбирают математические понятия не из-за их простоты, а из-за удобства и ясности, которые они предоставляют. Поразительно, что математические формулировки приводят к невероятно точным описаниям явлений, что можно рассматривать как эмпирический закон эпистемологии.
Статья также поднимает вопрос о единственности физических теорий. Возможно, существуют и другие теории, объясняющие наблюдаемые явления, или, наоборот, все законы сольются в единую теорию. Обсуждаются противоречия между разными теориями, а также случаи, когда "ложные" теории дают удивительно точные результаты. Затрагивается возможность появления теории сознания, которая может противоречить известным принципам физики.
Статья "Непостижимая эффективность математики в естественных науках" Е.Виглера исследует удивительный и необъяснимый факт того, как математические понятия, изначально созданные для абстрактных целей, оказываются невероятно эффективными в описании законов природы. Математика здесь предстает не просто инструментом, а фундаментальным языком самой физики.
В статье подчеркивается, что математические представления часто устанавливают неожиданные и точные связи с физическими явлениями. Например, комплексные числа, которые кажутся далекими от реальности, играют ключевую роль в квантовой механике. Законы природы обладают инвариантностью, то есть не зависят от многих условий, что позволяет физикам выявлять общие закономерности. При этом все законы природы являются условными и описывают лишь часть окружающего мира.
Особое внимание уделяется тому, что математика является неотъемлемой частью физических теорий, а не просто инструментом для вычислений. Физики выбирают математические понятия не из-за их простоты, а из-за удобства и ясности, которые они предоставляют. Поразительно, что математические формулировки приводят к невероятно точным описаниям явлений, что можно рассматривать как эмпирический закон эпистемологии.
Статья также поднимает вопрос о единственности физических теорий. Возможно, существуют и другие теории, объясняющие наблюдаемые явления, или, наоборот, все законы сольются в единую теорию. Обсуждаются противоречия между разными теориями, а также случаи, когда "ложные" теории дают удивительно точные результаты. Затрагивается возможность появления теории сознания, которая может противоречить известным принципам физики.
Математика не для всех
24 Dec, 16:15
🚀 Новый формат образования: итоги первого набора в Цифровой колледж Skillbox
Математика и цифровые технологии тесно связаны, и именно они становятся основой для востребованных профессий, таких как программирование и графический дизайн. В этом контексте запуск первого в России полностью дистанционного колледжа Skillbox — важный шаг к современному образованию и возможность получить востребованные на рынке труда навыки.
В рамках первого набора в Цифровой колледж Skillbox было зачислено 490 студентов со всей страны от 15 до 47 лет. Студенты осваивают такие направления, как «Веб-разработка» и «Графический дизайн», получая диплом государственного образца и возможность продолжить обучение в вузе без сдачи ЕГЭ. Обучение включает практические задачи, элементы геймификации и уникальный симулятор «Триноль», который позволяет студентам погружаться в реальную профессию с первого семестра.
Особое внимание стоит уделить тому, что колледж адаптируется под индивидуальные потребности студентов с помощью ИИ-технологий, что помогает каждому выбрать удобный темп обучения. Кроме того, формат онлайн-обучения позволяет значительно снизить стоимость образования, так как нет необходимости переезжать в другой город или снимать жилье.
Идеальный старт для тех, кто мечтает о цифровом будущем, а Skillbox уже прокладывает путь туда. 🌐
📚 Подробности на официальном сайте колледжа.
Математика и цифровые технологии тесно связаны, и именно они становятся основой для востребованных профессий, таких как программирование и графический дизайн. В этом контексте запуск первого в России полностью дистанционного колледжа Skillbox — важный шаг к современному образованию и возможность получить востребованные на рынке труда навыки.
В рамках первого набора в Цифровой колледж Skillbox было зачислено 490 студентов со всей страны от 15 до 47 лет. Студенты осваивают такие направления, как «Веб-разработка» и «Графический дизайн», получая диплом государственного образца и возможность продолжить обучение в вузе без сдачи ЕГЭ. Обучение включает практические задачи, элементы геймификации и уникальный симулятор «Триноль», который позволяет студентам погружаться в реальную профессию с первого семестра.
Особое внимание стоит уделить тому, что колледж адаптируется под индивидуальные потребности студентов с помощью ИИ-технологий, что помогает каждому выбрать удобный темп обучения. Кроме того, формат онлайн-обучения позволяет значительно снизить стоимость образования, так как нет необходимости переезжать в другой город или снимать жилье.
Идеальный старт для тех, кто мечтает о цифровом будущем, а Skillbox уже прокладывает путь туда. 🌐
📚 Подробности на официальном сайте колледжа.
Математика не для всех
24 Dec, 15:15
Айзек Азимов, один из «большой тройки» фантастов, в своей книге Adding a Dimension рассказывает о встрече с профессором социологии, когда был студентом в 1930-х годах. Профессор разделял людей на две группы: «реалистов» и «мистиков». По его мнению, математики относились к «мистикам», так как «верили в нереальные числа». В пример он привел квадратный корень из -1, заявив, что такие числа нельзя считать реальными.
Азимов парировал, что мнимые числа столь же реальны, как любые другие. Тогда профессор предложил передать ему квадратный корень из -1 куска мела. На это Азимов ответил, что выполнит просьбу, если профессор сначала даст ему половину куска мела. Профессор разломил мел и передал одну из частей, но Азимов тут же заметил, что это не обязательно ровно половина — она может быть, например, 0,48 или 0,52 части. Когда профессор попытался объяснить, что «половина» означает определенную долю стандартного куска мела, Азимов указал, что стандарт — это тоже условность, зависящая от погрешностей и общественного соглашения.
Из этой истории Азимов делает вывод, что разница между конкретными числами, например, половиной, и абстрактными, как квадратный корень из -1, кроется в степени их условности, но не в их природе. Даже «половина» зависит от согласованных стандартов и допустимых отклонений. Например, куски мела с фабрики неизбежно отличаются друг от друга, но контроль качества не требует абсолютной идентичности. Так, понятие «половины» оказывается столь же условным, как и мнимые числа. Азимов заключает: реальные числа на самом деле более «мнимы», а мнимые — более реальны, чем многие думают.
#математика #азимов #числа #фантастика
Азимов парировал, что мнимые числа столь же реальны, как любые другие. Тогда профессор предложил передать ему квадратный корень из -1 куска мела. На это Азимов ответил, что выполнит просьбу, если профессор сначала даст ему половину куска мела. Профессор разломил мел и передал одну из частей, но Азимов тут же заметил, что это не обязательно ровно половина — она может быть, например, 0,48 или 0,52 части. Когда профессор попытался объяснить, что «половина» означает определенную долю стандартного куска мела, Азимов указал, что стандарт — это тоже условность, зависящая от погрешностей и общественного соглашения.
Из этой истории Азимов делает вывод, что разница между конкретными числами, например, половиной, и абстрактными, как квадратный корень из -1, кроется в степени их условности, но не в их природе. Даже «половина» зависит от согласованных стандартов и допустимых отклонений. Например, куски мела с фабрики неизбежно отличаются друг от друга, но контроль качества не требует абсолютной идентичности. Так, понятие «половины» оказывается столь же условным, как и мнимые числа. Азимов заключает: реальные числа на самом деле более «мнимы», а мнимые — более реальны, чем многие думают.
#математика #азимов #числа #фантастика
Математика не для всех
24 Dec, 14:15
Законодательные инициативы, особенно в США, частенько становились предметом неудержимых споров и искреннего непонимания. Вот и сегодня хочу рассказать вам о билле 246 — правовом акте, который рассматривался в сенате штата Индиана в 1897 году и чуть было не установил число Пи равным 3,2
Один из первых моих материалов:
https://habr.com/ru/companies/itsoft/articles/545848/
Один из первых моих материалов:
https://habr.com/ru/companies/itsoft/articles/545848/
Математика не для всех
24 Dec, 09:25
На канале Виктора Кантора MLinside вышел подкаст с Алексеем Толстиковым, руководителем Школы анализа данных Яндекса (ШАД). В выпуске рассуждают о том, как научить видеть практическую пользу алгоритмов — с помощью задач, примеров из жизни и участия в чемпионатах. Особое внимание уделено теме наставничества.
Основная задача преподавателя-ментора не в том, чтобы быть универсальным специалистом, готовым ответить на любой вопрос. Главное — вдохновлять и помогать справляться с возникающими трудностями. При этом обучать нужно не только техническим навыкам, но и гибким – умению критически мыслить, видеть слабые места своих идей и работать над ними.
Кроме того, в подкасте затрагивают важность междисциплинарности. В качестве примера приводят кейс одного из выпускников ШАД, который пришел в отрасль из музыки – и без академической базы по математике – и стал успешным разработчиком в Алисе.
Ссылка на видео: https://www.youtube.com/watch?v=SSoXkGR6kLE&t=150s
Основная задача преподавателя-ментора не в том, чтобы быть универсальным специалистом, готовым ответить на любой вопрос. Главное — вдохновлять и помогать справляться с возникающими трудностями. При этом обучать нужно не только техническим навыкам, но и гибким – умению критически мыслить, видеть слабые места своих идей и работать над ними.
Кроме того, в подкасте затрагивают важность междисциплинарности. В качестве примера приводят кейс одного из выпускников ШАД, который пришел в отрасль из музыки – и без академической базы по математике – и стал успешным разработчиком в Алисе.
Ссылка на видео: https://www.youtube.com/watch?v=SSoXkGR6kLE&t=150s
Математика не для всех
24 Dec, 08:14
Лучшая статья про энтропию из всех, что я когда либо видел, с большим количеством интерактивных элементов, позволяющих разобраться в понятии
https://www.quantamagazine.org/what-is-entropy-a-measure-of-just-how-little-we-really-know-20241213/
https://www.quantamagazine.org/what-is-entropy-a-measure-of-just-how-little-we-really-know-20241213/
Математика не для всех
23 Dec, 20:52
Теорема о невозможности Эрроу — одно из ключевых открытий в теории социальных выборов, которое доказывает: построить идеальную демократическую систему голосования невозможно. Кеннет Эрроу сформулировал три принципа, которым должна соответствовать такая система, но доказал, что их одновременное выполнение недостижимо.
Первый принцип — единогласие. Если все участники голосования предпочитают один вариант другому, то этот выбор должен быть отражен в общем решении. Второй — независимость от посторонних альтернатив. Это значит, что коллективное предпочтение между двумя вариантами не должно зависеть от наличия других альтернатив. Третий — отсутствие диктатора. Никто из участников не должен иметь абсолютной власти определять результат голосования независимо от мнений остальных.
Однако теорема утверждает, что любая система голосования неизбежно нарушает хотя бы один из этих принципов. Это фундаментальное ограничение имеет огромные последствия для понимания демократии, коллективного принятия решений и распределения ресурсов.
Важным следствием является так называемый парадокс Кондорсе, который показывает, что даже при индивидуальных транзитивных предпочтениях группа может прийти к циклическим и несогласованным решениям. Например, большинство может предпочитать вариант A перед B, B перед C, но при этом выбирать C перед A.
Работа Эрроу, впервые опубликованная в 1951 году, положила начало новой научной области — теории социальных выборов. За это открытие он был удостоен Нобелевской премии. Теорема не просто демонстрирует ограничения демократических систем, но и вдохновляет на поиск компромиссов и разработку новых подходов, учитывающих сложность коллективных решений.
#ТеоремаЭрроу #ТеорияСоциальногоВыбора #Математика #Демократия #ТеорияИгр
Первый принцип — единогласие. Если все участники голосования предпочитают один вариант другому, то этот выбор должен быть отражен в общем решении. Второй — независимость от посторонних альтернатив. Это значит, что коллективное предпочтение между двумя вариантами не должно зависеть от наличия других альтернатив. Третий — отсутствие диктатора. Никто из участников не должен иметь абсолютной власти определять результат голосования независимо от мнений остальных.
Однако теорема утверждает, что любая система голосования неизбежно нарушает хотя бы один из этих принципов. Это фундаментальное ограничение имеет огромные последствия для понимания демократии, коллективного принятия решений и распределения ресурсов.
Важным следствием является так называемый парадокс Кондорсе, который показывает, что даже при индивидуальных транзитивных предпочтениях группа может прийти к циклическим и несогласованным решениям. Например, большинство может предпочитать вариант A перед B, B перед C, но при этом выбирать C перед A.
Работа Эрроу, впервые опубликованная в 1951 году, положила начало новой научной области — теории социальных выборов. За это открытие он был удостоен Нобелевской премии. Теорема не просто демонстрирует ограничения демократических систем, но и вдохновляет на поиск компромиссов и разработку новых подходов, учитывающих сложность коллективных решений.
#ТеоремаЭрроу #ТеорияСоциальногоВыбора #Математика #Демократия #ТеорияИгр
Математика не для всех
21 Dec, 08:36
Статья Пегги Олдрич Кидвелл посвящена истории развития суммирующих машин в США в период с 1880 по 1920 год, с фокусом на Сент-Луисе, штат Миссури, как на центре изобретательства в этой области. Автор опровергает устоявшееся мнение историков, игнорирующих вклад суммирующих машин в промышленную инновацию США, и доказывает их значимость для развития американской банковской и коммерческой сферы. В статье подробно рассматриваются изобретения ключевых фигур, таких как Франк С. Болдуин и Уильям С. Берроуз, а также влияние местных институтов и связей на процесс инноваций. Цель статьи — продемонстрировать важную роль Сент-Луиса в создании и распространении механической арифметики в США, показав эволюцию суммирующих машин от механических чудес до широко распространенных офисных устройств.
Математика не для всех
21 Dec, 08:35
Уильям Берроуз, выходец из семьи механиков и изобретателей, рано начал свой трудовой путь. Он сменил множество профессий, работал на лесопилке, в магазинах, возможно, даже был банковским клерком. Именно этот опыт, по некоторым данным, вдохновил его на создание суммирующей машины, которая могла бы облегчить утомительный труд бухгалтеров.
В 1880-х годах Берроуз переезжает в Сент-Луис, где, наблюдая за бурно развивающейся деловой жизнью города, посвящает себя изобретательству. Он патентует несколько изобретений, а в 1884 году, заручившись финансовой поддержкой местных предпринимателей, основывает компанию American Arithmometer Company для производства суммирующих машин.
Изобретение Берроуза представляло собой настольную машину с наклонной клавиатурой и набором клавиш для ввода цифр. Отличительной особенностью машины был механизм, позволяющий не только складывать числа, но и печатать результаты на бумажной ленте. Берроуз постоянно совершенствовал конструкцию своего арифмометра, упрощая управление и улучшая механизмы.
Благодаря своей надежности и функциональности, машина Берроуза, получившая название Burroughs Registering Accountant, быстро завоевала популярность в банках и на предприятиях США. К сожалению, сам изобретатель недолго наслаждался плодами своего труда. Уильям Берроуз скончался в 1898 году, оставив после себя наследие, которое навсегда изменило мир делопроизводства.
#история #изобретения #технологии #арифмометр #УильямБерроуз #США #бизнес
В 1880-х годах Берроуз переезжает в Сент-Луис, где, наблюдая за бурно развивающейся деловой жизнью города, посвящает себя изобретательству. Он патентует несколько изобретений, а в 1884 году, заручившись финансовой поддержкой местных предпринимателей, основывает компанию American Arithmometer Company для производства суммирующих машин.
Изобретение Берроуза представляло собой настольную машину с наклонной клавиатурой и набором клавиш для ввода цифр. Отличительной особенностью машины был механизм, позволяющий не только складывать числа, но и печатать результаты на бумажной ленте. Берроуз постоянно совершенствовал конструкцию своего арифмометра, упрощая управление и улучшая механизмы.
Благодаря своей надежности и функциональности, машина Берроуза, получившая название Burroughs Registering Accountant, быстро завоевала популярность в банках и на предприятиях США. К сожалению, сам изобретатель недолго наслаждался плодами своего труда. Уильям Берроуз скончался в 1898 году, оставив после себя наследие, которое навсегда изменило мир делопроизводства.
#история #изобретения #технологии #арифмометр #УильямБерроуз #США #бизнес
Математика не для всех
08 Dec, 11:57
Жак Саломон Адамар, родившийся 8 декабря 1865 года в Версале, стал одним из величайших математиков своего времени. Его жизнь была наполнена научными достижениями и важными событиями, которые оставили неизгладимый след в истории математики.
Адамар проявил выдающиеся способности еще в юности, получив первые призы по алгебре и механике в конкурсе Concours Général в 1883 году. Он блестяще сдал вступительные экзамены в Высшую нормальную школу и Политехническую школу, заняв первое место в обоих учреждениях. Выбрав Высшую нормальную школу, Адамар учился у таких выдающихся математиков, как Эрмит, Дарбу и Эмиль Пикар.
Научная карьера Адамара началась стремительно. Уже в 1892 году он защитил докторскую диссертацию по функциям, определенным рядами Тейлора. В том же году он получил Гран-при математических наук за работу о распределении простых чисел.
Адамар внес значительный вклад во многие области математики. Одним из его самых выдающихся достижений стало доказательство теоремы о простых числах в 1896 году. Эта теорема утверждает, что количество простых чисел, меньших заданного числа, стремится к бесконечности так же быстро, как отношение этого числа к его натуральному логарифму.
В 1893 году Адамар опубликовал знаменитое неравенство для определителей, которое привело к открытию матриц Адамара. Эти матрицы нашли применение в теории интегральных уравнений, теории кодирования и других областях.
Адамар также сделал важный вклад в теорию динамических систем. Его работа 1898 года о геодезических на поверхностях отрицательной кривизны заложила основы символической динамики.
На протяжении своей долгой карьеры Адамар работал в различных престижных учреждениях, включая Сорбонну и Коллеж де Франс. Он был избран в Французскую академию наук в 1912 году, заняв место, освободившееся после смерти Анри Пуанкаре.
Жак Адамар скончался 17 октября 1963 года в Париже, оставив после себя богатое научное наследие. Его работы в области теории чисел, комплексного анализа, дифференциальной геометрии и уравнений в частных производных продолжают оказывать влияние на современную математику
Адамар проявил выдающиеся способности еще в юности, получив первые призы по алгебре и механике в конкурсе Concours Général в 1883 году. Он блестяще сдал вступительные экзамены в Высшую нормальную школу и Политехническую школу, заняв первое место в обоих учреждениях. Выбрав Высшую нормальную школу, Адамар учился у таких выдающихся математиков, как Эрмит, Дарбу и Эмиль Пикар.
Научная карьера Адамара началась стремительно. Уже в 1892 году он защитил докторскую диссертацию по функциям, определенным рядами Тейлора. В том же году он получил Гран-при математических наук за работу о распределении простых чисел.
Адамар внес значительный вклад во многие области математики. Одним из его самых выдающихся достижений стало доказательство теоремы о простых числах в 1896 году. Эта теорема утверждает, что количество простых чисел, меньших заданного числа, стремится к бесконечности так же быстро, как отношение этого числа к его натуральному логарифму.
В 1893 году Адамар опубликовал знаменитое неравенство для определителей, которое привело к открытию матриц Адамара. Эти матрицы нашли применение в теории интегральных уравнений, теории кодирования и других областях.
Адамар также сделал важный вклад в теорию динамических систем. Его работа 1898 года о геодезических на поверхностях отрицательной кривизны заложила основы символической динамики.
На протяжении своей долгой карьеры Адамар работал в различных престижных учреждениях, включая Сорбонну и Коллеж де Франс. Он был избран в Французскую академию наук в 1912 году, заняв место, освободившееся после смерти Анри Пуанкаре.
Жак Адамар скончался 17 октября 1963 года в Париже, оставив после себя богатое научное наследие. Его работы в области теории чисел, комплексного анализа, дифференциальной геометрии и уравнений в частных производных продолжают оказывать влияние на современную математику
Математика не для всех
08 Dec, 09:40
Губка Менгера — это математическая структура, которая представляет собой один из самых известных фракталов. Она создаётся путём повторяющегося удаления центральных частей куба, оставляя сложную, самоподобную фигуру с бесконечно возрастающей поверхностью, но уменьшающимся объёмом. Визуально она напоминает трёхмерную сетку с пустотами, которые становятся всё более мелкими при каждом шаге построения.
Читайте подробнее о последнем открытии на Habr.com
Читайте подробнее о последнем открытии на Habr.com
Математика не для всех
07 Dec, 07:30
Имеется одна интересная и красивая теорема Кронекера о кузнечиках:
Если 𝛼 > 0 — иррациональное число, то множество {𝑛𝛼} плотно на отрезке [0, 1].
(Через {𝑥} обозначается дробная часть числа 𝑥; множество 𝑋 называется плотным в множестве 𝑌, если всякая окрестность любой точки из 𝑌 содержит точку из 𝑋).
Доказательство можно найти, например, в журнале Квант, 1986, 7 или в лекции В. Шарича.
С помощью этой теоремы несложно, например, доказать, что существует квадрат натурального числа, начинающийся с любой предварительно заданной последовательности цифр.
Если 𝛼 > 0 — иррациональное число, то множество {𝑛𝛼} плотно на отрезке [0, 1].
(Через {𝑥} обозначается дробная часть числа 𝑥; множество 𝑋 называется плотным в множестве 𝑌, если всякая окрестность любой точки из 𝑌 содержит точку из 𝑋).
Доказательство можно найти, например, в журнале Квант, 1986, 7 или в лекции В. Шарича.
С помощью этой теоремы несложно, например, доказать, что существует квадрат натурального числа, начинающийся с любой предварительно заданной последовательности цифр.
Математика не для всех
07 Dec, 07:30
«Целые числа создал Бог, всё остальное — дело рук человека».
«Что хорошего в вашем прекрасном доказательстве трансцендентности π? Зачем исследовать такие проблемы, если иррациональных чисел вообще не существует?»
«Если нам выпало на долю написать страницу-другую, которую читатель пробежал бы без скуки, то я обязан этим в большей степени геометрии, этой удивительной учительнице в искусстве направлять мысли, приводить в порядок неупорядоченное, выкорчевывать глупости, фильтровать грязное и давать ясность — эту высшую форму из всех качеств риторики. Но она [геометрия] не создает способности остроумной догадки — тот деликатный цветок, который произрастает не на всякой почве и распускается так, что никто не знает, как».
7 декабря 1823 г. родился Леопольд Кронекер, немецкий математик. Основные результаты относятся к теории эллиптических функций, теории алгебраических уравнений и теории чисел. Разработал метод, с помощью которого можно найти рациональные делители данного многочлена с рациональными коэффициентами. Используя эллиптические функции, Кронекер получил ряд новых результатов в теории чисел, в частности в диофантовом анализе. Его лемму использовал Гильберт при доказательстве существования конечного базиса системы инвариантов. В линейной алгебре известна теорема Кронекера-Капелли (критерий совместности системы линейных уравнений).
Был сторонником «арифметизации» математики, которая, по его мнению, должна быть сведена к арифметике целых чисел; только последняя, как он утверждал, обладает подлинной реальностью. Защищая эти взгляды, вёл упорную дискуссию с принципами теоретико-функциональной школы К. Вейерштрасса и теоретико-множественной школы Г. Кантора. В области оснований математики Кронекер вместе с Гауссом, Пуанкаре и другими стоял на позициях интуиционизма; в антиномиях теории множеств видел свидетельство необходимости радикальной программы интуиционистского переустройства всего математического знания.
Идеи Кронекера частично нашли продолжение в исследованиях 20 в. по основаниям математики — речь идет о так называемой конструктивной математике.
«Что хорошего в вашем прекрасном доказательстве трансцендентности π? Зачем исследовать такие проблемы, если иррациональных чисел вообще не существует?»
«Если нам выпало на долю написать страницу-другую, которую читатель пробежал бы без скуки, то я обязан этим в большей степени геометрии, этой удивительной учительнице в искусстве направлять мысли, приводить в порядок неупорядоченное, выкорчевывать глупости, фильтровать грязное и давать ясность — эту высшую форму из всех качеств риторики. Но она [геометрия] не создает способности остроумной догадки — тот деликатный цветок, который произрастает не на всякой почве и распускается так, что никто не знает, как».
7 декабря 1823 г. родился Леопольд Кронекер, немецкий математик. Основные результаты относятся к теории эллиптических функций, теории алгебраических уравнений и теории чисел. Разработал метод, с помощью которого можно найти рациональные делители данного многочлена с рациональными коэффициентами. Используя эллиптические функции, Кронекер получил ряд новых результатов в теории чисел, в частности в диофантовом анализе. Его лемму использовал Гильберт при доказательстве существования конечного базиса системы инвариантов. В линейной алгебре известна теорема Кронекера-Капелли (критерий совместности системы линейных уравнений).
Был сторонником «арифметизации» математики, которая, по его мнению, должна быть сведена к арифметике целых чисел; только последняя, как он утверждал, обладает подлинной реальностью. Защищая эти взгляды, вёл упорную дискуссию с принципами теоретико-функциональной школы К. Вейерштрасса и теоретико-множественной школы Г. Кантора. В области оснований математики Кронекер вместе с Гауссом, Пуанкаре и другими стоял на позициях интуиционизма; в антиномиях теории множеств видел свидетельство необходимости радикальной программы интуиционистского переустройства всего математического знания.
Идеи Кронекера частично нашли продолжение в исследованиях 20 в. по основаниям математики — речь идет о так называемой конструктивной математике.
Математика не для всех
06 Dec, 20:32
Гидрофобность поверхности можно измерить с помощью угла контакта. Чем больше угол контакта, тем выше гидрофобность поверхности.
Поверхности с углом контакта < 90° называются гидрофильными, а с углом > 90° — гидрофобными. Некоторые растения показывают углы контакта до 160° и называются ультрагидрофобными, что означает, что только 2–3% поверхности капли (типичного размера) находится в контакте. Растения с двойной структурой поверхности, такие как лотос(лепестки лотоса покрыты микроскопическими выступами), могут достигать угла контакта 170°, при этом площадь контакта капли составляет всего 0,6%. Все это приводит к эффекту самоочищения, который еще называют эффектом лотоса. Частицы грязи с чрезвычайно уменьшенной площадью контакта подхватываются каплями воды и, таким образом, легко очищаются от поверхности.
На первом изображении компьютерная графика поверхности листа лотоса, на втором - капля воды на поверхности лотоса, показывающая контактный угол приблизительно 147°.
@everScience
Поверхности с углом контакта < 90° называются гидрофильными, а с углом > 90° — гидрофобными. Некоторые растения показывают углы контакта до 160° и называются ультрагидрофобными, что означает, что только 2–3% поверхности капли (типичного размера) находится в контакте. Растения с двойной структурой поверхности, такие как лотос(лепестки лотоса покрыты микроскопическими выступами), могут достигать угла контакта 170°, при этом площадь контакта капли составляет всего 0,6%. Все это приводит к эффекту самоочищения, который еще называют эффектом лотоса. Частицы грязи с чрезвычайно уменьшенной площадью контакта подхватываются каплями воды и, таким образом, легко очищаются от поверхности.
На первом изображении компьютерная графика поверхности листа лотоса, на втором - капля воды на поверхности лотоса, показывающая контактный угол приблизительно 147°.
@everScience
Математика не для всех
06 Dec, 17:15
Достижения в области искусственного интеллекта в математике пока что выглядят впечатляюще только на первый взгляд. Несмотря на то, что современные языковые модели успешно справляются с большинством школьных и университетских математических тестов, они терпят сокрушительное поражение при столкновении с действительно сложными исследовательскими задачами.
Научно-исследовательский институт Epoch AI провел уникальное исследование, специально создав экстремально сложный математический тест с помощью шестидесяти ведущих математиков мира. Результаты оказались шокирующими: лучшие модели искусственного интеллекта смогли правильно решить менее двух процентов предложенных задач.
Эксперты отмечают следующие ключевые проблемы. Во-первых, существующие тесты в основном охватывают базовый уровень математики, далекий от настоящих научных исследований. Во-вторых, модели часто "жульничают", используя готовые решения из своих обширных обучающих данных. Чтобы избежать этого, организаторы теста использовали беспрецедентные меры защиты: математики общались только через зашифрованные каналы и избегали онлайн-редакторов.
Несмотря на текущие ограничения, ученые не теряют оптимизма. Некоторые видят в искусственном интеллекте скорее инструмент для расширения математических возможностей, чем конкурента. Другие предупреждают о потенциальных социальных рисках, связанных с неравномерным доступом к передовым технологиям.
Показательно, что даже при неудачах модели демонстрируют необоснованную уверенность, продолжая выдавать неправильные ответы. Это еще раз подчеркивает огромную дистанцию между способностью решать стандартные задачи и настоящим математическим мышлением.
Ключевой вывод исследования прост: искусственный интеллект пока что очень далек от того, чтобы составить реальную конкуренцию математикам в сложных исследовательских областях.
Источник: https://www.science.org/content/article/brutal-math-test-stumps-ai-not-human-experts
Научно-исследовательский институт Epoch AI провел уникальное исследование, специально создав экстремально сложный математический тест с помощью шестидесяти ведущих математиков мира. Результаты оказались шокирующими: лучшие модели искусственного интеллекта смогли правильно решить менее двух процентов предложенных задач.
Эксперты отмечают следующие ключевые проблемы. Во-первых, существующие тесты в основном охватывают базовый уровень математики, далекий от настоящих научных исследований. Во-вторых, модели часто "жульничают", используя готовые решения из своих обширных обучающих данных. Чтобы избежать этого, организаторы теста использовали беспрецедентные меры защиты: математики общались только через зашифрованные каналы и избегали онлайн-редакторов.
Несмотря на текущие ограничения, ученые не теряют оптимизма. Некоторые видят в искусственном интеллекте скорее инструмент для расширения математических возможностей, чем конкурента. Другие предупреждают о потенциальных социальных рисках, связанных с неравномерным доступом к передовым технологиям.
Показательно, что даже при неудачах модели демонстрируют необоснованную уверенность, продолжая выдавать неправильные ответы. Это еще раз подчеркивает огромную дистанцию между способностью решать стандартные задачи и настоящим математическим мышлением.
Ключевой вывод исследования прост: искусственный интеллект пока что очень далек от того, чтобы составить реальную конкуренцию математикам в сложных исследовательских областях.
Источник: https://www.science.org/content/article/brutal-math-test-stumps-ai-not-human-experts
Математика не для всех
06 Dec, 12:45
📐 Цифры и формулы — это здорово, но как насчет добавить чуть больше осязаемой красоты и гармонии в свою жизнь?
🌱 "Уютные будни цветовода" – вдохновение и советы для тех, кто ценит уют и мечтает создать зеленый оазис у себя дома:
- Простые и эффективные гайды по уходу за растениями, которые проще уравнений;
- Инструкции по борьбе с вредителями и подбору удобрений, понятные любому: шаг за шагом, как разбор сложной задачи;
- Идеи, как украсить свой дом зелеными "формулами" уюта;
📺 Обзоры растений и вдохновляющие зеленые будни на YouTube канале
📰 Полезные статьи и атмосферные истории на Дзене,а также секретная ссылка для покупки стильных цветочных кашпо, специально для твоих растений!
🌿 Добавь уюта своим математическим будням!
🌱 "Уютные будни цветовода" – вдохновение и советы для тех, кто ценит уют и мечтает создать зеленый оазис у себя дома:
- Простые и эффективные гайды по уходу за растениями, которые проще уравнений;
- Инструкции по борьбе с вредителями и подбору удобрений, понятные любому: шаг за шагом, как разбор сложной задачи;
- Идеи, как украсить свой дом зелеными "формулами" уюта;
📺 Обзоры растений и вдохновляющие зеленые будни на YouTube канале
📰 Полезные статьи и атмосферные истории на Дзене,
🌿 Добавь уюта своим математическим будням!
Математика не для всех
06 Dec, 11:34
Иван Нивен просто и со вкусом доказал иррациональность числа 𝜋. Предполагая, что оно рационально, то есть может быть представлено в виде дроби 𝑎/𝑏, он построил специальную функцию с целочисленными значениями в ключевых точках и исследовал интеграл, связанный с этой функцией. С одной стороны, этот интеграл оказался целым числом, а с другой — был положительным, но становился сколь угодно малым при увеличении параметра n. Это противоречие доказывает, что предположение о рациональности 𝜋 неверно, и, следовательно, 𝜋 иррационально.
Математика не для всех
06 Dec, 08:40
Детектор краев Канни: как компьютер видит границы объектов?
Представьте, что вы фотограф, который хочет увидеть четкие контуры объектов на снимке. Именно для этого в 1986 году Джон Ф. Кэнни разработал революционный алгоритм обнаружения границ, который до сих пор используется в компьютерном зрении.
Суть метода проста: алгоритм последовательно "разбирает" изображение, чтобы выделить самые важные границы, игнорируя шум и незначительные детали.
Процесс работы алгоритма можно сравнить с многоступенчатой фильтрацией. Сначала изображение слегка размывается специальным фильтром Гаусса. Зачем? Чтобы убрать мелкие помехи и случайные артефакты, которые могут исказить результат.
Затем алгоритм начинает "изучать" изменения яркости между соседними пикселями. Он определяет, где происходят резкие переходы - потенциальные края объектов. Причем делает это очень умно: проверяет градиент в разных направлениях - вертикальном, горизонтальном и даже диагональном.
Самое интересное начинается дальше. Алгоритм использует два порога чувствительности - высокий и низкий. Сильные края, которые явно выделяются, сохраняются безусловно. А вот со слабыми краями происходит настоящее "собеседование" - если слабый край соединен с сильным, он тоже может быть признан значимым. Если нет - отсеивается как ненужный шум.
В результате на выходе мы получаем предельно чистое изображение с четкими контурами, где каждая линия имеет смысл. Никаких лишних размытых участков или случайных точек.
Метод Канни настолько элегантен, что до сих пор остается одним из самых популярных в обработке изображений. Его используют в системах компьютерного зрения, робототехнике, медицинской диагностике, при распознавании объектов и во многих других областях.
Представьте, что вы фотограф, который хочет увидеть четкие контуры объектов на снимке. Именно для этого в 1986 году Джон Ф. Кэнни разработал революционный алгоритм обнаружения границ, который до сих пор используется в компьютерном зрении.
Суть метода проста: алгоритм последовательно "разбирает" изображение, чтобы выделить самые важные границы, игнорируя шум и незначительные детали.
Процесс работы алгоритма можно сравнить с многоступенчатой фильтрацией. Сначала изображение слегка размывается специальным фильтром Гаусса. Зачем? Чтобы убрать мелкие помехи и случайные артефакты, которые могут исказить результат.
Затем алгоритм начинает "изучать" изменения яркости между соседними пикселями. Он определяет, где происходят резкие переходы - потенциальные края объектов. Причем делает это очень умно: проверяет градиент в разных направлениях - вертикальном, горизонтальном и даже диагональном.
Самое интересное начинается дальше. Алгоритм использует два порога чувствительности - высокий и низкий. Сильные края, которые явно выделяются, сохраняются безусловно. А вот со слабыми краями происходит настоящее "собеседование" - если слабый край соединен с сильным, он тоже может быть признан значимым. Если нет - отсеивается как ненужный шум.
В результате на выходе мы получаем предельно чистое изображение с четкими контурами, где каждая линия имеет смысл. Никаких лишних размытых участков или случайных точек.
Метод Канни настолько элегантен, что до сих пор остается одним из самых популярных в обработке изображений. Его используют в системах компьютерного зрения, робототехнике, медицинской диагностике, при распознавании объектов и во многих других областях.
Математика не для всех
05 Dec, 09:48
Загадка про мальчика во вторник: есть ли у неё правильный ответ?
На известном съезде любителей игр и головоломок в США Гэри Фоши задал вопрос, который озадачил многих:
"У меня двое детей, один из которых — мальчик, родившийся во вторник. Какова вероятность того, что оба ребёнка — мальчики?"
Ответ, предложенный Гэри, составил 13/27, что вызвало волну споров. Почему вероятность не 50%, и как вторник влияет на задачу?
🔍 Проблема этой головоломки в том, что правильный ответ зависит от контекста, то есть от того, как именно мы получаем информацию:
1️⃣ Если кто-то случайно сообщает: «У меня есть два ребёнка, и хотя бы один из них — мальчик», то вероятность того, что второй ребёнок тоже мальчик, составляет 1/3.
2️⃣ Если информация выбирается случайным образом, например, рассматривается один из детей наугад, то вероятность возрастает до 1/2.
3️⃣ А если акцент сделан на особой дате, как в случае с «мальчиком во вторник», вероятность становится совсем другой, ведь учитываются редкие комбинации событий.
На известном съезде любителей игр и головоломок в США Гэри Фоши задал вопрос, который озадачил многих:
"У меня двое детей, один из которых — мальчик, родившийся во вторник. Какова вероятность того, что оба ребёнка — мальчики?"
Ответ, предложенный Гэри, составил 13/27, что вызвало волну споров. Почему вероятность не 50%, и как вторник влияет на задачу?
🔍 Проблема этой головоломки в том, что правильный ответ зависит от контекста, то есть от того, как именно мы получаем информацию:
1️⃣ Если кто-то случайно сообщает: «У меня есть два ребёнка, и хотя бы один из них — мальчик», то вероятность того, что второй ребёнок тоже мальчик, составляет 1/3.
2️⃣ Если информация выбирается случайным образом, например, рассматривается один из детей наугад, то вероятность возрастает до 1/2.
3️⃣ А если акцент сделан на особой дате, как в случае с «мальчиком во вторник», вероятность становится совсем другой, ведь учитываются редкие комбинации событий.
Математика не для всех
03 Dec, 04:26
Наряду с теоретическими Буняковский занимался прикладными вопросами. В частности, в статье по механике он показал, что число положений равновесия однородной треугольной призмы, погруженной в жидкость, не может быть больше 15, и высказал предположение, что таких положение не больше 12 (последнее в позже доказал А.Ю. Давидов). Буняковский решил предложенную ему Б.С. Якоби задачу об определении числа особого вида сочетаний; к этой задаче Якоби пришёл в работах по электромагнитному телеграфу. Позднее внимание Буняковского привлёк вопрос о наивыгоднейшем размещении громоотводов.
Постоянно интересовался Буняковский средствами вычислений и математическими приборами. В исследованиях по этим вопросам он проявил себя и как видный изобретатель.
Им была придумана подвижная таблица для определения месяца и числа Пасхи без всякого вычисления.
Разработал планиметр — прибор для простого механического определения площадей замкнутых контуров, прорисованных на плоской поверхности.
Создал суммарный эккер — прибор, позволяющий получать квадраты последовательности чисел, а также произведения двух множителей (как разности квадратов их полусуммы и полуразности), с суммированием последовательности этих произведений. Принцип действия прибора основан на одной лишь теореме Пифагора. А актуальность прибора была вызвана распространением в середине 19 в. метода наименьших квадратов.
Изобрёл самосчёты, усовершенствовав русские счёты — устранил основной недостаток счётов, связанный с переносом вручную десяти единиц одного разряда в качестве единицы следующего разряда. С этого прибора началась коллекция вычислительных устройств Политехнического музея в Москве.
Постоянно интересовался Буняковский средствами вычислений и математическими приборами. В исследованиях по этим вопросам он проявил себя и как видный изобретатель.
Им была придумана подвижная таблица для определения месяца и числа Пасхи без всякого вычисления.
Разработал планиметр — прибор для простого механического определения площадей замкнутых контуров, прорисованных на плоской поверхности.
Создал суммарный эккер — прибор, позволяющий получать квадраты последовательности чисел, а также произведения двух множителей (как разности квадратов их полусуммы и полуразности), с суммированием последовательности этих произведений. Принцип действия прибора основан на одной лишь теореме Пифагора. А актуальность прибора была вызвана распространением в середине 19 в. метода наименьших квадратов.
Изобрёл самосчёты, усовершенствовав русские счёты — устранил основной недостаток счётов, связанный с переносом вручную десяти единиц одного разряда в качестве единицы следующего разряда. С этого прибора началась коллекция вычислительных устройств Политехнического музея в Москве.
Математика не для всех
03 Dec, 04:26
3 декабря 1804 г. родился Виктор Яковлевич Буняковский. Основные труды в области теории чисел, теории вероятностей. Является автором классического неравенства КБШ (Коши–Буняковского–Шварца), связывающего норму и скалярное произведение векторов в линейном пространстве, в интегральной форме.
Математика не для всех
02 Dec, 11:05
✋🏻Ты справишься с итоговым сочинением 4 декабря. Подписывайся на канал ТА ⤵️ жми сюда и ботай с нами. Короткие ролики, аргументы, клише. У нас есть всё, чтобы ты получил зачет💯
#реклама
О рекламодателе
#реклама
О рекламодателе
Математика не для всех
02 Dec, 10:27
После защиты моей кандидатской, председатель Дисс. Совета - проф. Ващенко, в качестве напутствия сказал мне такую фразу:
«Когда я закончил техникум, я был уверен, что знаю все на свете. Когда я закончил институт и успешно защитил диплом, я начал догадываться, что возможно я чего-то ещё не знаю. Когда я защитил кандидатскую, я определённо осознал, что я многое не знаю. Потом, спустя годы научной работы и успешной защиты докторской, я понял, что я не знаю вообще ничего!».
Оказывается у этого есть научное обоснование - эффект Даннинга-Крюгера.
«Когда я закончил техникум, я был уверен, что знаю все на свете. Когда я закончил институт и успешно защитил диплом, я начал догадываться, что возможно я чего-то ещё не знаю. Когда я защитил кандидатскую, я определённо осознал, что я многое не знаю. Потом, спустя годы научной работы и успешной защиты докторской, я понял, что я не знаю вообще ничего!».
Оказывается у этого есть научное обоснование - эффект Даннинга-Крюгера.
Математика не для всех
02 Dec, 07:52
Калиссон — это французская сладость, которая выглядит как два равносторонних треугольника, соединённых вдоль одной из сторон. Калиссон можно уложить в коробку, имеющую форму правильного шестиугольника, и их размещение предлагает интересную комбинаторную задачу. Предположим, что коробка с длиной стороны
𝑛 заполнена сладостями с длиной стороны 1. Короткая диагональ каждого калиссона в коробке параллельна одной из сторон коробки.
Мы предполагаем три возможных направления, в которых калиссон может быть ориентирован.
Теорема: В любом размещении количество калиссонов с заданной ориентацией составляет одну треть от общего числа калиссонов в коробке.
Более подробная информация - https://arxiv.org/pdf/2307.02475v1
𝑛 заполнена сладостями с длиной стороны 1. Короткая диагональ каждого калиссона в коробке параллельна одной из сторон коробки.
Мы предполагаем три возможных направления, в которых калиссон может быть ориентирован.
Теорема: В любом размещении количество калиссонов с заданной ориентацией составляет одну треть от общего числа калиссонов в коробке.
Более подробная информация - https://arxiv.org/pdf/2307.02475v1
Математика не для всех
30 Nov, 04:45
Начиная с 2025 года, федеральные органы власти и правительство Москвы больше не будут пытаться социализировать выпускников механико-математического факультута МГУ имени Ломоносова. Согласно заключению экспертов, пятилетняя экспериментальная программа не дала ровным счётом никаких результатов, хотя были испробованы разные методики.
По мнению одного из специалистов, которое цитирует РБК, «из мехмата выпускаются ещё бо́льшими дикарями, чем были на момент поступления».
«Из интересных наблюдений – чем больше у выпускника проблем с социализацией, тем выше шанс, что он получит учёную степень и вообще отметится в российской и мировой науке, – пояснил он. – Поэтому возник вопрос, верным ли мы вообще делом занимаемся. С точки гуманизма, вероятно, да, но надо ведь думать и о будущем отечественной науки».
ИА "Панорама "
По мнению одного из специалистов, которое цитирует РБК, «из мехмата выпускаются ещё бо́льшими дикарями, чем были на момент поступления».
«Из интересных наблюдений – чем больше у выпускника проблем с социализацией, тем выше шанс, что он получит учёную степень и вообще отметится в российской и мировой науке, – пояснил он. – Поэтому возник вопрос, верным ли мы вообще делом занимаемся. С точки гуманизма, вероятно, да, но надо ведь думать и о будущем отечественной науки».
Математика не для всех
29 Nov, 16:45
Джон Бржустовский в своей работе "Can You Win at Tetris?" исследует математическую сторону популярной игры Tetris, пытаясь определить, можно ли играть в неё бесконечно, не допуская поражения. В обычном режиме игрок управляет падающими фигурами, заполняя строки, которые исчезают при полном заполнении. Однако Бржустовский рассматривает Tetris как задачу теории игр, где машина действует как противник и выдает фигуры в худшей для игрока последовательности, стремясь ускорить его поражение.
В процессе исследования Бржустовский строит математическую модель Tetris и анализирует различные стратегии. Важно, что он не просто разрабатывает отдельные тактики, а пытается найти общую выигрышную стратегию для долговременной игры. Некоторые комбинации фигур, такие как только квадраты или только прямые линии, позволяют разработать теоретически "непрерывные" стратегии, то есть способы бесконечного удержания игры. Для этих фигур Бржустовский находит наборы ходов, которые позволяют избегать заполнения колодца до его верхнего края.
Однако для других фигур, таких как "угловые" элементы (L-образные и Z-образные фигуры), доказано, что выигрышная стратегия невозможна. Эти элементы создают «узоры» внутри колодца, которые сложно разбирать и в конечном итоге приводят к неконтролируемому росту заполнения, делая поражение игрока неминуемым. Бржустовский формулирует концепцию «защитного слоя» и «цикла», показывая, как некоторые конфигурации элементов могут оставаться неразрешимыми для игрока.
Таким образом, вывод исследования Бржустовского заключается в том, что Tetris можно рассматривать как игру с элементами "неустранимого поражения". В условиях, когда последовательность фигур контролируется машиной, игра становится непредсказуемой и для определённых условий бесконечное поддержание игры невозможно.
В процессе исследования Бржустовский строит математическую модель Tetris и анализирует различные стратегии. Важно, что он не просто разрабатывает отдельные тактики, а пытается найти общую выигрышную стратегию для долговременной игры. Некоторые комбинации фигур, такие как только квадраты или только прямые линии, позволяют разработать теоретически "непрерывные" стратегии, то есть способы бесконечного удержания игры. Для этих фигур Бржустовский находит наборы ходов, которые позволяют избегать заполнения колодца до его верхнего края.
Однако для других фигур, таких как "угловые" элементы (L-образные и Z-образные фигуры), доказано, что выигрышная стратегия невозможна. Эти элементы создают «узоры» внутри колодца, которые сложно разбирать и в конечном итоге приводят к неконтролируемому росту заполнения, делая поражение игрока неминуемым. Бржустовский формулирует концепцию «защитного слоя» и «цикла», показывая, как некоторые конфигурации элементов могут оставаться неразрешимыми для игрока.
Таким образом, вывод исследования Бржустовского заключается в том, что Tetris можно рассматривать как игру с элементами "неустранимого поражения". В условиях, когда последовательность фигур контролируется машиной, игра становится непредсказуемой и для определённых условий бесконечное поддержание игры невозможно.
Математика не для всех
29 Nov, 04:15
Зелёные вспышки иногда можно наблюдать прямо над заходящим или восходящим солнцем.☀️. Это интересное явление, и вот почему оно происходит.
Атмосфера действует как призма, и преломление сильнее на коротких длинах волн — красный образ Солнца исчезает первым.
Синий свет (меньшая длина волны, λ) рассеивается за пределы видимости из-за рассеяния Релея.
Атмосфера действует как призма, и преломление сильнее на коротких длинах волн — красный образ Солнца исчезает первым.
Синий свет (меньшая длина волны, λ) рассеивается за пределы видимости из-за рассеяния Релея.
Математика не для всех
28 Nov, 16:45
Количество возможных вариантов дизайна обоев практически бесконечно. Но разные варианты могут иметь один и тот же базовый узор. В 1924 году Джордж Полиа и Пауль Ниггли доказали, что существует ровно 17 различных типов симметрии узоров на обоях.
Математика не для всех
28 Nov, 12:45
Математики Ноам Элкис и Зев Клагсбран нашли эллиптическую кривую 29-го порядка, самую сложную из когда-либо обнаруженных. Подробнее - в материале
Математика не для всех
28 Nov, 08:05
Да вы видели эти баллы вообще? 💀
Учитесь в 11 классе и поступаете уже в этом учебном году? Мечтаете учиться в топовом ВУЗе в Москве или в Питере?
Тогда не делайте ставку на один ЕГЭ. Проходные баллы шепчут: не лезь сюда…
- МИФИ от 250 баллов
- ВШЭ от 300 баллов
- МГУ от 400 баллов
и примерные баллы в другие ВУЗы также шепчут, не лезь...
Одна ошибка — и вы ошиблись, ребята. На ЕГЭ у вас только 1 попытка, 1 шанс 💀
Сломайте эту систему и гарантированно поступите по перечневой! Они значительно проще ВСОШ, взять их при правильной подготовке реально.
Готовьтесь к перечневым на курсе Возьми БВИ от онлайн-школы Олмат.
Если вы не затащите ни одну перечневую, то… они вернут вам деньги!
Школа Олмат настолько уверены в своей методике на курсе Возьми БВИ, что предлагает уникальную гарантию.
Если вы выполнили все ДЗ, участвовали в 5+ олимпиадах из перечня, но не получили ни одного диплома, они вернут вам деньги.
Олмат выработали методику обучения, которая даёт результаты 👇
🏆 Более 500 учеников школы Олмат
Поступили в МГУ, на Физтех, НИУ ВШЭ, в МИФИ и другие топовые вузы
🏆 94% учеников Олмат
Поступили с помощью олимпиад в топовые вузы
Почему именно Возьми БВИ?
✅ Без воды
На курсе вы не будете смотреть по 50 уроков в записи или вебинары, а посещать живые онлайн-занятия 3 раза в неделю, писать тренировочную олимпиаду с проверкой, получать обратную связь от преподавателей по каждой задаче.
Программа охватывает только самое нужное. Никаких лишних тем.
✅ Будете готовы ко всему
За 5 месяцев вы подготовитесь к олимпиадам из перечня РСОШ.
✅ Обучитесь у опытных преподавателей
Средний опыт подготовки к абитуриентским олимпиадам — 9.5 лет.
Педагоги Олмат проанализировали десятки перечневых олимпиад, становились призёрами и победителями самых престижных олимпиад 1-го и 2-го уровней.
Возьмите БВИ и обеспечьте себе не один, а 15+ шансов поступить 👇
Кликайте на ссылку ниже и присоединяйтесь:
https://t.me/olmat_bvi2_bot
Реклама
ИП Скопинцев С.В.
erid 2VtzqvJqjAX
Учитесь в 11 классе и поступаете уже в этом учебном году? Мечтаете учиться в топовом ВУЗе в Москве или в Питере?
Тогда не делайте ставку на один ЕГЭ. Проходные баллы шепчут: не лезь сюда…
- МИФИ от 250 баллов
- ВШЭ от 300 баллов
- МГУ от 400 баллов
и примерные баллы в другие ВУЗы также шепчут, не лезь...
Одна ошибка — и вы ошиблись, ребята. На ЕГЭ у вас только 1 попытка, 1 шанс 💀
Сломайте эту систему и гарантированно поступите по перечневой! Они значительно проще ВСОШ, взять их при правильной подготовке реально.
Готовьтесь к перечневым на курсе Возьми БВИ от онлайн-школы Олмат.
Если вы не затащите ни одну перечневую, то… они вернут вам деньги!
Школа Олмат настолько уверены в своей методике на курсе Возьми БВИ, что предлагает уникальную гарантию.
Если вы выполнили все ДЗ, участвовали в 5+ олимпиадах из перечня, но не получили ни одного диплома, они вернут вам деньги.
Олмат выработали методику обучения, которая даёт результаты 👇
🏆 Более 500 учеников школы Олмат
Поступили в МГУ, на Физтех, НИУ ВШЭ, в МИФИ и другие топовые вузы
🏆 94% учеников Олмат
Поступили с помощью олимпиад в топовые вузы
Почему именно Возьми БВИ?
✅ Без воды
На курсе вы не будете смотреть по 50 уроков в записи или вебинары, а посещать живые онлайн-занятия 3 раза в неделю, писать тренировочную олимпиаду с проверкой, получать обратную связь от преподавателей по каждой задаче.
Программа охватывает только самое нужное. Никаких лишних тем.
✅ Будете готовы ко всему
За 5 месяцев вы подготовитесь к олимпиадам из перечня РСОШ.
✅ Обучитесь у опытных преподавателей
Средний опыт подготовки к абитуриентским олимпиадам — 9.5 лет.
Педагоги Олмат проанализировали десятки перечневых олимпиад, становились призёрами и победителями самых престижных олимпиад 1-го и 2-го уровней.
Возьмите БВИ и обеспечьте себе не один, а 15+ шансов поступить 👇
Кликайте на ссылку ниже и присоединяйтесь:
https://t.me/olmat_bvi2_bot
Реклама
ИП Скопинцев С.В.
erid 2VtzqvJqjAX
Математика не для всех
27 Nov, 12:15
«Первая картина, написанная человекоподобным роботом, продана на аукционе за миллион долларов»: Андроид создала икону своего бога-математика.
«Портрет английского математика Алана Тьюринга стал первым произведением искусства человекоподобного робота, проданным на аукционе за 1,08 млн долларов в Нью-Йорке. Портрет длиной 2,2 метра под названием A.I. God (Бог ИИ) написан Ai-Da, первой в мире художницей-андроидом.
«Портрет английского математика Алана Тьюринга стал первым произведением искусства человекоподобного робота, проданным на аукционе за 1,08 млн долларов в Нью-Йорке. Портрет длиной 2,2 метра под названием A.I. God (Бог ИИ) написан Ai-Da, первой в мире художницей-андроидом.
Математика не для всех
26 Nov, 16:45
В 1936 году польский математик Станислав Мазур сформулировал сложную математическую проблему, известную как "проблема базиса" или "проблема 153" в Шотландской книге. Шотландская книга была своеобразным сборником нерешенных математических задач, которые обсуждались польскими математиками в кафе "Księga Szkocka" во Львове.
Мазур пообещал живого гуся в качестве награды тому, кто сможет решить эту проблему. В то время, во время Великой депрессии, живой гусь был весьма ценным призом.
Проблема оставалась нерешенной в течение почти 40 лет. В 1972 году шведский математик Пер Энфло наконец нашел решение, построив пример банахова пространства без базиса Шаудера.
В 1972 году в Варшаве состоялась церемония вручения приза. Мазур лично вручил Энфло живого гуся в присутствии многих известных математиков. Это событие транслировалось по польскому телевидению.
Решение Энфло не только принесло ему необычный приз, но и внесло значительный вклад в функциональный анализ. Оно показало, что не все банаховы пространства имеют базис Шаудера, что было важным открытием в этой области математики.
После церемонии Энфло, проявив заботу о животном, передал гуся в Варшавский зоопарк, где за ним могли должным образом ухаживать.
Мазур пообещал живого гуся в качестве награды тому, кто сможет решить эту проблему. В то время, во время Великой депрессии, живой гусь был весьма ценным призом.
Проблема оставалась нерешенной в течение почти 40 лет. В 1972 году шведский математик Пер Энфло наконец нашел решение, построив пример банахова пространства без базиса Шаудера.
В 1972 году в Варшаве состоялась церемония вручения приза. Мазур лично вручил Энфло живого гуся в присутствии многих известных математиков. Это событие транслировалось по польскому телевидению.
Решение Энфло не только принесло ему необычный приз, но и внесло значительный вклад в функциональный анализ. Оно показало, что не все банаховы пространства имеют базис Шаудера, что было важным открытием в этой области математики.
После церемонии Энфло, проявив заботу о животном, передал гуся в Варшавский зоопарк, где за ним могли должным образом ухаживать.
Математика не для всех
26 Nov, 12:47
Какова бы ни была правда о широко обсуждаемом «кризисе психического здоровья», он привёл к изменениям, которые нарушают привычный уклад университетской жизни. Многих студентов теперь освобождают от написания эссе и разрешают сдавать тезисы; сроки сдачи работ продлеваются и регулярно нарушаются без последствий; на все экзамены выделяется дополнительное время.
Темпы изменений за последнее десятилетие были поразительными, и их определяли три силы: административный класс, который хочет свести к минимуму количество жалоб, часть преподавателей, которые активно выступают против строгих университетских традиций, и часть студентов, которые выбирают самый простой путь. В результате образование постепенно инфантилизируется, а объём сложной работы сокращается, а жёсткой критики за плохое написание и плохое мышление избегают. А теперь появилась перспектива разделить интенсивный восьминедельный семестр на две части «неделей отдыха».
Ещё более печальным событием стало то, что лекции теперь приходится записывать на видео и выкладывать в интернет после мероприятия. Это накладывает материальные ограничения как на лектора, так и на студентов: впечатления от занятий в аудитории портятся из-за огромного количества сторонних наблюдателей, которые могут смотреть в любое время. Поскольку всё меньше студентов посещают лекции, корпоративный дух группы ослабевает, и одна из самых особенных университетских сред оказывается под угрозой.
В гуманитарных и социальных науках наблюдается постоянное сужение знаний и снижение требований. Установлены списки обязательной и дополнительной литературы: студентам почти никогда не дают задание прочитать целую книгу за неделю. На некоторых факультетах введены абстрактные (и абсурдные) квоты на количество страниц, которые нужно прочитать. Для курсов обязательны так называемые «предупреждения о содержании»: всё, что может вызвать споры, например, жертвоприношение животных в «Илиаде» Гомера или религиозные конфликты в Древнем Риме, должно быть заранее чётко обозначено. И если кто-то говорит, что не хочет затрагивать такую тему, кафедра спокойно отпускает его. Нельзя игнорировать общее снижение стандартов.
Весь успех Кембриджа основан на приёме самых одарённых и лучших студентов. Тем не менее, несмотря на эту банальную истину, в последнее время особое внимание уделяется школьному образованию абитуриентов — если только они не иностранцы. Кембридж, как и многие другие университеты, поставил перед собой цель увеличить долю учащихся государственных школ. За выбранными цифрами не стояло чёткого обоснования, но они действовали по принципу «зубчатого колеса»: когда цифра, придуманная комитетом, не просто достигалась, а превышалась, новая цифра рассматривалась как базовый показатель, по сравнению с которым «мы должны работать лучше».
С 2013 по 2023 год доля учащихся государственных школ Великобритании выросла с 61% до 73%. Этот рост стал возможен благодаря неоспоримой дискриминации другой группы учащихся — тех, кто по выбору родителей или благодаря стипендии, полученной за свои таланты, учился в платных школах. Это один из немногих положительных моментов: нынешний вице-канцлер Кембриджа Дебора Прентис недавно приостановила этот бесконтрольный процесс, в котором политика ставится выше таланта.
В том же духе университет хвастается, что с каждым годом становится всё более «инклюзивным», но нет ясности в том, какова его цель. Никто не доказал, что протоколы, нацеленные на выполнение требований, существенно улучшают академическую деятельность или успеваемость студентов. Вместо этого наблюдается полное отсутствие интереса к тому, что на самом деле означает «разнообразие» и почему в университете представлены как слишком, так и недостаточно этнических групп. Помимо увеличения абсолютных показателей — 39% студентов бакалавриата в Кембридже не являются «белыми» по сравнению с 22% десять лет назад, — нет чёткого понимания того, к чему мы стремимся.
Источник: https://www.spectator.co.uk/article/decline-and-fall-how-university-education-became-infantilised/
Темпы изменений за последнее десятилетие были поразительными, и их определяли три силы: административный класс, который хочет свести к минимуму количество жалоб, часть преподавателей, которые активно выступают против строгих университетских традиций, и часть студентов, которые выбирают самый простой путь. В результате образование постепенно инфантилизируется, а объём сложной работы сокращается, а жёсткой критики за плохое написание и плохое мышление избегают. А теперь появилась перспектива разделить интенсивный восьминедельный семестр на две части «неделей отдыха».
Ещё более печальным событием стало то, что лекции теперь приходится записывать на видео и выкладывать в интернет после мероприятия. Это накладывает материальные ограничения как на лектора, так и на студентов: впечатления от занятий в аудитории портятся из-за огромного количества сторонних наблюдателей, которые могут смотреть в любое время. Поскольку всё меньше студентов посещают лекции, корпоративный дух группы ослабевает, и одна из самых особенных университетских сред оказывается под угрозой.
В гуманитарных и социальных науках наблюдается постоянное сужение знаний и снижение требований. Установлены списки обязательной и дополнительной литературы: студентам почти никогда не дают задание прочитать целую книгу за неделю. На некоторых факультетах введены абстрактные (и абсурдные) квоты на количество страниц, которые нужно прочитать. Для курсов обязательны так называемые «предупреждения о содержании»: всё, что может вызвать споры, например, жертвоприношение животных в «Илиаде» Гомера или религиозные конфликты в Древнем Риме, должно быть заранее чётко обозначено. И если кто-то говорит, что не хочет затрагивать такую тему, кафедра спокойно отпускает его. Нельзя игнорировать общее снижение стандартов.
Весь успех Кембриджа основан на приёме самых одарённых и лучших студентов. Тем не менее, несмотря на эту банальную истину, в последнее время особое внимание уделяется школьному образованию абитуриентов — если только они не иностранцы. Кембридж, как и многие другие университеты, поставил перед собой цель увеличить долю учащихся государственных школ. За выбранными цифрами не стояло чёткого обоснования, но они действовали по принципу «зубчатого колеса»: когда цифра, придуманная комитетом, не просто достигалась, а превышалась, новая цифра рассматривалась как базовый показатель, по сравнению с которым «мы должны работать лучше».
С 2013 по 2023 год доля учащихся государственных школ Великобритании выросла с 61% до 73%. Этот рост стал возможен благодаря неоспоримой дискриминации другой группы учащихся — тех, кто по выбору родителей или благодаря стипендии, полученной за свои таланты, учился в платных школах. Это один из немногих положительных моментов: нынешний вице-канцлер Кембриджа Дебора Прентис недавно приостановила этот бесконтрольный процесс, в котором политика ставится выше таланта.
В том же духе университет хвастается, что с каждым годом становится всё более «инклюзивным», но нет ясности в том, какова его цель. Никто не доказал, что протоколы, нацеленные на выполнение требований, существенно улучшают академическую деятельность или успеваемость студентов. Вместо этого наблюдается полное отсутствие интереса к тому, что на самом деле означает «разнообразие» и почему в университете представлены как слишком, так и недостаточно этнических групп. Помимо увеличения абсолютных показателей — 39% студентов бакалавриата в Кембридже не являются «белыми» по сравнению с 22% десять лет назад, — нет чёткого понимания того, к чему мы стремимся.
Источник: https://www.spectator.co.uk/article/decline-and-fall-how-university-education-became-infantilised/
Математика не для всех
26 Nov, 12:46
Теперь даже судьба экзаменов висит на волоске. Студенты, администрация и ряд преподавателей активно выступают за то, чтобы сократить или отменить традиционные экзамены с закрытыми учебниками, которые проверяли знания, изобретательность и (при необходимости) риторику в реальных условиях нехватки времени и обстоятельств. Многие экзамены не только стали проводиться с открытыми учебниками в студенческих аудиториях, но и количество курсовых работ заметно возросло. Естественно, для студентов это менее стрессово, но мало кто видит иронию в том, что их итоговая оценка зависит от более ранних, то есть менее подготовленных версий самих себя. В то же время университет понятия не имеет, как бороться с повсеместным использованием незаконного, но всё более трудно обнаруживаемого программного обеспечения на основе ИИ.
Для студентов риски никогда не были ниже. В Кембридже, как и в других учебных заведениях, процветает инфляция оценок. Получить тройку, не говоря уже о двойке, практически невозможно по большинству предметов, так как студенты могут либо прервать обучение на год и пересдать экзамены, либо отказаться от них по состоянию здоровья и получить условную тройку. Когда я приехал в Кембридж, студентов отчисляли из университета за неуспеваемость; сейчас это неслыханно — отчислять студентов за недостаточную успеваемость.
Эти изменения отражают более масштабную тенденцию: по разным причинам количество заявлений об инвалидности резко возросло. За последние 15 лет количество студентов с инвалидностью в Кембридже увеличилось более чем в пять раз, и сейчас о своей инвалидности заявляют около 6000 студентов (примерно каждый четвёртый). Двумя основными причинами роста стали «психические расстройства» и «особые трудности в обучении». Многие студенты указывают в качестве причины тревожность, однако у университета и Национальной службы здравоохранения нет ни возможностей, ни стимулов для проверки заявлений. За четыре года число студентов с СДВГ удвоилось и сейчас приближается к тысяче. В результате Ресурсный центр университета по вопросам доступности и инвалидности заработал сверхурочно, потребовав повсеместных изменений в преподавании и экзаменах.
Для студентов риски никогда не были ниже. В Кембридже, как и в других учебных заведениях, процветает инфляция оценок. Получить тройку, не говоря уже о двойке, практически невозможно по большинству предметов, так как студенты могут либо прервать обучение на год и пересдать экзамены, либо отказаться от них по состоянию здоровья и получить условную тройку. Когда я приехал в Кембридж, студентов отчисляли из университета за неуспеваемость; сейчас это неслыханно — отчислять студентов за недостаточную успеваемость.
Эти изменения отражают более масштабную тенденцию: по разным причинам количество заявлений об инвалидности резко возросло. За последние 15 лет количество студентов с инвалидностью в Кембридже увеличилось более чем в пять раз, и сейчас о своей инвалидности заявляют около 6000 студентов (примерно каждый четвёртый). Двумя основными причинами роста стали «психические расстройства» и «особые трудности в обучении». Многие студенты указывают в качестве причины тревожность, однако у университета и Национальной службы здравоохранения нет ни возможностей, ни стимулов для проверки заявлений. За четыре года число студентов с СДВГ удвоилось и сейчас приближается к тысяче. В результате Ресурсный центр университета по вопросам доступности и инвалидности заработал сверхурочно, потребовав повсеместных изменений в преподавании и экзаменах.
Математика не для всех
26 Nov, 12:45
Упадок и грехопадение: как университетское образование стало инфантильным
В прошлом месяце, после 21 года изучения и преподавания классической филологии в Кембриджском университете, я уволился. Мне нравилась моя работа. И именно потому, что мне нравилась работа, за которую мне платили, и потому, что я твёрдо верю в сохранение высокого уровня высшего образования в Великобритании и за её пределами, я ушёл.
Когда я приехал в Кембридж два десятилетия назад, по земле ещё ходили гиганты. Студенты могли посещать любые лекции на любом уровне, на любом факультете; семинары для аспирантов и исследователей были открыты для всех желающих, и вы могли сидеть у ног великих. Незабываемые собрания, на которых все, от студентов до профессоров, до поздней ночи обсуждали важные вопросы.
Историческая сила Кембриджа заключалась в уважении к способностям студентов и предоставлении им свободы учиться так, как они хотят, но с некоторыми важными ограничениями. Так называемая «система наставничества» — это сердцевина всего этого: каждую неделю студентов (особенно по гуманитарным и общественным наукам) отправляют читать и писать на одну и ту же тему. Задача состоит в том, чтобы занять определённую позицию, сформулировать аргумент и быть готовым защищать его в течение часа в дискуссии с экспертом в этой области. Под таким пристальным вниманием студенты узнают, в чём заключаются противоречия их позиции, и развивают интеллектуальную скромность и адаптивность, которые являются основой научных исследований.
Именно благодаря этому процессу Кембридж стал одним из лучших университетов мира. Именно поэтому его вклад в искусство и науку превосходит вклад любого другого высшего учебного заведения.
Успеваемость студентов Кембриджа оценивается по результатам экзаменов, которые, что важно, на протяжении веков были публичным мероприятием. Результаты, публикуемые в виде списков студентов в Сенатском доме, также публиковались в прессе. Например, когда в 1887 году Агна Рамзи стала лучшей на классическом экзамене, эта новость шокировала и обрадовала всю страну.
Несколько лет назад списки студентов Кембриджа стали закрытыми. Администрация университета сослалась на «защиту данных» после того, как меньшинство студентов выступило под лозунгом «наш балл — наш выбор». То, что сначала было добровольным отказом студентов, вскоре стало единой политикой. Студенты больше не могут узнать, кто лучше (или хуже) сдал экзамен в их группе, по их предмету, в их колледже — даже преподавателям предоставляется ограниченный доступ к результатам в зависимости от их должности. Таким образом, желание избавить студентов от личных переживаний подавило большую часть соревновательного духа в университете. (Неофициальный рейтинг успеваемости в колледже, таблица Томпкинса, по-прежнему тихо распространяется, но только потому, что старший преподаватель сливает данные.)
В прошлом месяце, после 21 года изучения и преподавания классической филологии в Кембриджском университете, я уволился. Мне нравилась моя работа. И именно потому, что мне нравилась работа, за которую мне платили, и потому, что я твёрдо верю в сохранение высокого уровня высшего образования в Великобритании и за её пределами, я ушёл.
Когда я приехал в Кембридж два десятилетия назад, по земле ещё ходили гиганты. Студенты могли посещать любые лекции на любом уровне, на любом факультете; семинары для аспирантов и исследователей были открыты для всех желающих, и вы могли сидеть у ног великих. Незабываемые собрания, на которых все, от студентов до профессоров, до поздней ночи обсуждали важные вопросы.
Историческая сила Кембриджа заключалась в уважении к способностям студентов и предоставлении им свободы учиться так, как они хотят, но с некоторыми важными ограничениями. Так называемая «система наставничества» — это сердцевина всего этого: каждую неделю студентов (особенно по гуманитарным и общественным наукам) отправляют читать и писать на одну и ту же тему. Задача состоит в том, чтобы занять определённую позицию, сформулировать аргумент и быть готовым защищать его в течение часа в дискуссии с экспертом в этой области. Под таким пристальным вниманием студенты узнают, в чём заключаются противоречия их позиции, и развивают интеллектуальную скромность и адаптивность, которые являются основой научных исследований.
Именно благодаря этому процессу Кембридж стал одним из лучших университетов мира. Именно поэтому его вклад в искусство и науку превосходит вклад любого другого высшего учебного заведения.
Успеваемость студентов Кембриджа оценивается по результатам экзаменов, которые, что важно, на протяжении веков были публичным мероприятием. Результаты, публикуемые в виде списков студентов в Сенатском доме, также публиковались в прессе. Например, когда в 1887 году Агна Рамзи стала лучшей на классическом экзамене, эта новость шокировала и обрадовала всю страну.
Несколько лет назад списки студентов Кембриджа стали закрытыми. Администрация университета сослалась на «защиту данных» после того, как меньшинство студентов выступило под лозунгом «наш балл — наш выбор». То, что сначала было добровольным отказом студентов, вскоре стало единой политикой. Студенты больше не могут узнать, кто лучше (или хуже) сдал экзамен в их группе, по их предмету, в их колледже — даже преподавателям предоставляется ограниченный доступ к результатам в зависимости от их должности. Таким образом, желание избавить студентов от личных переживаний подавило большую часть соревновательного духа в университете. (Неофициальный рейтинг успеваемости в колледже, таблица Томпкинса, по-прежнему тихо распространяется, но только потому, что старший преподаватель сливает данные.)
Математика не для всех
26 Nov, 04:15
Самонаходящиеся строки в числе 𝜋. Строка n находится в позиции n в десятичных цифрах числа 𝜋, где 1 — первая цифра. Например, цифры 16470 находятся в позиции 16470. Согласно The Pi-Search Page, числа 1, 16470, 44899, 79873884, 711939213 являются самонаходящимися
Математика не для всех
25 Nov, 12:45
Продолжение #подборки фильмов (16-23)
16. Скрытые фигуры (Hidden Figures) - история об афроамериканских женщинах-математиках в NASA.
17. X+Y - фильм о мальчике-аутисте, участвующем в математической олимпиаде.
18. Комната Ферма (La habitación de Fermat) - триллер о группе математиков, решающих головоломки.
19. Бесконечность (Infinity) - биографический фильм о физике Ричарде Фейнмане.
20. Умница Уилл Хантинг (Good Will Hunting) - история о молодом уборщике-математическом гении.
21. Маленький человек Тейт (Little Man Tate) - фильм о вундеркинде с математическими способностями.
22. Выстоять и добиться (Stand and Deliver) - история учителя математики, вдохновляющего своих учеников.
23. Одарённая (Gifted) - фильм о математически одаренной девочке.
16. Скрытые фигуры (Hidden Figures) - история об афроамериканских женщинах-математиках в NASA.
17. X+Y - фильм о мальчике-аутисте, участвующем в математической олимпиаде.
18. Комната Ферма (La habitación de Fermat) - триллер о группе математиков, решающих головоломки.
19. Бесконечность (Infinity) - биографический фильм о физике Ричарде Фейнмане.
20. Умница Уилл Хантинг (Good Will Hunting) - история о молодом уборщике-математическом гении.
21. Маленький человек Тейт (Little Man Tate) - фильм о вундеркинде с математическими способностями.
22. Выстоять и добиться (Stand and Deliver) - история учителя математики, вдохновляющего своих учеников.
23. Одарённая (Gifted) - фильм о математически одаренной девочке.
Математика не для всех
23 Nov, 16:45
У стандартного кубика (который в игровом сообществе называют d6) одна задача: генерировать случайное число от 1 до 6. Кубик d6 выполняет эту задачу простым способом: на его шести гранях есть 1, 2, 3, 4, 5 и 6 точек, всего 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21 точка. Благодаря симметрии кубика каждая из шести граней имеет равные шансы оказаться верхней, когда кубик перестаёт катиться.
Но вот вид сверху на кубик, который выполняет ту же работу, но с гораздо меньшим количеством делений.
Этот кубик — не шестигранник, а двенадцатигранник, называемый додекаэдром. Чтобы использовать этот новомодный кубик, бросьте его, подождите, пока он перестанет вращаться, и сосчитайте не только точки на верхней грани, но и точки на пяти окружающих гранях, то есть сосчитайте точки на шести гранях, которые видны прямо над кубиком. Например, на картинке выше мы видим шесть точек, поэтому бросок будет равен 6.
Когда вы многократно бросаете такой кубик, каждая грань додекаэдра оказывается верхней половиной в половине случаев. Напротив, когда вы многократно бросаете кубический кубик, каждая грань куба оказывается верхней только в одной шестой случаев. Таким образом, двенадцатигранная кость (с точки зрения использования точек) в три раза эффективнее кубической (половина в три раза больше, чем одна шестая), и, соответственно, она выполняет свою работу, используя в три раза меньше точек: 7 вместо 21.
Но вот вид сверху на кубик, который выполняет ту же работу, но с гораздо меньшим количеством делений.
Этот кубик — не шестигранник, а двенадцатигранник, называемый додекаэдром. Чтобы использовать этот новомодный кубик, бросьте его, подождите, пока он перестанет вращаться, и сосчитайте не только точки на верхней грани, но и точки на пяти окружающих гранях, то есть сосчитайте точки на шести гранях, которые видны прямо над кубиком. Например, на картинке выше мы видим шесть точек, поэтому бросок будет равен 6.
Когда вы многократно бросаете такой кубик, каждая грань додекаэдра оказывается верхней половиной в половине случаев. Напротив, когда вы многократно бросаете кубический кубик, каждая грань куба оказывается верхней только в одной шестой случаев. Таким образом, двенадцатигранная кость (с точки зрения использования точек) в три раза эффективнее кубической (половина в три раза больше, чем одна шестая), и, соответственно, она выполняет свою работу, используя в три раза меньше точек: 7 вместо 21.
Математика не для всех
23 Nov, 12:45
Продолжение #подборки фильмов (11-15)
11. Двадцать одно (21) - Фильм о студентах MIT, использующих математику для победы в блэкджеке.
12. Пи (Pi) - Психологический триллер о математике, ищущем универсальную формулу.
13. Господин Никто (Mr. Nobody) - Научно-фантастический фильм с элементами теории вероятностей.
14. Человек, который познал бесконечность (The Man Who Knew Infinity) - Биография индийского математика Сриниваса Рамануджана.
15. Игры разума (A Beautiful Mind) - Биографический фильм о математике Джоне Нэше.
11. Двадцать одно (21) - Фильм о студентах MIT, использующих математику для победы в блэкджеке.
12. Пи (Pi) - Психологический триллер о математике, ищущем универсальную формулу.
13. Господин Никто (Mr. Nobody) - Научно-фантастический фильм с элементами теории вероятностей.
14. Человек, который познал бесконечность (The Man Who Knew Infinity) - Биография индийского математика Сриниваса Рамануджана.
15. Игры разума (A Beautiful Mind) - Биографический фильм о математике Джоне Нэше.
Математика не для всех
23 Nov, 04:15
Некоторое время назад я искал наиболее эффективный способ проверки числа на простоту. Это привело меня к следующему фрагменту кода (рис. 1).
Я был заинтригован. Хотя это, возможно, не самый эффективный способ, он определённо один из наименее очевидных, так что моё любопытство разыгралось. Как, чёрт возьми, соответствие .?|(..+?)\1+ регулярному выражению может сказать, что число не является простым (после преобразования в унарное представление)?
Если вам интересно, читайте дальше, я постараюсь разобрать это регулярное выражение и объяснить, что на самом деле происходит!
https://illya.sh/the-codeumentary-blog/regular-expression-check-if-number-is-prime/
Я был заинтригован. Хотя это, возможно, не самый эффективный способ, он определённо один из наименее очевидных, так что моё любопытство разыгралось. Как, чёрт возьми, соответствие .?|(..+?)\1+ регулярному выражению может сказать, что число не является простым (после преобразования в унарное представление)?
Если вам интересно, читайте дальше, я постараюсь разобрать это регулярное выражение и объяснить, что на самом деле происходит!
https://illya.sh/the-codeumentary-blog/regular-expression-check-if-number-is-prime/
Математика не для всех
22 Nov, 12:15
Сумма внешних углов многоугольника всегда равна 360 градусам.
Математика не для всех
22 Nov, 07:20
Как сдать ЕГЭ по информатике на 100 баллов?
Как стать студентом престижных Вузов?
👇👇👇
Уже сейчас идет набор школьников 3-10 классов на новый 2024/2025 учебный год в Московскую школу программистов!
Московская школа программистов — это не курсы, а школа с государственной лицензией, которая обучает детей фундаментальным IT-знаниям с 2001 года в Москве, Московской Области и онлайн по всему миру.
Что получит ваш ребенок, в результате обучения в нашей школе?
✔️ Сможет принимать участие в олимпиадах всероссийского и международного уровня
✔️ Обеспечит поступление в престижные технические вузы России и работу в известных IT-компаниях
✔️ Практику на реальных IT-проектах
✔️ Сможет сдать ОГЭ и ЕГЭ на высокие баллы по точным наукам
🎓 Обучение будет проходить в виртуальном классе, для этого нужно пройти тестирование.
❗️ Количество мест в виртуальном классе ограничено, поэтому успейте записаться на тестирование.
👉 https://goo.su/XgNX20
Erid: 2Vtzqx5RERV
Реклама. АНО ДО «Московская школа программистов»
ИНН: 9715464656
Как стать студентом престижных Вузов?
👇👇👇
Уже сейчас идет набор школьников 3-10 классов на новый 2024/2025 учебный год в Московскую школу программистов!
Московская школа программистов — это не курсы, а школа с государственной лицензией, которая обучает детей фундаментальным IT-знаниям с 2001 года в Москве, Московской Области и онлайн по всему миру.
Что получит ваш ребенок, в результате обучения в нашей школе?
✔️ Сможет принимать участие в олимпиадах всероссийского и международного уровня
✔️ Обеспечит поступление в престижные технические вузы России и работу в известных IT-компаниях
✔️ Практику на реальных IT-проектах
✔️ Сможет сдать ОГЭ и ЕГЭ на высокие баллы по точным наукам
🎓 Обучение будет проходить в виртуальном классе, для этого нужно пройти тестирование.
❗️ Количество мест в виртуальном классе ограничено, поэтому успейте записаться на тестирование.
👉 https://goo.su/XgNX20
Erid: 2Vtzqx5RERV
Реклама. АНО ДО «Московская школа программистов»
ИНН: 9715464656
Математика не для всех
22 Nov, 04:15
В 1998 году произошло знаменательное событие в мире науки и искусства - на аукционе Christie's в Нью-Йорке был продан уникальный средневековый молитвенник за 2 миллиона долларов. Однако ценность этого манускрипта заключалась не в молитвах, а в том, что скрывалось под ними.
Этот молитвенник оказался палимпсестом - рукописью, написанной поверх более древнего текста. В данном случае, под христианскими молитвами XIII века скрывались бесценные труды древнегреческого математика Архимеда, датируемые X веком. Среди них были ранее неизвестные работы ученого, включая трактат "Метод математических теорем", который содержал революционные для своего времени математические концепции.
Анонимный покупатель, заплативший столь внушительную сумму, оказался не просто коллекционером, а настоящим меценатом науки. Он передал палимпсест в музей Уолтерса в Балтиморе для тщательного изучения и реставрации. Благодаря современным технологиям, в частности мультиспектральной визуализации и рентгеновскому сканированию, ученым удалось прочитать стертый текст Архимеда и открыть миру его утраченные работы.
Этот молитвенник оказался палимпсестом - рукописью, написанной поверх более древнего текста. В данном случае, под христианскими молитвами XIII века скрывались бесценные труды древнегреческого математика Архимеда, датируемые X веком. Среди них были ранее неизвестные работы ученого, включая трактат "Метод математических теорем", который содержал революционные для своего времени математические концепции.
Анонимный покупатель, заплативший столь внушительную сумму, оказался не просто коллекционером, а настоящим меценатом науки. Он передал палимпсест в музей Уолтерса в Балтиморе для тщательного изучения и реставрации. Благодаря современным технологиям, в частности мультиспектральной визуализации и рентгеновскому сканированию, ученым удалось прочитать стертый текст Архимеда и открыть миру его утраченные работы.
Математика не для всех
21 Nov, 12:45
Продолжение #подборки фильмов (6-10):
6. Куб (Cube) - научно-фантастический триллер, где пленники должны использовать математику для выживания.
7. Коэффициент интеллекта (I.Q.) - романтическая комедия о племяннице Альберта Эйнштейна и механике.
8. Исчисление любви (Calculus of Love) - фильм о профессоре математики, расследующем убийство с помощью математических методов.
9. Человек, который изменил всё (Moneyball) - история о применении статистического анализа в бейсболе.
10. Октябрьское небо (October Sky) - биографический фильм о инженере NASA Хомере Хикэме.
6. Куб (Cube) - научно-фантастический триллер, где пленники должны использовать математику для выживания.
7. Коэффициент интеллекта (I.Q.) - романтическая комедия о племяннице Альберта Эйнштейна и механике.
8. Исчисление любви (Calculus of Love) - фильм о профессоре математики, расследующем убийство с помощью математических методов.
9. Человек, который изменил всё (Moneyball) - история о применении статистического анализа в бейсболе.
10. Октябрьское небо (October Sky) - биографический фильм о инженере NASA Хомере Хикэме.
Математика не для всех
21 Nov, 04:15
Гипотеза о двухъярусной кровати основывается на случайных соединениях вершин, похожих на этот предмет мебели. В воображаемом графе мы берем обычный набор узлов и соединяем их, словно располагаем на двух уровнях: так, что каждая вершина на верхнем уровне соединена с соответствующей на нижнем. Гипотеза утверждала, что вероятность связи между двумя вершинами на одном уровне выше, чем вероятность связи между уровнями. На первый взгляд, это кажется очевидным и интуитивно верным! Но долгие годы она оставалась одной из загадок для теоретиков, которые не могли найти доказательство. И, как выяснилось, не случайно — гипотеза оказалась неверной.
Истоки этой гипотезы до конца не ясны, хотя её приписывают одному из учёных 80-х годов. Время от времени её анализировали, предлагали новые интерпретации, экспериментировали с подмножествами узлов и разными условиями, но до полноценных выводов так и не доходили. И вот наконец пришёл тот момент, когда идея оспаривалась и доказала свою ошибочность.
Спрашивается, зачем опровергать то, что кажется столь очевидным? Но как раз из-за этой уверенности и стоит искать контрпример. В научных изысканиях догадки часто не соответствуют реальности, особенно если все окружающие убеждены в их правоте.
Опровержение представлено в совместной работе с коллегами из Калифорнийского университета и MIT. Для этого был создан сложный пример, где мы использовали граф с несколькими уровнями соединений и выполнили хитроумные замены, создавая особый вид связей между узлами. Получившийся граф оказался настолько большим, что различие вероятностей связи на разных уровнях стало почти незаметным — но оно всё же было, что и позволило разрушить гипотезу.
В итоге полученный граф состоял из 7523 вершин и 15654 рёбер. Различие между вероятностями для связей на одном уровне и между уровнями оказалось колоссально малым — порядка -10 в степени -6500. Но, хотя это число почти исчезающе мало, оно отрицательное, что и служит ключевым моментом для опровержения. (Источник)
Истоки этой гипотезы до конца не ясны, хотя её приписывают одному из учёных 80-х годов. Время от времени её анализировали, предлагали новые интерпретации, экспериментировали с подмножествами узлов и разными условиями, но до полноценных выводов так и не доходили. И вот наконец пришёл тот момент, когда идея оспаривалась и доказала свою ошибочность.
Спрашивается, зачем опровергать то, что кажется столь очевидным? Но как раз из-за этой уверенности и стоит искать контрпример. В научных изысканиях догадки часто не соответствуют реальности, особенно если все окружающие убеждены в их правоте.
Опровержение представлено в совместной работе с коллегами из Калифорнийского университета и MIT. Для этого был создан сложный пример, где мы использовали граф с несколькими уровнями соединений и выполнили хитроумные замены, создавая особый вид связей между узлами. Получившийся граф оказался настолько большим, что различие вероятностей связи на разных уровнях стало почти незаметным — но оно всё же было, что и позволило разрушить гипотезу.
В итоге полученный граф состоял из 7523 вершин и 15654 рёбер. Различие между вероятностями для связей на одном уровне и между уровнями оказалось колоссально малым — порядка -10 в степени -6500. Но, хотя это число почти исчезающе мало, оно отрицательное, что и служит ключевым моментом для опровержения. (Источник)
Математика не для всех
20 Nov, 12:15
Воспитывайте детей, и не будет необходимости наказывать взрослых. — Пифагор (ок. 570 г. до н. э. — ок. 496 г. до н. э.)
Математика не для всех
20 Nov, 04:15
Червь Беклемишева и концепция всюду определенности в математической логике
Червь Беклемишева представляет собой уникальную математическую конструкцию, играющую значительную роль в теории доказательств и математической логике. Эта конструкция тесно связана с доказательством знаменитой теоремы Гёделя о неполноте арифметики Пеано (PA), которая утверждает существование истинных утверждений о натуральных числах, не поддающихся формальному доказательству в рамках PA.
Суть конструкции червя Беклемишева заключается в создании специфической функции, которая демонстрирует ограничения формальных систем. Процесс начинается с рассмотрения вычислимого пересчета всех вычислимых функций из N в N, всюду определенность которых доказуема в PA. На основе этого пересчета определяется новая функция ψ, обладающая рядом примечательных свойств.
Функция ψ конструируется таким образом, чтобы быть всюду определенной и вычислимой, но при этом не совпадать ни с одной из функций из исходного перечисления. Ключевой момент заключается в том, что всюду определенность функции ψ невозможно доказать в рамках PA, несмотря на то, что она фактически является всюду определенной.
Понятие всюду определенности играет центральную роль в этой конструкции и требует отдельного рассмотрения. В математике соответствие или функция называется всюду определенной, если её область определения совпадает со всей областью отправления. Другими словами, для каждого элемента из области отправления существует соответствующий элемент в области прибытия.
Формально, для соответствия Г = (X, Y, G), где X - область отправления, Y - область прибытия, и G - график соответствия, свойство всюду определенности можно выразить как равенство проекции графика G на первую координату и области отправления X. Это свойство имеет фундаментальное значение в различных областях математики, включая теорию функций, математический анализ, теорию множеств и отношений.
Всюду определенность часто рассматривается в сочетании с другими свойствами соответствий, такими как функциональность, сюръективность и инъективность. Например, всюду определенное и функциональное соответствие называется отображением X в Y, а всюду определенное и сюръективное соответствие связывает каждый элемент области отправления хотя бы с одним элементом области прибытия.
Возвращаясь к червю Беклемишева, его значимость заключается в предоставлении альтернативного способа доказательства теоремы Гёделя о неполноте. Вместо построения самореферентного утверждения "я недоказуемо", эта конструкция демонстрирует существование вычислимой функции, всюду определенность которой истинна, но недоказуема в рамках PA.
Червь Беклемишева представляет собой уникальную математическую конструкцию, играющую значительную роль в теории доказательств и математической логике. Эта конструкция тесно связана с доказательством знаменитой теоремы Гёделя о неполноте арифметики Пеано (PA), которая утверждает существование истинных утверждений о натуральных числах, не поддающихся формальному доказательству в рамках PA.
Суть конструкции червя Беклемишева заключается в создании специфической функции, которая демонстрирует ограничения формальных систем. Процесс начинается с рассмотрения вычислимого пересчета всех вычислимых функций из N в N, всюду определенность которых доказуема в PA. На основе этого пересчета определяется новая функция ψ, обладающая рядом примечательных свойств.
Функция ψ конструируется таким образом, чтобы быть всюду определенной и вычислимой, но при этом не совпадать ни с одной из функций из исходного перечисления. Ключевой момент заключается в том, что всюду определенность функции ψ невозможно доказать в рамках PA, несмотря на то, что она фактически является всюду определенной.
Понятие всюду определенности играет центральную роль в этой конструкции и требует отдельного рассмотрения. В математике соответствие или функция называется всюду определенной, если её область определения совпадает со всей областью отправления. Другими словами, для каждого элемента из области отправления существует соответствующий элемент в области прибытия.
Формально, для соответствия Г = (X, Y, G), где X - область отправления, Y - область прибытия, и G - график соответствия, свойство всюду определенности можно выразить как равенство проекции графика G на первую координату и области отправления X. Это свойство имеет фундаментальное значение в различных областях математики, включая теорию функций, математический анализ, теорию множеств и отношений.
Всюду определенность часто рассматривается в сочетании с другими свойствами соответствий, такими как функциональность, сюръективность и инъективность. Например, всюду определенное и функциональное соответствие называется отображением X в Y, а всюду определенное и сюръективное соответствие связывает каждый элемент области отправления хотя бы с одним элементом области прибытия.
Возвращаясь к червю Беклемишева, его значимость заключается в предоставлении альтернативного способа доказательства теоремы Гёделя о неполноте. Вместо построения самореферентного утверждения "я недоказуемо", эта конструкция демонстрирует существование вычислимой функции, всюду определенность которой истинна, но недоказуема в рамках PA.
Математика не для всех
19 Nov, 16:45
Если вы умножите 212765957446808510638297872340425531914893617 на любое число от 5 до 46, то полученное число будет находиться на этом кольце ниже!
Математика не для всех
19 Nov, 12:45
Подборка материалов разного уровня на русском языке о теоремах Гёделя
Математика не для всех
18 Nov, 16:45
Для поиска статей по нужной теме используйте Google Dorks.
Например, по запросу на картинке будут показаны проиндексированные pdf-файлы, содержащие термин "персистентная гомология" в домене .ru
Например, по запросу на картинке будут показаны проиндексированные pdf-файлы, содержащие термин "персистентная гомология" в домене .ru
Математика не для всех
17 Nov, 16:45
Пусть a, b и c — стороны треугольника. Пусть r — радиус вписанной окружности, а R — радиус описанной окружности. Наконец, пусть p — периметр. Тогда в предыдущем посте говорилось, что
2prR = abc.
Мы могли бы переписать это как
2rR = abc / (a + b + c)
Правая часть уравнения максимальна, когда a = b = c. Чтобы доказать это, максимизируйте abc при условии a + b + c = p, используя множители Лагранжа. Это означает, что
[bc, ac, ab] = λ[1, 1, 1]
Таким образом, ab = bc = ac, и отсюда следует, что a = b = c. Это означает, что среди треугольников с любым заданным периметром произведение внутреннего и внешнего радиусов максимально для равностороннего треугольника.
2prR = abc.
Мы могли бы переписать это как
2rR = abc / (a + b + c)
Правая часть уравнения максимальна, когда a = b = c. Чтобы доказать это, максимизируйте abc при условии a + b + c = p, используя множители Лагранжа. Это означает, что
[bc, ac, ab] = λ[1, 1, 1]
Таким образом, ab = bc = ac, и отсюда следует, что a = b = c. Это означает, что среди треугольников с любым заданным периметром произведение внутреннего и внешнего радиусов максимально для равностороннего треугольника.
Математика не для всех
17 Nov, 12:45
Как выглядит таблица Менделеева, исходя из реальной распространенности элементов на Земле
Математика не для всех
17 Nov, 04:15
Триангуляция Роя — один из самых амбициозных геодезических проектов XVIII века, разработанный для точного измерения расстояния между Парижем и Гринвичем и установления единого нулевого меридиана. Руководителем проекта был британский инженер и геодезист генерал-майор Уильям Рой, который предложил соединить два города сетью треугольников, каждый из которых состоял из тщательно измеренных углов и длин сторон. Этот метод, называемый триангуляцией, позволял передавать точные координаты с одной точки на другую, не требуя измерения каждой стороны.
Проект стартовал в 1784 году и был инициирован для улучшения топографической точности картирования Британских островов, но быстро стал международным проектом, включив во взаимодействие Францию. Рой установил базовую линию для сети в Хаунслоу Хит, недалеко от Лондона. Эта линия измерялась с беспрецедентной точностью, используя специально изготовленные стальные цепи, каждая из которых проверялась на точное соответствие длине при разных температурах. После этого Рой и его команда начали измерение углов между точками, чтобы построить сеть треугольников, которая в конечном итоге охватила всю южную Англию и достигла Франции.
Чтобы наблюдения были точными, учёные использовали мощные оптические инструменты того времени, например, сектант (измеряющий углы между точками), который позже стал символом этой экспедиции. Проблемой оказалась преломляющая сила атмосферы, которая искажала наблюдения на больших расстояниях. Эффект атмосферного преломления был частично компенсирован, но привёл к накоплению ошибок, с которыми столкнулись Рой и его коллеги.
Проект завершился в 1790 году, и в итоге расстояние между Парижем и Гринвичем было определено с высокой точностью, хотя и с небольшой ошибкой, которая обнаружилась только много лет спустя. Рой и его коллеги оставили после себя уникальный опыт точного картографирования, который стал основой для геодезии и картографии на многие десятилетия вперёд.
Проект стартовал в 1784 году и был инициирован для улучшения топографической точности картирования Британских островов, но быстро стал международным проектом, включив во взаимодействие Францию. Рой установил базовую линию для сети в Хаунслоу Хит, недалеко от Лондона. Эта линия измерялась с беспрецедентной точностью, используя специально изготовленные стальные цепи, каждая из которых проверялась на точное соответствие длине при разных температурах. После этого Рой и его команда начали измерение углов между точками, чтобы построить сеть треугольников, которая в конечном итоге охватила всю южную Англию и достигла Франции.
Чтобы наблюдения были точными, учёные использовали мощные оптические инструменты того времени, например, сектант (измеряющий углы между точками), который позже стал символом этой экспедиции. Проблемой оказалась преломляющая сила атмосферы, которая искажала наблюдения на больших расстояниях. Эффект атмосферного преломления был частично компенсирован, но привёл к накоплению ошибок, с которыми столкнулись Рой и его коллеги.
Проект завершился в 1790 году, и в итоге расстояние между Парижем и Гринвичем было определено с высокой точностью, хотя и с небольшой ошибкой, которая обнаружилась только много лет спустя. Рой и его коллеги оставили после себя уникальный опыт точного картографирования, который стал основой для геодезии и картографии на многие десятилетия вперёд.
Математика не для всех
16 Nov, 16:45
Чемпионаты мира по сборке пазлов - удивительное явление, демонстрирующее невероятные способности людей в этой области. Лучшие команды способны собрать сложные пазлы из тысячи деталей менее чем за час, тратя всего несколько секунд на каждый элемент. Это заставляет задуматься о том, как можно измерить сложность пазла и какой пазл можно считать самым сложным.
Создание по-настоящему сложного пазла начинается с устранения визуальных подсказок. Некоторые производители полностью убирают изображение с лицевой стороны деталей. Дальнейшее усложнение достигается путем унификации размеров и форм всех элементов, включая выступы и пазы. Это значительно уменьшает количество подсказок по форме, оставляя лишь минимум информации для сборки.
При анализе сложности пазлов часто не учитывают краевые элементы, так как их доля уменьшается с увеличением размера головоломки. Например, в пазле из тысячи деталей краевые элементы составляют около 12% от общего количества, и эта пропорция продолжает уменьшаться в более крупных пазлах.
С точки зрения теории сложности, задача сборки такого пазла относится к классу NP-полных задач. Это означает, что время, необходимое для решения, растет экспоненциально с увеличением количества деталей. Существуют некоторые упрощенные варианты, например, пазлы с шахматным узором, которые можно собрать относительно быстро. Однако такие случаи крайне редки для больших головоломок.
Действительно сложные пазлы создаются путем случайного выбора конфигурации границ между элементами. Решение таких головоломок требует значительных усилий и часто включает в себя необходимость возвращаться назад из-за ошибочных решений, принятых на ранних этапах сборки.
Теоретические расчеты показывают, что время, необходимое для сборки сложного пазла методом перебора, может быть астрономически большим. Даже если бы все люди на Земле или самые мощные компьютеры работали над решением одновременно, это могло бы занять невообразимо долгое время, превышающее возраст Вселенной во много раз.
Существуют более эффективные алгоритмы решения, такие как SAT-решатели с улучшенным механизмом возврата, но даже они демонстрируют экспоненциальный рост времени выполнения с увеличением размера головоломки. Возможность нахождения метода с полиномиальным ростом сложности остается открытым вопросом, за решение которого предлагается крупное вознаграждение.
Квантовые вычисления, хотя и способны решать некоторые экспоненциально сложные задачи за полиномиальное время, пока не доказали свою эффективность для произвольных NP-полных задач, к которым относится и сборка сложных пазлов.
Таким образом, мы сталкиваемся с удивительной возможностью создания головоломки, которую невозможно собрать ни одному известному разуму или вычислительному механизму во всей Вселенной.
Создание по-настоящему сложного пазла начинается с устранения визуальных подсказок. Некоторые производители полностью убирают изображение с лицевой стороны деталей. Дальнейшее усложнение достигается путем унификации размеров и форм всех элементов, включая выступы и пазы. Это значительно уменьшает количество подсказок по форме, оставляя лишь минимум информации для сборки.
При анализе сложности пазлов часто не учитывают краевые элементы, так как их доля уменьшается с увеличением размера головоломки. Например, в пазле из тысячи деталей краевые элементы составляют около 12% от общего количества, и эта пропорция продолжает уменьшаться в более крупных пазлах.
С точки зрения теории сложности, задача сборки такого пазла относится к классу NP-полных задач. Это означает, что время, необходимое для решения, растет экспоненциально с увеличением количества деталей. Существуют некоторые упрощенные варианты, например, пазлы с шахматным узором, которые можно собрать относительно быстро. Однако такие случаи крайне редки для больших головоломок.
Действительно сложные пазлы создаются путем случайного выбора конфигурации границ между элементами. Решение таких головоломок требует значительных усилий и часто включает в себя необходимость возвращаться назад из-за ошибочных решений, принятых на ранних этапах сборки.
Теоретические расчеты показывают, что время, необходимое для сборки сложного пазла методом перебора, может быть астрономически большим. Даже если бы все люди на Земле или самые мощные компьютеры работали над решением одновременно, это могло бы занять невообразимо долгое время, превышающее возраст Вселенной во много раз.
Существуют более эффективные алгоритмы решения, такие как SAT-решатели с улучшенным механизмом возврата, но даже они демонстрируют экспоненциальный рост времени выполнения с увеличением размера головоломки. Возможность нахождения метода с полиномиальным ростом сложности остается открытым вопросом, за решение которого предлагается крупное вознаграждение.
Квантовые вычисления, хотя и способны решать некоторые экспоненциально сложные задачи за полиномиальное время, пока не доказали свою эффективность для произвольных NP-полных задач, к которым относится и сборка сложных пазлов.
Таким образом, мы сталкиваемся с удивительной возможностью создания головоломки, которую невозможно собрать ни одному известному разуму или вычислительному механизму во всей Вселенной.
Математика не для всех
16 Nov, 12:45
Первая часть #подборки фильмов о математике (1-5)
1. Коммивояжер (Travelling Salesman) - фильм о четырех математиках, нанятых правительством США для решения задачи коммивояжера.
2. Банк (The Bank) - история о математике, разработавшем формулу для предсказания колебаний фондового рынка.
3. Приключения математика (Adventures of a Mathematician) - биографический фильм о польско-американском математике Станиславе Уламе.
4. Мёбиус (Moebius) - фильм о загадочном исчезновении поезда в московском метро, связанном с топологией ленты Мёбиуса.
5. Оксфордские убийства (The Oxford Murders) - детективная история с математическим подтекстом, происходящая в Оксфордском университете.
1. Коммивояжер (Travelling Salesman) - фильм о четырех математиках, нанятых правительством США для решения задачи коммивояжера.
2. Банк (The Bank) - история о математике, разработавшем формулу для предсказания колебаний фондового рынка.
3. Приключения математика (Adventures of a Mathematician) - биографический фильм о польско-американском математике Станиславе Уламе.
4. Мёбиус (Moebius) - фильм о загадочном исчезновении поезда в московском метро, связанном с топологией ленты Мёбиуса.
5. Оксфордские убийства (The Oxford Murders) - детективная история с математическим подтекстом, происходящая в Оксфордском университете.
Математика не для всех
16 Nov, 04:15
В феврале 2023 года чат-бот Bard от Google, основанный на искусственном интеллекте, утверждал, что космический телескоп «Джеймс Уэбб» впервые зафиксировал изображение экзопланеты, что оказалось неверным. Аналогично, при тестировании ChatGPT от OpenAI исследователи из Университета Пердью задали ему более 500 вопросов по программированию, и более половины ответов оказались неточными. Хотя эти ошибки были заметны, специалисты обеспокоены, что по мере роста моделей и их способности отвечать на сложные вопросы их знания могут превзойти знания большинства пользователей. При появлении таких «сверхчеловеческих» систем возникает вопрос: как мы сможем полагаться на их выводы? Джулиан Майкл, специалист по вычислительной технике из Центра науки о данных Нью-Йоркского университета, указывает, что задачи, которые мы поручаем моделям, могут превышать наши практические возможности. Он подчеркивает, что необходимо контролировать систему, чтобы она выполняла задачу, с которой человек не может справиться.
Одним из предложенных решений стало взаимодействие двух крупных моделей, которые обсуждают вопрос, а третья модель или человек выбирает наиболее точный ответ. Этот подход, предложенный шесть лет назад, был впервые проверен на практике стартапом Anthropic в феврале и Google DeepMind в июле 2023 года. Результаты показали, что споры между моделями помогают наблюдателю, будь то человек или другая система, более точно оценивать истину. По мнению Майкла, это исследование открыло новые возможности, и его команда выяснила, что если обучать модели не просто взаимодействовать, а стремиться к победе в дебатах, судьи-неспециалисты точнее распознают правду.
Создание надежных систем ИИ является частью более масштабной задачи — согласования, чтобы ИИ-системы могли учитывать цели и ценности пользователей. Сегодня согласование осуществляется через обратную связь, но в будущем этого может быть недостаточно. Исследователи давно призывают к разработке «масштабируемого надзора», позволяющего контролировать сверхчеловеческие системы, решающие задачи, которые пользователю не под силу. Например, Джеффри Ирвинг из Института безопасности ИИ, один из первых предложил идею дебатов для проверки честности ИИ-систем, еще до того, как языковые модели получили широкую популярность. Вместе с Полом Кристиано и Дарио Амодей, который позже основал компанию Anthropic, он работал над тем, чтобы заставить модели спорить друг с другом, убеждая судью в своей правоте.
Первый практический эксперимент показал, что дебаты могут быть полезны. Моделям предлагалось обсудить, что изображено на картинке, где одна модель утверждала, что на ней изображена цифра 5, а другая — 6. Судья, основываясь на их аргументах, определял правду с 89%-ной точностью. Эти исследования показали, что дебаты между моделями могут повысить точность их ответов, но остаются проблемы, так как модели иногда уступают, чтобы угодить пользователю.
В 2023 году группа Anthropic провела эксперимент с отрывками из научно-фантастического рассказа, где модели предлагали ответы на вопросы по тексту и защищали свои позиции. Судьи, основываясь на дебатах, в 76% случаев выбирали правильный ответ, что намного выше, чем в тестах без обсуждения. Подобные результаты получила и команда Google DeepMind, экспериментировавшая с задачами, включая вопросы на понимание, вопросы по Википедии и даже математические задачи.
Хотя эмпирические данные подтверждают, что дебаты между моделями помогают оценивать точность их ответов, еще предстоит большая работа, прежде чем цифровые дебаты смогут стать устойчивым методом контроля. Важным аспектом остается вопрос, насколько результативность зависит от особенностей структуры аргументов. Например, модели могут склоняться к согласованию с последним словом. Ирвинг отмечает, что необходимо учитывать специфику задачи при дебатах, так как для разных целей могут требоваться различные подходы.
Эти исследования — шаг в правильном направлении, и Ирвинг надеется, что продолжение экспериментов принесет более устойчивые результаты.
Одним из предложенных решений стало взаимодействие двух крупных моделей, которые обсуждают вопрос, а третья модель или человек выбирает наиболее точный ответ. Этот подход, предложенный шесть лет назад, был впервые проверен на практике стартапом Anthropic в феврале и Google DeepMind в июле 2023 года. Результаты показали, что споры между моделями помогают наблюдателю, будь то человек или другая система, более точно оценивать истину. По мнению Майкла, это исследование открыло новые возможности, и его команда выяснила, что если обучать модели не просто взаимодействовать, а стремиться к победе в дебатах, судьи-неспециалисты точнее распознают правду.
Создание надежных систем ИИ является частью более масштабной задачи — согласования, чтобы ИИ-системы могли учитывать цели и ценности пользователей. Сегодня согласование осуществляется через обратную связь, но в будущем этого может быть недостаточно. Исследователи давно призывают к разработке «масштабируемого надзора», позволяющего контролировать сверхчеловеческие системы, решающие задачи, которые пользователю не под силу. Например, Джеффри Ирвинг из Института безопасности ИИ, один из первых предложил идею дебатов для проверки честности ИИ-систем, еще до того, как языковые модели получили широкую популярность. Вместе с Полом Кристиано и Дарио Амодей, который позже основал компанию Anthropic, он работал над тем, чтобы заставить модели спорить друг с другом, убеждая судью в своей правоте.
Первый практический эксперимент показал, что дебаты могут быть полезны. Моделям предлагалось обсудить, что изображено на картинке, где одна модель утверждала, что на ней изображена цифра 5, а другая — 6. Судья, основываясь на их аргументах, определял правду с 89%-ной точностью. Эти исследования показали, что дебаты между моделями могут повысить точность их ответов, но остаются проблемы, так как модели иногда уступают, чтобы угодить пользователю.
В 2023 году группа Anthropic провела эксперимент с отрывками из научно-фантастического рассказа, где модели предлагали ответы на вопросы по тексту и защищали свои позиции. Судьи, основываясь на дебатах, в 76% случаев выбирали правильный ответ, что намного выше, чем в тестах без обсуждения. Подобные результаты получила и команда Google DeepMind, экспериментировавшая с задачами, включая вопросы на понимание, вопросы по Википедии и даже математические задачи.
Хотя эмпирические данные подтверждают, что дебаты между моделями помогают оценивать точность их ответов, еще предстоит большая работа, прежде чем цифровые дебаты смогут стать устойчивым методом контроля. Важным аспектом остается вопрос, насколько результативность зависит от особенностей структуры аргументов. Например, модели могут склоняться к согласованию с последним словом. Ирвинг отмечает, что необходимо учитывать специфику задачи при дебатах, так как для разных целей могут требоваться различные подходы.
Эти исследования — шаг в правильном направлении, и Ирвинг надеется, что продолжение экспериментов принесет более устойчивые результаты.
Математика не для всех
15 Nov, 04:15
«Генри Уайтхед, увлечённый фермер-свиновод, утверждал, что черпает математическое вдохновение, почесывая спины своих свиней по часу каждый день»
Математика не для всех
13 Nov, 17:50
***
В дверь постучали 1000 раз. – 100 осьминогов и 5 сороконожек,– догадался Штирлиц. – Хаха! Не все решения,– догадались линейные диофантовы уравнения.
***
В дверь постучали 1000 раз. – 100 осьминогов и 5 сороконожек,– догадался Штирлиц. – Хаха! Не все решения,– догадались линейные диофантовы уравнения.
***
Математика не для всех
13 Nov, 05:19
13 ноября 1878 г. родился Макс Ден, немецкий математик, известный своими работами в области геометрии, топологии и геометрической теории групп. Первым (в 1900 г.) решил одну из проблем Гильберта (третью): всегда ли можно ли разрезать два многогранника равного объёма на одинаковые куски? Ответ на этот вопрос в статье Инвариант Дена.
Математика не для всех
11 Nov, 04:55
«Есть в математике нечто, вызывающее человеческий восторг!»
«Когда у нас нет женщины, которую можно любить, мы любим человечество, науку или вечность. Идеализм, который всегда отмечает отсутствие чего-то лучшего, есть заменитель эротизма».
8 ноября 1868 г. родился Феликс Хаусдорф — немецкий математик, один из основоположников современной топологии. Обогатил принципиально новыми идеями и подходами ряд областей математики. В теории множеств Хаусдорф полностью решил проблему мощности борелевых множеств, построил теорию меры в пространствах многих измерений, разработал теорию упорядоченных множеств. Хаусдорф является основателем общей топологии и общей теории метрических пространств, которые благодаря ему, особенно его теории топологических пространств, заняли центральное место в современной математике. Фундаментальные результаты получены Хаусдорфом также в математическом анализе, теории непрерывных групп, в теории чисел и других областях математической науки.
«Когда у нас нет женщины, которую можно любить, мы любим человечество, науку или вечность. Идеализм, который всегда отмечает отсутствие чего-то лучшего, есть заменитель эротизма».
8 ноября 1868 г. родился Феликс Хаусдорф — немецкий математик, один из основоположников современной топологии. Обогатил принципиально новыми идеями и подходами ряд областей математики. В теории множеств Хаусдорф полностью решил проблему мощности борелевых множеств, построил теорию меры в пространствах многих измерений, разработал теорию упорядоченных множеств. Хаусдорф является основателем общей топологии и общей теории метрических пространств, которые благодаря ему, особенно его теории топологических пространств, заняли центральное место в современной математике. Фундаментальные результаты получены Хаусдорфом также в математическом анализе, теории непрерывных групп, в теории чисел и других областях математической науки.
Математика не для всех
10 Nov, 08:16
В 1999 году один из самых известных примеров математических ошибок привел к краху межпланетного зонда Mars Climate Orbiter. Этот аппарат должен был изучать атмосферу Марса, но в момент выхода на орбиту исчез. Причина? Простое, но фатальное различие в единицах измерения. Команда в США использовала английские единицы (фунты), в то время как расчёты на борту шли в метрической системе (ньютон). Аппарат отклонился от курса и разрушился, так и не выполнив свою миссию. В результате ошибка обошлась NASA в 327 миллионов долларов. Эта история напоминает, насколько важна координация и точность в математике, особенно когда речь идет о космосе и миллионах километров.
Математика не для всех
08 Nov, 18:15
«Апология математика» Г.Х. Харди — это уникальный и, можно сказать, откровенный взгляд на природу математики глазами самого математика. Харди пишет не просто о цифрах и формулах, а о красоте, чистоте и даже «бессмысленности» своей науки, которая, как он считает, далека от практичности, но зато вечна и абсолютно свободна. Его мысли порой кажутся парадоксальными: Харди уверен, что настоящая математика не приносит пользы — её величие именно в этом. Он словно приглашает читателя взглянуть на математику как на искусство, где эстетика и интеллектуальная честность стоят выше всех прикладных задач. Это размышления человека, для которого математика стала смыслом жизни, почти религией, и его искренние рассуждения бросают вызов привычным представлениям о науке.
Математика не для всех
08 Nov, 15:01
Какие ключевые приоритеты нового бюджета на 2025–2027 годы обозначил Минфин? 💼📊
Социальная реклама https://minfin.gov.ru/ru/ministry/
Социальная реклама https://minfin.gov.ru/ru/ministry/
Математика не для всех
08 Nov, 11:15
Минутка полезности. Если сталкиваетесь со статьей, недоступной из-за PayWall, Вы всегда можете попробовать найти её в открытом доступе на ресурсе по ссылке. Очень классно работает для статей до 2020 года. Чтобы воспользоваться сервисом нужен только DOI.
https://sci-hub.ru/
https://sci-hub.ru/
Математика не для всех
08 Nov, 04:15
Математик и эрудит Джон фон Нейман к шести годам говорил на восьми языках, включая древнегреческий и латынь. В шесть лет он мог в уме делить восьмизначные числа. К восьми годам он уже знал дифференциальное и интегральное исчисление. В 15 лет он поступил в Будапештский университет, а в 19 лет получил диплом инженера-химика. В 22 года он получил докторскую степень по математике в Берлинском университете.
Математика не для всех
07 Nov, 11:01
Скоро экзамены, а вы хорошо разбираетесь в математике? Тогда торопитесь!
Скоро закончится олимпиада по криптографии имени Верченко! Это отличный шанс проверить свои знания и...поступить в вуз без экзаменов! Именно такой приз ждёт победителей и призёров олимпиады.⚡️Скорее регистрируйтесь!
Отборочный этап проходит онлайн, поэтому можно участвовать из любого города.
📌 А если хотите побольше узнать про криптографию, то подписывайтесь на секретный канал ЭКСКУРСИЯ В КРИПТОГРАФИЮ! Там вы узнаете про российские криптоалгоритмы «Магма» и «Кузнечик» , а ещё сможете зашифровать фразу шифром Цезаря! Подписывайтесь!
Реклама АО НПК «Криптонит» ИНН 9701115253 Erid: 2VtzqvtYZvM
Скоро закончится олимпиада по криптографии имени Верченко! Это отличный шанс проверить свои знания и...поступить в вуз без экзаменов! Именно такой приз ждёт победителей и призёров олимпиады.⚡️Скорее регистрируйтесь!
Отборочный этап проходит онлайн, поэтому можно участвовать из любого города.
Реклама АО НПК «Криптонит» ИНН 9701115253 Erid: 2VtzqvtYZvM
Математика не для всех
07 Nov, 09:01
В конце XVIII века Англия и Франция запустили масштабный проект для точного измерения расстояния между Парижем и Гринвичем, желая установить более точный нулевой меридиан. Однако результат привел к неожиданной математической неразберихе. В 1785 году британский астроном Невил Маскелайн отправил своего помощника Джозефа Линдли на «хронометрическую экспедицию» в Париж с несколькими тщательно настроенными часами. Они должны были подтвердить разницу во времени между Парижем и Гринвичем, а значит, и долготу последнего. Линдли зафиксировал разницу в 9 минут 20 секунд, совпадающую с расчётами Маскелайна, что публиковались несколькими годами ранее.
Однако триангуляция Роя — метод, основанный на геометрии треугольников, показала иную картину. Точность, которой добивались, оказалась под угрозой: даже незначительные погрешности в расчетах или искажениях атмосферы могли исказить результаты. Лишь через десятилетия и новые измерения установили, что Гринвичский меридиан имеет расхождение около 8 метров к востоку от первоначально рассчитанного.
Однако триангуляция Роя — метод, основанный на геометрии треугольников, показала иную картину. Точность, которой добивались, оказалась под угрозой: даже незначительные погрешности в расчетах или искажениях атмосферы могли исказить результаты. Лишь через десятилетия и новые измерения установили, что Гринвичский меридиан имеет расхождение около 8 метров к востоку от первоначально рассчитанного.
Математика не для всех
07 Nov, 07:00
Математик Джон Нэш боролся с шизофренией. Его жизнь, отмеченная блестящими научными достижениями и борьбой с психическим заболеванием, была показана в биографическом фильме «Игры разума».
Конечно, не обошлось без кинематографических вольностей. Например, в фильме показано, как Нэш видит галлюцинации и разговаривает с воображаемыми людьми, включая друга по колледжу и агентов, что стало главным визуальным элементом сюжета.
Однако в реальности Нэш не имел зрительных галлюцинаций, а его психическое заболевание проявлялось в виде параноидальных идей и навязчивых мыслей. Он верил, что его преследуют спецслужбы, но «живых» иллюзий у него не было
Конечно, не обошлось без кинематографических вольностей. Например, в фильме показано, как Нэш видит галлюцинации и разговаривает с воображаемыми людьми, включая друга по колледжу и агентов, что стало главным визуальным элементом сюжета.
Однако в реальности Нэш не имел зрительных галлюцинаций, а его психическое заболевание проявлялось в виде параноидальных идей и навязчивых мыслей. Он верил, что его преследуют спецслужбы, но «живых» иллюзий у него не было
Математика не для всех
02 Nov, 15:32
Формально-логический метод недооценён при решении логических задач. В заметке описано применение разновидности этого метода — на основе полиномов Жегалкина.
Приведём ещё примеры решения задач, использующих классические логические операторы.
Задача 1. Кот Василий охотился на трёх мышей — Иви, Пусю и Симу. Известно, что если он не поймал Иви или поймал Пусю, то поймал Симу. А если не поймал Иви, то Симу тоже не поймал. Кого из мышей наверняка поймал Василий?
Решение. Обозначим высказывания:
I — «Кот поймал Иви»;
P — «Кот поймал Пусю»;
S — «Кот поймал Симу».
Условию задачи соответствует следующая функция:
F = (¬I˅P ⇒ S) & ( ¬I ⇒ ¬S) =
= (¬(¬I˅P) ˅ S) & (I ˅ ¬S) =
= (I&¬P ˅ S) & (I ˅ ¬S) =
= I&¬P ˅ I&S ˅ I&¬P&¬S ˅ 0 =
= I&¬P ˅ I&S =
= I & (¬P˅S).
Необходимым условием F = 1 является I =1 — наверняка кот поймал Иви.
Задача 2. На вопрос, какая завтра будет погода, синоптик ответил:
Если не будет ветра, то будет пасмурная погода без дождя.
Если будет дождь, то будет пасмурно и без ветра.
Если будет пасмурная погода, то будет дождь и не будет ветра.
Так какая же погода будет завтра?
Решение. Выделим простые высказывания и запишем их через переменные:
A – «Ветра нет»,
B – «Пасмурно»,
С – «Дождь».
Запишем логические функции через введенные переменные:
Если не будет ветра, то будет пасмурная погода без дождя: A ⇒ B & C.
Если будет дождь, то будет пасмурно и без ветра: С ⇒ B & A.
Если будет пасмурная погода, то будет дождь и не будет ветра: B ⇒ C & А.
Запишем произведение указанных функций:
F = (A ⇒ B&C) & (C ⇒ B&A) & (B ⇒ C&A).
Упростим формулу:
F = (¬A ˅ B&¬C) & (¬C ˅ B&A) & (¬B ˅ C&A) =
= (¬A ˅ B&¬C) & (¬B ˅ C&A) & (¬C ˅ B&A) =
= (¬A&¬B ˅ B&¬C&¬B ˅ ¬A&C&A ˅ B&¬C&C&A) & (¬C ˅ B&A) =
= ¬A&¬B & (¬C ˅ B&A) =
= ¬A&¬B&¬C ˅ ¬A&¬B&B&A =
= ¬A&¬B&¬C.
Приравняем результат единице, т.к. наше выражение должно быть истинным: F = ¬A&¬B&¬C = 1,
отсюда получаем: ¬A = 1; ¬B = 1; ¬C = 1, т.е. A = 0; B = 0; C = 0;
Таким образом, погода будет ясная, без дождя, но ветреная.
Приведём ещё примеры решения задач, использующих классические логические операторы.
Задача 1. Кот Василий охотился на трёх мышей — Иви, Пусю и Симу. Известно, что если он не поймал Иви или поймал Пусю, то поймал Симу. А если не поймал Иви, то Симу тоже не поймал. Кого из мышей наверняка поймал Василий?
Решение. Обозначим высказывания:
I — «Кот поймал Иви»;
P — «Кот поймал Пусю»;
S — «Кот поймал Симу».
Условию задачи соответствует следующая функция:
F = (¬I˅P ⇒ S) & ( ¬I ⇒ ¬S) =
= (¬(¬I˅P) ˅ S) & (I ˅ ¬S) =
= (I&¬P ˅ S) & (I ˅ ¬S) =
= I&¬P ˅ I&S ˅ I&¬P&¬S ˅ 0 =
= I&¬P ˅ I&S =
= I & (¬P˅S).
Необходимым условием F = 1 является I =1 — наверняка кот поймал Иви.
Задача 2. На вопрос, какая завтра будет погода, синоптик ответил:
Если не будет ветра, то будет пасмурная погода без дождя.
Если будет дождь, то будет пасмурно и без ветра.
Если будет пасмурная погода, то будет дождь и не будет ветра.
Так какая же погода будет завтра?
Решение. Выделим простые высказывания и запишем их через переменные:
A – «Ветра нет»,
B – «Пасмурно»,
С – «Дождь».
Запишем логические функции через введенные переменные:
Если не будет ветра, то будет пасмурная погода без дождя: A ⇒ B & C.
Если будет дождь, то будет пасмурно и без ветра: С ⇒ B & A.
Если будет пасмурная погода, то будет дождь и не будет ветра: B ⇒ C & А.
Запишем произведение указанных функций:
F = (A ⇒ B&C) & (C ⇒ B&A) & (B ⇒ C&A).
Упростим формулу:
F = (¬A ˅ B&¬C) & (¬C ˅ B&A) & (¬B ˅ C&A) =
= (¬A ˅ B&¬C) & (¬B ˅ C&A) & (¬C ˅ B&A) =
= (¬A&¬B ˅ B&¬C&¬B ˅ ¬A&C&A ˅ B&¬C&C&A) & (¬C ˅ B&A) =
= ¬A&¬B & (¬C ˅ B&A) =
= ¬A&¬B&¬C ˅ ¬A&¬B&B&A =
= ¬A&¬B&¬C.
Приравняем результат единице, т.к. наше выражение должно быть истинным: F = ¬A&¬B&¬C = 1,
отсюда получаем: ¬A = 1; ¬B = 1; ¬C = 1, т.е. A = 0; B = 0; C = 0;
Таким образом, погода будет ясная, без дождя, но ветреная.
Математика не для всех
02 Nov, 15:32
Жена Джорджа Буля Мэри Эверест являлась племянницей географа Джорджа Эвереста, генерал-инспектора Индии; за вклад в картографию в его честь названа высочайшая вершина земного шара.
У Джоржда Буля было пять дочерей:
Алисия специализировалась в исследовании многомерных пространств и получила почётную учёную степень в Гронингенском университете;
Люси стала первой в Англии женщиной-профессором, возглавившей кафедру химии;
Мэри вышла замуж за Чарльза Хинтона — математика, изобретателя, писателя-фантаста, автора повести «Случай в Флатландии», где описаны существа, живущие в плоском двухмерном мире;
Маргарет вошла в историю как мать крупного английского математика и механика Джеффри Тэйлора;
Этель Лилиан вышла замуж за учёного М.-В. Войнича, она написала прославивший её роман «Овод».
У Джоржда Буля было пять дочерей:
Алисия специализировалась в исследовании многомерных пространств и получила почётную учёную степень в Гронингенском университете;
Люси стала первой в Англии женщиной-профессором, возглавившей кафедру химии;
Мэри вышла замуж за Чарльза Хинтона — математика, изобретателя, писателя-фантаста, автора повести «Случай в Флатландии», где описаны существа, живущие в плоском двухмерном мире;
Маргарет вошла в историю как мать крупного английского математика и механика Джеффри Тэйлора;
Этель Лилиан вышла замуж за учёного М.-В. Войнича, она написала прославивший её роман «Овод».
Математика не для всех
02 Nov, 15:32
«Целью настоящего трактата является исследование фундаментальных законов тех операций ума, посредством которых осуществляется рассуждение; выражение их на символическом языке исчисления и на этой основе установление науки логики и построение её метода».
2 ноября 1815 г. родился Джордж Буль, английский математик-самоучка, основатель математической логики.
Свои математические исследования Джордж Буль начал с разработки операторных методов анализа, т.е. применения методов обычной алгебры к теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Однако главной его целью было не нахождение удобных методов применения алгебры к конкретным разделам математики, а изложение на языке алгебры процесса мышления. Как Ньютон открыл законы природы, так Буль нашёл законы разума. Можно сказать, что он создал формальные правила, которым подчиняется искусственный интеллект. Буль не считал логику разделом математики, но находил глубокую аналогию между символическим методом алгебры и символическим методом представления логических форм и силлогизмов. Он показал, что символика такого рода подчиняется тем же законам, что и алгебраическая, из чего следовало, что их можно складывать, вычитать, умножать и даже делить. В такой символике высказывания могут быть сведены к форме уравнений, а заключение из двух посылок силлогизма — получено путём исключения среднего термина по обычным алгебраическим правилам. Буль показал, как из любого числа высказываний, включающих любое число терминов, вывести любое заключение, следующее из этих высказываний, путём чисто символических манипуляций.
Его алгебра логики, называемая булевой алгеброй, — основополагающая для проектирования современных цифровых схем. Работы Буля воплотились в приложениях, которые он никогда бы и представить себе не смог.
2 ноября 1815 г. родился Джордж Буль, английский математик-самоучка, основатель математической логики.
Свои математические исследования Джордж Буль начал с разработки операторных методов анализа, т.е. применения методов обычной алгебры к теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Однако главной его целью было не нахождение удобных методов применения алгебры к конкретным разделам математики, а изложение на языке алгебры процесса мышления. Как Ньютон открыл законы природы, так Буль нашёл законы разума. Можно сказать, что он создал формальные правила, которым подчиняется искусственный интеллект. Буль не считал логику разделом математики, но находил глубокую аналогию между символическим методом алгебры и символическим методом представления логических форм и силлогизмов. Он показал, что символика такого рода подчиняется тем же законам, что и алгебраическая, из чего следовало, что их можно складывать, вычитать, умножать и даже делить. В такой символике высказывания могут быть сведены к форме уравнений, а заключение из двух посылок силлогизма — получено путём исключения среднего термина по обычным алгебраическим правилам. Буль показал, как из любого числа высказываний, включающих любое число терминов, вывести любое заключение, следующее из этих высказываний, путём чисто символических манипуляций.
Его алгебра логики, называемая булевой алгеброй, — основополагающая для проектирования современных цифровых схем. Работы Буля воплотились в приложениях, которые он никогда бы и представить себе не смог.
Математика не для всех
25 Oct, 13:10
25 октября 1811 г. родился Эварист Галуа — французский математик, основоположник современной высшей алгебры. Радикальный революционер-республиканец, был застрелен на дуэли в возрасте двадцати лет.
За 4 года занятий математикой Галуа успел сделать открытия, ставящие его на уровень крупнейших математиков XIX века. Галуа исследовал проблему нахождения общего решения уравнения произвольной степени, то есть задачу, как выразить его корни через коэффициенты, используя только арифметические действия и радикалы.
Нильс Абель несколькими годами ранее доказал, что для уравнений степени 5 и выше решение «в радикалах» невозможно; однако Галуа продвинулся намного дальше. Он нашёл необходимое и достаточное условие для того, чтобы корни уравнения допускали выражение через радикалы.
Но наиболее ценным был даже не этот результат, а те методы, с помощью которых Галуа удалось его получить. Решая эти задачи, он заложил основы современной алгебры, вышел на такие фундаментальные понятия, как группа (Галуа первым использовал этот термин, активно изучая симметрические группы) и поле.
Непреходящее значение работ Галуа состоит в осознании того, что идея симметрии, связывавшаяся ранее исключительно с геометрией, на самом деле играет фундаментальную роль во всей математике и вообще в естествознании.
Эварист Галуа — тот, без кого невозможно представить себе современную математику.
За 4 года занятий математикой Галуа успел сделать открытия, ставящие его на уровень крупнейших математиков XIX века. Галуа исследовал проблему нахождения общего решения уравнения произвольной степени, то есть задачу, как выразить его корни через коэффициенты, используя только арифметические действия и радикалы.
Нильс Абель несколькими годами ранее доказал, что для уравнений степени 5 и выше решение «в радикалах» невозможно; однако Галуа продвинулся намного дальше. Он нашёл необходимое и достаточное условие для того, чтобы корни уравнения допускали выражение через радикалы.
Но наиболее ценным был даже не этот результат, а те методы, с помощью которых Галуа удалось его получить. Решая эти задачи, он заложил основы современной алгебры, вышел на такие фундаментальные понятия, как группа (Галуа первым использовал этот термин, активно изучая симметрические группы) и поле.
Непреходящее значение работ Галуа состоит в осознании того, что идея симметрии, связывавшаяся ранее исключительно с геометрией, на самом деле играет фундаментальную роль во всей математике и вообще в естествознании.
Эварист Галуа — тот, без кого невозможно представить себе современную математику.
Математика не для всех
25 Oct, 13:10
Это самая поразительная биография, которую знает история математики. Ей посвящена небольшая, но очень пронзительная книга Анри Дальма «Эварист Галуа — революционер и математик».
Отрывок из книги — два письма Галуа, написанные им накануне роковой дуэли.
«Я прошу всех моих друзей-патриотов не упрекать меня за то, что я отдаю жизнь не на благо своей страны. Я умираю жертвой подлой кокетки. Мою жизнь гасит жалкая сплетня.
О! Почему приходится умирать из-за такого пустяка, умирать ради того, что так презираешь!
Беру в свидетели небо, что я всеми способами пытался отклонить вызов и принял его лишь по принуждению!
Я раскаиваюсь, что сказал роковую истину людям, так мало способным выслушать её хладнокровно. Но, в конце концов, я сказал правду. Я уношу в могилу совесть, не запятнанную ложью.
Я отдал немалую толику своей жизни для общего блага.
Не вините тех, кто убил меня. Они были искренни».
«Дорогие друзья!
Меня вызвали два патриота… Я не мог отказаться. Простите, что я не дал знать никому из Вас. Противники взяли с меня честное слово, что я не предупрежу никого из патриотов.
Ваша задача очень проста: Вам надо подтвердить, что я дрался против воли, т.е. после того, как были исчерпаны все средства мирно уладить дело, и что я не способен лгать даже в таком пустяке, о котором шла речь.
Не забывайте меня! Ведь судьба не дала мне прожить столько, чтобы моё имя узнала родина.
Я умираю Вашим другом».
Отрывок из книги — два письма Галуа, написанные им накануне роковой дуэли.
«Я прошу всех моих друзей-патриотов не упрекать меня за то, что я отдаю жизнь не на благо своей страны. Я умираю жертвой подлой кокетки. Мою жизнь гасит жалкая сплетня.
О! Почему приходится умирать из-за такого пустяка, умирать ради того, что так презираешь!
Беру в свидетели небо, что я всеми способами пытался отклонить вызов и принял его лишь по принуждению!
Я раскаиваюсь, что сказал роковую истину людям, так мало способным выслушать её хладнокровно. Но, в конце концов, я сказал правду. Я уношу в могилу совесть, не запятнанную ложью.
Я отдал немалую толику своей жизни для общего блага.
Не вините тех, кто убил меня. Они были искренни».
«Дорогие друзья!
Меня вызвали два патриота… Я не мог отказаться. Простите, что я не дал знать никому из Вас. Противники взяли с меня честное слово, что я не предупрежу никого из патриотов.
Ваша задача очень проста: Вам надо подтвердить, что я дрался против воли, т.е. после того, как были исчерпаны все средства мирно уладить дело, и что я не способен лгать даже в таком пустяке, о котором шла речь.
Не забывайте меня! Ведь судьба не дала мне прожить столько, чтобы моё имя узнала родина.
Я умираю Вашим другом».
Математика не для всех
23 Oct, 04:11
На выборах губернатора Джорджии в 2020 году избиратели в Атланте сталкивались с огромными очередями, некоторые ждали более 10 часов, чтобы проголосовать. Одной из причин этого стала массовая волна закрытия избирательных участков в штате. За предыдущие семь лет почти 10% участков были закрыты, хотя количество зарегистрированных избирателей увеличилось на 2 миллиона. Эти закрытия происходили главным образом в районах с преобладающим чернокожим населением, которое, как правило, поддерживало Демократическую партию.
Сложность проблемы «пустынных избирательных участков» заключается в том, что она не ограничивается лишь длинными очередями, которые могут возникать по различным причинам, включая нехватку помещений. В некоторых случаях основным затруднением является удаленность ближайшего участка. Эти факторы делают задачу анализа доступности участков сложной.
Математики, включая Мейсона Портера из Калифорнийского университета в Лос-Анджелесе, начали использовать инструменты топологии для анализа проблемы. В работе, которая будет опубликована в журнале SIAM Review, они предложили метод, позволяющий выявить области с труднодоступными участками. Идея возникла у Эбигейл Хикок, одной из соавторов, когда она увидела фотографии огромных очередей на выборах в Атланте. Она отметила, что думала о голосовании особенно много в свете повышенной напряженности на выборах.
Топологи исследуют пространственные свойства геометрических фигур и их изменения. Несмотря на то что их методы традиционно применяются для непрерывных форм, их адаптировали для работы с дискретными данными, такими как расположение избирательных участков. Они создают графы, соединяя точки линиями, и анализируют эти графы, чтобы лучше понять доступность участков. Эти методы, по словам Хикок, также можно использовать для изучения распределения доступа к больницам и другим важным объектам.
Основная идея заключается в том, что на графе вокруг каждой точки можно рисовать круги, символизирующие время ожидания на участке. Круги начинают увеличиваться по мере роста времени ожидания. Те точки, где время ожидания больше, будут иметь меньшие круги, а точки с меньшим временем ожидания — большие. Когда круги пересекаются, между их центрами проводят линии, соединяя их в геометрические фигуры, называемые симплексами. Эти симплексы помогают выявить «пустоты» на карте — места, где жители сталкиваются с самыми большими трудностями при попытке проголосовать.
Исследователи смогли определить медианное время «смерти» этих пустот, что отражает доступность участков в разных городах. Высокая медианная величина указывает на проблемы с доступом, а высокая дисперсия — на неравномерное распределение участков. Наиболее проблемные районы, как выяснили исследователи, находятся в районе Большого Атлантского мегаполиса, где такие города, как Саут-Фултон и Клифтондейл, сталкиваются с особенно значительными трудностями.
Мейсон Портер отметил, что для более точного анализа нужны более детализированные данные о времени ожидания на каждом участке. Однако, несмотря на ограничения данных, использованных в исследовании, которое оперировало усредненными показателями по округам, группа смогла получить полезные выводы. Чад Топаз, математик, не участвовавший в исследовании, выразил восхищение тем, сколько удалось узнать, даже без учета индивидуальной доступности для каждого избирателя.
Портер также обратил внимание на успехи, достигнутые в области количественного анализа джерримендеринга — намеренной манипуляции границами избирательных округов. Он видит потенциал для дальнейшего применения математических методов для решения проблем, связанных с доступностью избирательных участков, и надеется, что больше математиков заинтересуются этой темой.
Сложность проблемы «пустынных избирательных участков» заключается в том, что она не ограничивается лишь длинными очередями, которые могут возникать по различным причинам, включая нехватку помещений. В некоторых случаях основным затруднением является удаленность ближайшего участка. Эти факторы делают задачу анализа доступности участков сложной.
Математики, включая Мейсона Портера из Калифорнийского университета в Лос-Анджелесе, начали использовать инструменты топологии для анализа проблемы. В работе, которая будет опубликована в журнале SIAM Review, они предложили метод, позволяющий выявить области с труднодоступными участками. Идея возникла у Эбигейл Хикок, одной из соавторов, когда она увидела фотографии огромных очередей на выборах в Атланте. Она отметила, что думала о голосовании особенно много в свете повышенной напряженности на выборах.
Топологи исследуют пространственные свойства геометрических фигур и их изменения. Несмотря на то что их методы традиционно применяются для непрерывных форм, их адаптировали для работы с дискретными данными, такими как расположение избирательных участков. Они создают графы, соединяя точки линиями, и анализируют эти графы, чтобы лучше понять доступность участков. Эти методы, по словам Хикок, также можно использовать для изучения распределения доступа к больницам и другим важным объектам.
Основная идея заключается в том, что на графе вокруг каждой точки можно рисовать круги, символизирующие время ожидания на участке. Круги начинают увеличиваться по мере роста времени ожидания. Те точки, где время ожидания больше, будут иметь меньшие круги, а точки с меньшим временем ожидания — большие. Когда круги пересекаются, между их центрами проводят линии, соединяя их в геометрические фигуры, называемые симплексами. Эти симплексы помогают выявить «пустоты» на карте — места, где жители сталкиваются с самыми большими трудностями при попытке проголосовать.
Исследователи смогли определить медианное время «смерти» этих пустот, что отражает доступность участков в разных городах. Высокая медианная величина указывает на проблемы с доступом, а высокая дисперсия — на неравномерное распределение участков. Наиболее проблемные районы, как выяснили исследователи, находятся в районе Большого Атлантского мегаполиса, где такие города, как Саут-Фултон и Клифтондейл, сталкиваются с особенно значительными трудностями.
Мейсон Портер отметил, что для более точного анализа нужны более детализированные данные о времени ожидания на каждом участке. Однако, несмотря на ограничения данных, использованных в исследовании, которое оперировало усредненными показателями по округам, группа смогла получить полезные выводы. Чад Топаз, математик, не участвовавший в исследовании, выразил восхищение тем, сколько удалось узнать, даже без учета индивидуальной доступности для каждого избирателя.
Портер также обратил внимание на успехи, достигнутые в области количественного анализа джерримендеринга — намеренной манипуляции границами избирательных округов. Он видит потенциал для дальнейшего применения математических методов для решения проблем, связанных с доступностью избирательных участков, и надеется, что больше математиков заинтересуются этой темой.
Математика не для всех
22 Oct, 19:39
Внутри храма Чатурбхудж в Индии (слева) на настенной надписи изображён самый древний из известных примеров использования цифры ноль, датируемый 876 годом н. э. (справа). Ноль является частью числа 270.
Математика не для всех
22 Oct, 16:40
В Интернете заработал сайт «Лекторий МИФИ» - открытая база видеозаписей лекций и семинаров от преподавателей нашего университета.
Аудитория «Лектория МИФИ» в настоящее время насчитывает более 300 тысяч уникальных пользователей.
У «Лектория МИФИ» также есть свой
Математика не для всех
21 Oct, 13:20
2¹³⁶²⁷⁹⁸⁴¹−1, обнаруженное сегодня, является самым большим известным простым числом. Программному обеспечению GIMPS потребовалось почти 6 лет, чтобы найти его после предыдущего самого большого известного простого числа. Это также первое простое число Мерсенна, найденное с помощью графических процессоров.
Математика не для всех
21 Oct, 05:35
В июне 1974 года Гарднер опубликовал в журнале Scientific American в своей колонке "Математические игры" пародию на псевдонаучную статью, в которой рассказал о совершенно невероятных свойствах пирамид. Речь шла о том, что внутри пирамидальных конструкций происходят удивительные процессы: лезвия самозатачиваются, бактерии и грибки погибают, процесс старения останавливается, происходят исцеления...
Не разобравшись в пародийности этой статьи по всему миру начали строить пирамиды, которые «гармонизируют структуру окружающего пространства». Строили их у нас. Самая известная — пирамида инженера А.Е. Голода на 38-м километре Новорижского шоссе (высота пирамиды 44 метра, вес сооружения превышает 55 тонн, стоимость строительства более 1 миллиона долларов) была построена в 1999 г. и разрушена ураганом в 2017 г., но в том же году восстановлена в уменьшенном в 3 раза размере.
На уловки проходимцев, раскрутивших шуточную идею Гарднера, купился и "Газпром" — его управляющие поверили словам мошенников о чудодейственных свойствах пирамид по уменьшению на 30% вязкости нефти в местах их установки и начали строить пирамиды на месторождениях нефти и газа.
Не разобравшись в пародийности этой статьи по всему миру начали строить пирамиды, которые «гармонизируют структуру окружающего пространства». Строили их у нас. Самая известная — пирамида инженера А.Е. Голода на 38-м километре Новорижского шоссе (высота пирамиды 44 метра, вес сооружения превышает 55 тонн, стоимость строительства более 1 миллиона долларов) была построена в 1999 г. и разрушена ураганом в 2017 г., но в том же году восстановлена в уменьшенном в 3 раза размере.
На уловки проходимцев, раскрутивших шуточную идею Гарднера, купился и "Газпром" — его управляющие поверили словам мошенников о чудодейственных свойствах пирамид по уменьшению на 30% вязкости нефти в местах их установки и начали строить пирамиды на месторождениях нефти и газа.
Математика не для всех
18 Oct, 07:59
Теперь в китайских школах выбор ученика, которого вызывают к доске для ответа, может делать нейросеть. Искусственный интеллект анализирует эмоции, выражение лиц и поведение школьников, чтобы определить тех, кто может быть плохо подготовлен.
Математика не для всех
17 Oct, 12:01
Задача трёх тел — одна из самых сложных проблем в физике и математике, изучающая движение трёх объектов под воздействием гравитации друг друга. Если движение двух тел, как, например, планеты вокруг звезды, можно описать относительно простыми уравнениями, то при добавлении третьего объекта расчёты становятся значительно сложнее. Это происходит из-за того, что каждый из объектов воздействует на остальные, и предсказать их стабильные орбиты становится чрезвычайно сложно. Эта задача не имеет универсального решения, так как существует множество возможных орбит, которые удовлетворяют законам физики для трёх тел.
Недавно международная группа математиков объявила о значительном прорыве в этом направлении — они обнаружили 12 000 новых решений задачи трёх тел, что является важным дополнением к сотням уже известных решений. Эти результаты были опубликованы в форме препринта на платформе arXiv, что означает, что они ещё не прошли рецензирование со стороны других учёных.
Проблема трёх тел остаётся предметом интенсивных исследований с момента, как Исаак Ньютон в XVII веке сформулировал свои законы движения. На протяжении столетий учёные пытались найти решения этой задачи, однако все они сталкивались с трудностями из-за сложности взаимодействий трёх тел. Если орбита нашей планеты вокруг Солнца относительно проста и предсказуема, то орбиты в задаче трёх тел могут быть крайне сложными и хаотичными. Они часто принимают необычные формы — искривлённые, напоминающие узоры вроде кренделей и каракуль. Недавно найденные 12 000 орбит не являются исключением: три объекта, начиная с нулевой скорости, под действием гравитации притягиваются друг к другу и движутся по сложным траекториям, снова и снова сближаясь и удаляясь.
Ведущий автор исследования, Иван Христов из Софийского университета, рассказал в интервью журналу New Scientist, что эти новые орбиты обладают очень красивой пространственной и временной структурой. Для их поиска была использована вычислительная мощь суперкомпьютеров, и, по словам Христова, с развитием технологий можно будет открыть ещё больше таких решений. Учёные считают, что с помощью более продвинутых вычислительных методов возможно обнаружить ещё как минимум в пять раз больше новых решений.
Хотя теория предсказывает стабильные орбиты в этих моделях, важно отметить, что реальная ситуация во Вселенной гораздо сложнее. Системы из трёх тел встречаются довольно часто: существуют звёздные системы с несколькими планетами или даже звёздами, вращающимися друг вокруг друга. Однако для того, чтобы новые орбитальные решения оказались применимыми к реальным системам, они должны быть устойчивыми и сохранять стабильность при воздействии множества дополнительных факторов, таких как взаимодействия с другими объектами и силами, присутствующими в реальных астрофизических системах.
Таким образом, хотя эти теоретические результаты могут оказаться полезными для астрономов, изучающих сложные системы планет и звёзд, остаётся важный вопрос: смогут ли эти орбиты выдержать условия реальной Вселенной?
Препринт статьи: https://arxiv.org/pdf/2308.16159
Недавно международная группа математиков объявила о значительном прорыве в этом направлении — они обнаружили 12 000 новых решений задачи трёх тел, что является важным дополнением к сотням уже известных решений. Эти результаты были опубликованы в форме препринта на платформе arXiv, что означает, что они ещё не прошли рецензирование со стороны других учёных.
Проблема трёх тел остаётся предметом интенсивных исследований с момента, как Исаак Ньютон в XVII веке сформулировал свои законы движения. На протяжении столетий учёные пытались найти решения этой задачи, однако все они сталкивались с трудностями из-за сложности взаимодействий трёх тел. Если орбита нашей планеты вокруг Солнца относительно проста и предсказуема, то орбиты в задаче трёх тел могут быть крайне сложными и хаотичными. Они часто принимают необычные формы — искривлённые, напоминающие узоры вроде кренделей и каракуль. Недавно найденные 12 000 орбит не являются исключением: три объекта, начиная с нулевой скорости, под действием гравитации притягиваются друг к другу и движутся по сложным траекториям, снова и снова сближаясь и удаляясь.
Ведущий автор исследования, Иван Христов из Софийского университета, рассказал в интервью журналу New Scientist, что эти новые орбиты обладают очень красивой пространственной и временной структурой. Для их поиска была использована вычислительная мощь суперкомпьютеров, и, по словам Христова, с развитием технологий можно будет открыть ещё больше таких решений. Учёные считают, что с помощью более продвинутых вычислительных методов возможно обнаружить ещё как минимум в пять раз больше новых решений.
Хотя теория предсказывает стабильные орбиты в этих моделях, важно отметить, что реальная ситуация во Вселенной гораздо сложнее. Системы из трёх тел встречаются довольно часто: существуют звёздные системы с несколькими планетами или даже звёздами, вращающимися друг вокруг друга. Однако для того, чтобы новые орбитальные решения оказались применимыми к реальным системам, они должны быть устойчивыми и сохранять стабильность при воздействии множества дополнительных факторов, таких как взаимодействия с другими объектами и силами, присутствующими в реальных астрофизических системах.
Таким образом, хотя эти теоретические результаты могут оказаться полезными для астрономов, изучающих сложные системы планет и звёзд, остаётся важный вопрос: смогут ли эти орбиты выдержать условия реальной Вселенной?
Препринт статьи: https://arxiv.org/pdf/2308.16159
Математика не для всех
16 Oct, 21:54
📐 Математика ожидания: где встать, чтобы быстрее добраться до лифта?
Представьте три лифта, расположенные вдоль стены, но неравномерно. Вопрос: где нужно встать, чтобы минимизировать ожидаемое расстояние до первого прибывшего лифта?
💡 Многие ошибочно считают, что лучше встать в среднем положении между лифтами, чтобы минимизировать среднее расстояние до любого из них. Однако, это на самом деле минимизирует среднеквадратичное расстояние — не то, что нам нужно! Для минимизации среднего расстояния правильная точка — это медиана расположения лифтов.
Почему медиана, а не среднее?
Представьте, что лифты стоят неравномерно. Если встать перед вторым лифтом, то любое движение влево или вправо увеличит среднее расстояние до всех лифтов.
Если вы сдвинетесь влево к первому лифту, то сократите расстояние до него, но увеличите расстояние до второго и третьего.
Если сдвинетесь вправо, аналогично уменьшите расстояние до третьего лифта, но увеличите до первых двух.
Таким образом, находясь в медианном положении, среднее расстояние до ближайшего лифта будет минимальным, и любое движение только увеличит его.
А если минимизировать наихудший случай?
Если задача — не минимизировать среднее расстояние, а минимизировать максимальное расстояние до любого из лифтов, то правильнее встать посередине между крайними лифтами. Это точка, где максимальное расстояние до любого лифта будет минимальным.
Итог:
Чтобы минимизировать среднее расстояние до первого лифта, встаньте в медиану — перед вторым лифтом.
Чтобы минимизировать максимальное расстояние (наихудший вариант), встаньте на полпути между крайними лифтами.
Представьте три лифта, расположенные вдоль стены, но неравномерно. Вопрос: где нужно встать, чтобы минимизировать ожидаемое расстояние до первого прибывшего лифта?
💡 Многие ошибочно считают, что лучше встать в среднем положении между лифтами, чтобы минимизировать среднее расстояние до любого из них. Однако, это на самом деле минимизирует среднеквадратичное расстояние — не то, что нам нужно! Для минимизации среднего расстояния правильная точка — это медиана расположения лифтов.
Почему медиана, а не среднее?
Представьте, что лифты стоят неравномерно. Если встать перед вторым лифтом, то любое движение влево или вправо увеличит среднее расстояние до всех лифтов.
Если вы сдвинетесь влево к первому лифту, то сократите расстояние до него, но увеличите расстояние до второго и третьего.
Если сдвинетесь вправо, аналогично уменьшите расстояние до третьего лифта, но увеличите до первых двух.
Таким образом, находясь в медианном положении, среднее расстояние до ближайшего лифта будет минимальным, и любое движение только увеличит его.
А если минимизировать наихудший случай?
Если задача — не минимизировать среднее расстояние, а минимизировать максимальное расстояние до любого из лифтов, то правильнее встать посередине между крайними лифтами. Это точка, где максимальное расстояние до любого лифта будет минимальным.
Итог:
Чтобы минимизировать среднее расстояние до первого лифта, встаньте в медиану — перед вторым лифтом.
Чтобы минимизировать максимальное расстояние (наихудший вариант), встаньте на полпути между крайними лифтами.
Математика не для всех
16 Oct, 16:01
Выбираешь между техническим и бизнес-образованием? Мы объединили все на программах бизнес-бакалавриата СКОЛКОВО!
19 октября (суббота) с 13:00 до 15:00 приглашаем старшеклассников на День открытых дверей программ бизнес-бакалавриата СКОЛКОВО.
Представители Школы расскажут, как удалось объединить экспертизу ведущей бизнес-школы и лучшего технического вуза — МФТИ, создав современную учебную программу. Студенты поделятся своим опытом поступления и советами, как получить 100% грант на обучение.
Бизнес-бакалавриат СКОЛКОВО – это:
- международная профессура;
- стажировки от партнеров с 1 курса;
- образовательные модули в трех городах;
- междисциплинарное образование, которое поможет анализировать неалгоритмизируемые проблемы с разных оптик– важнейший навык для будущего руководителя.
🕘19 октября, 13:00 мск
📍 кампус СКОЛКОВО / онлайн в Zoom
Регистрируйся и присоединяйся к Школе управления СКОЛКОВО!
Реклама: НОУ ДПО МОСКОВСКАЯ ШКОЛА УПРАВЛЕНИЯ «СКОЛКОВО», ИНН 5032180980 erid 2SDnjbrkJtB
19 октября (суббота) с 13:00 до 15:00 приглашаем старшеклассников на День открытых дверей программ бизнес-бакалавриата СКОЛКОВО.
Представители Школы расскажут, как удалось объединить экспертизу ведущей бизнес-школы и лучшего технического вуза — МФТИ, создав современную учебную программу. Студенты поделятся своим опытом поступления и советами, как получить 100% грант на обучение.
Бизнес-бакалавриат СКОЛКОВО – это:
- международная профессура;
- стажировки от партнеров с 1 курса;
- образовательные модули в трех городах;
- междисциплинарное образование, которое поможет анализировать неалгоритмизируемые проблемы с разных оптик– важнейший навык для будущего руководителя.
🕘19 октября, 13:00 мск
📍 кампус СКОЛКОВО / онлайн в Zoom
Регистрируйся и присоединяйся к Школе управления СКОЛКОВО!
Реклама: НОУ ДПО МОСКОВСКАЯ ШКОЛА УПРАВЛЕНИЯ «СКОЛКОВО», ИНН 5032180980 erid 2SDnjbrkJtB
Математика не для всех
16 Oct, 14:40
Исследование квантовых систем — это сложная задача, потому что они ведут себя совсем не так, как объекты в привычном нам мире. Например, принцип неопределённости Гейзенберга говорит, что нельзя одновременно точно знать положение и скорость частицы, что сильно усложняет наблюдение за такими системами.
Чтобы понять, как работают квантовые частицы, учёные используют методику многократных экспериментов. Они берут систему, например группу электронов, воздействуют на неё, а затем делают "снимки" её состояния. Проблема в том, что не все свойства системы можно измерить за один раз, поэтому эксперимент нужно многократно повторять, измеряя разные параметры. Эти данные затем обрабатываются с помощью алгоритмов машинного обучения, чтобы приблизиться к полной картине поведения системы.
Современные компьютеры способны моделировать квантовые системы, но это долгий и сложный процесс. Квантовые компьютеры, которые работают по тем же правилам, что и сами квантовые системы, могут значительно ускорить этот процесс. В отличие от классических компьютеров, которые используют бинарную память (0 и 1), квантовые компьютеры могут хранить информацию в более сложных квантовых состояниях, что позволяет им одновременно работать с несколькими версиями одной и той же системы.
Несколько лет назад учёные из Калифорнийского технологического института продемонстрировали, что использование квантовой памяти позволяет существенно сократить количество измерений, необходимых для анализа системы. Однако этот метод требовал больших объёмов квантовой памяти, которая сама по себе является редким и сложным ресурсом.
Недавно две независимые команды исследователей предложили способы уменьшить объём необходимой квантовой памяти. Одна из групп, возглавляемая Ситаном Ченом из Гарварда, показала, что для эффективного моделирования достаточно всего двух копий квантового состояния, что значительно снижает требования к ресурсам. Другая команда из Google Quantum AI пришла к аналогичным выводам, применяя свои методы в области квантовой химии.
Эти результаты важны не только с практической точки зрения, но и для того, чтобы доказать так называемое "квантовое преимущество" — задачу, которую квантовые компьютеры могут решать лучше, чем классические. Хотя раньше под этим понимали сокращение количества шагов, новые исследования показывают, что ключевым фактором может быть сокращение объёма данных, необходимых для расчётов.
Источник: https://www.quantamagazine.org/quantum-memory-proves-exponentially-powerful-20241016/
Чтобы понять, как работают квантовые частицы, учёные используют методику многократных экспериментов. Они берут систему, например группу электронов, воздействуют на неё, а затем делают "снимки" её состояния. Проблема в том, что не все свойства системы можно измерить за один раз, поэтому эксперимент нужно многократно повторять, измеряя разные параметры. Эти данные затем обрабатываются с помощью алгоритмов машинного обучения, чтобы приблизиться к полной картине поведения системы.
Современные компьютеры способны моделировать квантовые системы, но это долгий и сложный процесс. Квантовые компьютеры, которые работают по тем же правилам, что и сами квантовые системы, могут значительно ускорить этот процесс. В отличие от классических компьютеров, которые используют бинарную память (0 и 1), квантовые компьютеры могут хранить информацию в более сложных квантовых состояниях, что позволяет им одновременно работать с несколькими версиями одной и той же системы.
Несколько лет назад учёные из Калифорнийского технологического института продемонстрировали, что использование квантовой памяти позволяет существенно сократить количество измерений, необходимых для анализа системы. Однако этот метод требовал больших объёмов квантовой памяти, которая сама по себе является редким и сложным ресурсом.
Недавно две независимые команды исследователей предложили способы уменьшить объём необходимой квантовой памяти. Одна из групп, возглавляемая Ситаном Ченом из Гарварда, показала, что для эффективного моделирования достаточно всего двух копий квантового состояния, что значительно снижает требования к ресурсам. Другая команда из Google Quantum AI пришла к аналогичным выводам, применяя свои методы в области квантовой химии.
Эти результаты важны не только с практической точки зрения, но и для того, чтобы доказать так называемое "квантовое преимущество" — задачу, которую квантовые компьютеры могут решать лучше, чем классические. Хотя раньше под этим понимали сокращение количества шагов, новые исследования показывают, что ключевым фактором может быть сокращение объёма данных, необходимых для расчётов.
Источник: https://www.quantamagazine.org/quantum-memory-proves-exponentially-powerful-20241016/
Математика не для всех
15 Oct, 06:19
«Жизнь затонула на дне океана воздуха».
«У геометра есть особая привилегия, чтобы посредством абстракции выполнять все конструкции с помощью интеллекта».
15 октября 1608 г. родился Эванджелиста Торричелли, итальянский физик и математик. Наиболее знаменит открытием атмосферного давления и изобретением барометра. Первым дал научное объяснение причин ветра — из-за разности температуры воздуха, и, следовательно, плотности в разных регионах. Сформулировал закон вытекания жидкости из отверстий в стенке открытого сосуда и вывел формулу для определения скорости вытекания — скорость пропорциональна квадратному корню из глубины.
Занимаясь вопросами баллистики, пришёл к понятию огибающей семейства кривых (параболических траекторий снарядов) — параболы безопасности.
Открыл пример тела, площадь поверхности которого бесконечна, а объём конечен — рог Гавриила.
Точкой Торричелли (иногда именуемой также точкой Ферма) треугольника называют точку, сумма расстояний от которой до вершин треугольника минимальна. Если в треугольнике нет угла больше 120°, то это та точка, из которой каждая сторона видна под углом 120° (а если такой угол есть, то точкой Торричелли служит вершина этого угла).
«У геометра есть особая привилегия, чтобы посредством абстракции выполнять все конструкции с помощью интеллекта».
15 октября 1608 г. родился Эванджелиста Торричелли, итальянский физик и математик. Наиболее знаменит открытием атмосферного давления и изобретением барометра. Первым дал научное объяснение причин ветра — из-за разности температуры воздуха, и, следовательно, плотности в разных регионах. Сформулировал закон вытекания жидкости из отверстий в стенке открытого сосуда и вывел формулу для определения скорости вытекания — скорость пропорциональна квадратному корню из глубины.
Занимаясь вопросами баллистики, пришёл к понятию огибающей семейства кривых (параболических траекторий снарядов) — параболы безопасности.
Открыл пример тела, площадь поверхности которого бесконечна, а объём конечен — рог Гавриила.
Точкой Торричелли (иногда именуемой также точкой Ферма) треугольника называют точку, сумма расстояний от которой до вершин треугольника минимальна. Если в треугольнике нет угла больше 120°, то это та точка, из которой каждая сторона видна под углом 120° (а если такой угол есть, то точкой Торричелли служит вершина этого угла).
Математика не для всех
14 Oct, 08:12
Сколько букв r в слове strawberry? Любой человек скажет что их 3, но LLM отвечает - 2. Секрет, почему ChatGPT неверно счиатает количество букв R кроется в токенизации. Токены можно представлять как строительный блоки, которые модель использует для понимания и генерации текста. Наличие токенов позволяет быстро и эффективно обрабатывать текст, но при этом не подразумевает у модели наличия способностей к рассуждению.
С точки зрения AI, "strawberry" - это не последовательность отдельных букв, это также не серия строк [str, aw, berry], а скорее последовательность токен IDs [496, 675, 15717]. LLM несмотря на их кажущуюся магию, следует воспринимать как систему статистического моделирования, выполняющую задачу предсказания следующего токена на основе тренировочных данных.
С точки зрения AI, "strawberry" - это не последовательность отдельных букв, это также не серия строк [str, aw, berry], а скорее последовательность токен IDs [496, 675, 15717]. LLM несмотря на их кажущуюся магию, следует воспринимать как систему статистического моделирования, выполняющую задачу предсказания следующего токена на основе тренировочных данных.
Математика не для всех
12 Oct, 17:45
В XIX веке Якоб Штайнер изучил цепи окружностей, которые теперь носят его имя. Он сформулировал важный результат, известный как поризм Штайнера, который означает теорему, касающуюся конструкций с помощью циркуля и линейки.
Суть поризма Штайнера такова: если взять две непересекающиеся окружности и последовательно построить цепочку окружностей, каждая из которых касается обеих исходных окружностей, может получиться так, что эта цепочка замкнется — то есть последняя окружность будет касаться первой. Если для одной пары исходных окружностей цепочка замкнулась, это значит, что замыкание произойдет и для любой другой цепочки, даже если первой окружностью выберут другую. При этом количество окружностей в каждой цепочке будет одинаковым.Для доказательства достаточно перевести две данные окружности в концентрические.
Суть поризма Штайнера такова: если взять две непересекающиеся окружности и последовательно построить цепочку окружностей, каждая из которых касается обеих исходных окружностей, может получиться так, что эта цепочка замкнется — то есть последняя окружность будет касаться первой. Если для одной пары исходных окружностей цепочка замкнулась, это значит, что замыкание произойдет и для любой другой цепочки, даже если первой окружностью выберут другую. При этом количество окружностей в каждой цепочке будет одинаковым.Для доказательства достаточно перевести две данные окружности в концентрические.
8,832
subscribers
2,092
photos
202
videos
