Дневник Бродского

Интенсив к матпразднику региону ВсОШ по математике и Эйлеру

Будет по три-четыре пары в день, письменная проверка через бота Таксу Дусю с оцениванием по критериям региона (мы с другими преподами прям пишем критерии проверки к каждой задаче!). Также каждый день будет возможность сдавать задачи устно.

Пары будут разной сложности и рекомендованы разным классам. Можно ходить хоть на все четыре каждый день, но мы не рекомендуем, так как задач будет прям много — штук по 10 в каждом листке. Лучше ходить на простые пары по предметам, которые у вас западают и на сложные по предметам, в которых вы гигачад.

Преподы у нас просто дрим-тим: заведующий кафедрой математики Л2Ш Павел Бибиков, руководитель параллели матцентра при 239 лицее Дмитрий Ширяев, тренер мособласти Илья Иванов-Погодаев, золотая медалистка IMO Алиса Волкова и ваш скромный слуга. Еще толпа крутых ребят ассистентов, но чтобы их перечислить понадобится отдельный пост )

Помимо крутых лучших преподов у нам просто лучшее ценообразование: стоимость 10к за неделю занятий и пробную олимпиаду. НО! Возвращаем кэшбеком 50% стоимости призерам рега и 100% — победителям.

Оригинальный пост с анонсом, расписание и прочие плюшки можно найти тут. Прошу распространить среди всех заинтересованных, имхо лучшей возможности быстро прокачаться перед регом не найти)

Кстати, первый листок появится уже завтра!

🪿

Пост про математику: 32 лайка за неделю.

Пост про то, как прикольно ходит гусь: 71 150+ лайков за несколько часов.

Я вас понял

Сегодня отдыхаем от математики и познаем удивительный животный мир с Давидом Бродским!

Наступает Новый год

Длинного подведения итогов не будет — слишком уж много всего происходило. Напишу лишь немного про математику.

Больше всего в этом году мне запомнилась такая задача:

Пусть p просто число. Докажите, что среди чисел от 1 до [p / 4] квадратичных вычетов не меньше, чем невычетов.

В этом году я узнал фантастическое доказательство квадратичного закона взаимности. Я начал немного кодить на плюсах и узнал что-то про алгоритмы. Больше всего меня впечатлил алгоритм построения суффиксного массива за линейное от длины текста время. В уходящем году я видел много неплохих геометрий, более всего меня радует разнообразие авторов — многие бывшие школьники стали придумывать классные сюжеты, часто довольно сложные.

Мне больше всего запомнилась геометрическое неравенство Н. Штейнберга и Л. Финаревского с финала олимпиады Шарыгина. Задача выглядит как что-то очень простое, но решение придумать отнюдь не так легко:

В треугольнике ABC провели биссектрисы BE и CF. Докажите, что 2EF ≤ BF + CE.

Если вы хотите сделать мне подарок на Новый год, то можете задонатить на разработку приложения для сбора авторских задач и их обсуждения. Нам уже прислали порядка сотни классных авторских задач, но пока авторы не видят никакой фидбек от экспертов — мы планируем это исправить, сделав рейтинговую систему. Отправлять донаты можно сюда.

Желаю провести всем эти выходные в кругу семьи и съесть по-больше вкусной еды.

Когда оптимизация процессов в ШАДе зашла слишком далеко)

Мне подарили женщину!

Какое же говно интернет в аэропорту Барселоны. Я тупо не могу зайти на сайт Авиасейл чтобы купить билеты и свалить отсюда!

За эту рекламную интеграцию, кстати, мне не платили. Ни Барселона, ни Авиасейлс

Буду в Москве со 2 по 4 января. Если хотите пересечься — пишите, попробуем. Если хотите написать, но не знаете мой тг, пишите в комменты или лс в вк.

(Товарищ майор, не пишите)

Сделали новый мерч! Принт это ребус. Разгадаете?)

Как меня выгоняли с матцентра

Расскажу сегодня пару забавных историй, связанных с тем, как меня выгоняли с матцентра при 239 лицее.

Однажды в декабре я пришел на занятие кружка в милой шапочке Деда Мороза. Помню как сейчас, что до начала занятия было еще минут пять, когда в класс не в лучшем настроении зашел Сергей Евгеньевич. Лишь взглянув на меня, он сказал: «Бродский собирается и уходит». На мой вопрос о том, за что собственно меня выгоняют СЕ ответил: «Ах спорите? Ну тогда проваливайте на две недели!», после чего я пулей вылетел из класса.

Я честно отбыл свое наказание и пришел на занятие через две недели, чтобы... Снова быть выгнаным еще на две недели! На этом занятии Сергей Евгеньевич читал лекцию про многочлены, а я что-то несдерженно вякнул с места в середине рассказа, за что моментально был вышвырнут еще на пару недель, досматривая лекцию из-за двери. Разумеется, это был не единственный раз, когда меня выгоняли — все мы у СЕ летали как фанера над Парижем...

Вообще смотреть разбор из-за двери было у нас было национальной забавой — проходя мимо кабинета во время разбора регулярно можно было увидеть школьников в коридоре, упирающих тетрадки в дверь или стену и старательно записывающих решения задач.

Был в моей жизни момент когда я решил использовать изгнание из кружка с пользой.

Однажды в субботу я гулял с очень красивой девочкой, которая мне сильно нравилась. До знакомства с ней математика и матцентр были в моей системе ценностей на первом месте — ничто кроме очень тяжелой болезни не могло заставить меня пропустить занятие кружка. Но, как это обычно и бывает, камнем преткновения мужчины стала женщина.

И вот, когда прогулка должна была прерваться занятием, я подумал о том, что если сейчас вообще не приду на занятие, то меня навсегда выгонят с кружка. А вот если я немного опоздаю, то скорее всего меня выгонят только с одного занятия, и я смогу продолжить приятную прогулку, чего в тот момент я желал более всего в жизни.

Все шло по плану. Придя на разбор СЕ спросил меня, опоздал ли я на занятие из-за болезни, от которой я тогда тяжело оправлялся, или же по другой причине. Я честно признался, что причина была не в болезни и был изгнан из класса.

Далее события развивались стремительно: я спускаюсь по лестнице, предвкушаю продолжения прогулки. Я доволен как слон. Дохожу до лестничной площадки, уже вижу выход. Меня догоняет преподавательница Мария Станиславовна и говорит, что я... Помилован за честность и приглашен вернуться на занятие!

Я учился у Рукшина

Когда я был школьником, я учился в матцентре при 239 лицее у великого Сергея Евгеньевича Рукшина — основателя матцентра, учителя Григория Перельмана, Станислава Смирнова и многих других очень крутых людей.

Не хочу в этом посте рассказывать о бесчисленных регалиях СЕ и его учеников, а вместо этого немного расскажу про атмосферу на кружке. Даже более конкретно: я хочу сконцентрироваться на том, как на занятиях поддерживалась дисциплина, которая позволяла стабильно выращивать сильнейших математиков, олимпиадников, программистов и просто людей, умеющих думать.

У меня очень теплые воспоминание о матцентре, и я очень рад быть к нему пречастным. Вообще, традиции воспитания и дисциплины отличаются от параллели к параллели и зависят от ее руководителя. Но мне повезло учиться лично у СЕ с его драконовскими порядками. И я думаю, что для меня это был лучший возможный учитель, так как именно созданная им на занятиях атмосфера позволяла мне наиболее продуктивно работать.

В целом, атмосферу занятий в дурные моменты неплохо передает фрагмент из фильма Whiplash. Кружок это монотеистический культ, со всеми положительными и отрицательными следствиями этого. Божество этого культа — математика. Жрец — великий и ужасный С. Е. Рукшин.

Ты можешь пропускать занятия в школе, ты можешь пропускать хобби, но в священное служение пропускать нельзя. Каждую среду и субботу с 16 : 00 до 20 : 00 изволь быть на занятии.

Если ты опоздал на минуту, ты выгоняешься с занятия. Если ты пропускаешь занятие без уважительной причины, ты выгоняешься навсегда. Экзамен в музыкальной школе это не уважительная причина. Поездка в Сириус или Артек это не уважительная причина (за исключением сборов к межнару по математике). Если у тебя зазвонил телефон на занятии или ты решил во время разбора поиграть с соседом по парте в крестики-нолики, то ты также отправляешься за дверь.

Вообще, в нашей параллели все топовые люди (за исключением одного) на какое-то время выгонялись с кружка. Репрессии обычно были показательными и громкими. Иногда человека могли довести до слез, вышвырнуть его вещи из класса, если он слишком долго копошился когда его уже выгнали. Короче, наблюдать за эти было одно удовольствие, когда репрессировали не тебя )

Бывали на кружке и загадки. Например, когда два человека начинали болтать, СЕ не просто их выгонял, а сначала задавал одному из них вопрос: «Вы глупец или подлец?». Смысл загадки в том, что когда двоя болтают во время разбора, это означает, что один из них уже понял решение задачи (подлец) и от скуки отвлекает разговорами от разбора того, кто решение еще не понял (глупца).

Глупец, кстати, является таковым вовсе не потому, что не успел понять решение, а потому, что он повелся на разговоры подлеца. А подлец является таковым потому, что слабость глупца использует в своих корыстных целях. Про шутки и анекдоты Сергея Евгеньевича можно написать отдельный пост — они прекрасны. Мне даже казалось, что существуют древние паблики в ВК, которые специализировались исключительно на них.

Наступила зима, и мне вспомнились несколько забавных историй на кружке, приключились лично со мной. Но о них расскажу уже в последующих постах.

Фан факт

Многие из моих подписчиков наверняка знакомы с числом 1729 — числом Рамануджана—Харди. Это наименьшее число, представимое в виде суммы двух кубов натуральных чисел двумя разными способами. Известно это число в первую очередь благодаря анекдоту.

Так вот удивительный факт: до сих пор неизвестно, существует ли число, представимое в виде суммы двух пятых степеней натуральных чисел двумя различными способами!

Пофиксили часть багов, продолжаем тестить! Спасибо всем за участие.

Отдельное спасибо Глебу, который какое-то невероятное количество косяков в течение первых нескольких часов обнаружил — напишите на @Dabromat для получения мерча

Приложение для поиска красивых девочек задач

Последнее время многие люди стали придумывать классные задачи по олимпиадной математике, и это очень круто! К сожалению, начинающие задачные композиторы (а часто и не только начинающие) сталкиваются с множеством трудностей.

Во-первых, не всегда понятно, куда послать задачу, если нет прямых знакомств с составителями олимпиад. Во-вторых, даже если такие знакомые есть, нередко они не находят достаточно время для того, чтобы должным образом оценить задачу, из-за чего она остается гнить в закромах. В-третьих, автор совершенно не застрахован от того, что его задачи забанят только потому, что они не понравились тому единственному человеку, который их посмотрел.

Мы хотим решить эти проблемы и создать массовую систему для посылки задач и их дальнейшей обработки экспертами. Сегодня мы запускаем самый первую тестовую версию этого приложения, пока только на узкую аудиторию моего канала.

Что уже можно делать в приложении? Можно зайти с телефона, зарегаться и отправлять задачи, указывая их параметры — сложность, тематику и прочее. Задачи в анонимизированном виде будут обрабатываться верифицированными экспертами и ранжироваться по турнирам и олимпиадам, после чего вы сможете увидеть себя среди составителей самых престижных состязаний! Отправлять задачи можно даже в том случае, если вы еще школьник — на многих турнирах можно встретить задачи совсем юных математиков.

Еще можно искать баги и ругаться на кривой дизайн и тормоза. Все это можно сделать в форме обратной связи. Как всегда, можно также написать и на @dabromat в тг. Активно распространять приложение пока НЕ надо — альфа-версия только для самых преданных подписчиков, которые с любовью отнесуться ко всем проблемам, которые могут возникнуть на старте. А вот за любой фидбек будем крайне признательны!

Что будет дальше? Рейтинговая система для авторов… Ачивки и бонусы от партнеров проекта, гранты для самых классных авторов задач в разных номинациях. Обучение: как придумывать хорошие задачи. Создание и поддержание комьюнити задачных композиторов. Ну а ближайшая цель — сделать более симпатичный дизайн, и мы разыскиваем человека, который сможет это реализовать. Если у вас есть чувство вкуса и вы хотите поучаствовать в офигенном проекте — ныряйте по ссылочке.

Кстати, прямо сейчас в приложении мы оставили для Вас три бага. Кто первый соберет их все и напишет об этом в форме, получит наш фирменный мерч 😏

Бот: @dabromat_problems_alef_bot

В этом году финал ICPC (главный студенческий межнар по спортивному программированию) проходил в Казахстане.

Коллеги сделали классный популяризаторский фильм по поводу. Мне очень нравится, с какой гордостью люди рассказывают про успехи Казахстана — желаю ему дальнейших крутых успехов на международной арене!

Отдельно отмечу, что в фильме вполне ясно объяснили, почему спортивное программирование это важно, и топовым специалистам не следует пока бояться искусственного интеллекта. В общем, если вы как и я, полные профаны в спортивном программированию, рекомендую к просмотру.

Еврейский язык падонков

В иврите (языке еврейского народа) практически отсутствуют гласные буквы. Типичное слово выглядит просто как набор согласных без всякого указания на гласные звуки между ними — их нужно восстановить самостоятельно, следуя интуиции.

Кажется, это должно быть огромной проблемой для мемов. Нет никакой возможности сделать что-то вроде языка падоноков и так любимого мной русского словоблудия. Ни тебе «Мыш (кродется)», ни «Превед!», ни более современных мемов.

Пока я не знаю, как еврейская молодежь живет с этим, и как они делают мемы. Хотя с другой стороны, зачем вообще нужны мемы языку, в котором девочка произносится как «елда»…

Безумное геометрическое неравенство

В остроугольном треугольнике сумма длин медиан не больше суммы длин радиусов вневписанных окружностей.

Одно из моих любимых геометрических неравенств. Выглядит безумно, но имеет короткое геометрическое решение с оттенком здоровой алгебраической интуиции. Кажется, неравенство верно и для тупоугольных треугольников. Есть ли простой геометрический аргумент?

Самая сложная капча, которую я видел. Куда тыкать?

YES WE CAN MAKE AMERICA GREAT AGAIN 🇺🇸

Тем временем VK, МФТИ и МГТУ имени Н. Э. Баумана открыли регистрацию на 10-й сезон «Технокубка» — олимпиады по программированию для школьников.

Участвовать могут школьники 8-11 классов. Рекомендую попробовать свои силы. Тем более, что победители и призеры могут поступить в вуз без экзаменов или получить 100 баллов за ЕГЭ по информатике.

Среди разработчиков задач — тренеры сборных команд, руководители олимпиадных кружков, преподаватели ведущих технических вузов. Отборочные раунды пройдут 17 ноября, 8 декабря и 22 декабря. Чтобы попасть в финал, можно участвовать в любом из них — учитывается лучший результат. Регистрация на сайте.

Такс, я тут посмотрел, чей это канал — ссылочка все-таки будет.

Итак, внимание: это канал министра цифрового развития государственного управления, информационных технологий и связи Республики Татарстан Хайруллина Айрата Ринатовича.

Желаю Айрату Ринатовичу успехов и надеюсь, что к подбору персонала на своем основном месте работы он относится существенно более тщательно.

Жуть. Удивительно, насколько людям пофиг на свою работу. К сожалению, я и с такими хирургами встречался. Если наткнетесь на просторах сети, не забудьте поставить дизлайк.

То самое чувство, когд на экзамене по топологии пытаешься узнать определение у чат gpt, но не раскошелился на платную подписку)

Я на днях познакомился с православным финном-программистом, который, внимание, выкачал весь stack overflow, чтобы не проводить интернет домой и нормально работать.

Идея в том, что интернет сильно отвлекает внимание и можно спокойно жить без него. У чувака нет ни вайфая, ни мобильного интернета. Звучит прикольно, но я бы так не смог)

Что думаете о таком work-life balance ?

Совсем скоро начнется крутой спецкурс по геометрии от Вани Кухарчука и Леонида Шатунова в рамках лектория Дабромат.

Обещают много классных сюжетов, некоторые из которых я вообще впервые вижу. С Иваном я работаю давно и не понаслышке знаю о его классно геометрическом вкусе, так что я рад новой активности. В общем, будет, чем занять на осенних каникулах)

За подробностями ныряйте по ссылочке, старт уже 2 ноября.

Сегодня прошло устная олимпиада по геометрии лицея НИУ ВШЭ. Для меня это явление новое, я про нее ничего не знаю. Как впечатления?

Задачка по финансовой грамотности

ЦБ подняли ставку рефинансирования до 21% и, вероятно, еще больше повысит ее в декабре. Что думаете по поводу?

Признавайтесь, кто вообще без понятия, что такое эта ставка и на кой лад нужно вообще ее знать.

Предполагаю наиболее интересные ответы от людей 80-ых годов рождения)

#финансы

Одна из моих любимых задач-упражнений в тему «Делай инверсию, даже если нет окружностей для распрямления».

Дано соотношение на углы, нужно доказать, что синие прямые пересекаются на черной.

Подсказка: тык

#задача

Снова в путь

Лечу на неделю в Ереван, вероятно, заеду дополнительно в Тбилиси в какие-то дни.

1) Что стоит посмотреть / почувствовать в этих городах? Можно считать, что я не разу в них не был. Также меня интересуют всякие андеграундые тусовки русских мигрантов. Можете писать прямо в комменты к посту или в лс.

2) Если мы знакомы и хотите встретиться — пишите, попробуем пересечься.

3) Если мы не знакомы лично, но вы хотите со мной встретиться, то напишите об этом на @dabromat. Кратко (или не очень) напишите о себе, чтобы у меня сложилось какое-то понимание о том, кто Вы.

4) Если вы хотите, чтобы я прочитал в вашем университете / школе / математическом кружке / личной яхте — также пишите о сотрудничестве на @dabromat.

В тему пункта 3 поста про инверсию. Я люблю иногда на занятиях спрашивать слушателей, куда переходит та или иная точка при инверсии. Один из моих любимых вопросов на эту тему такой:

В треугольнике ABC провели биссектрису BB_1. Сделаем инверсию с центром в точке A и любым радиусом, образ каждой точки X будем помечать как X*. Как проще всего описать точку B_1* в терминах треугольника AB*C*?

Почему-то этот вопрос практически всегда ставит аудиторию в ступор. Так каков же ответ? Не забудьте скрыть его спойлером🙈

Йом-Кипур. Судный день. День моего рождения

Представь, твой день рождения — в самый святой день года. Звучит круто? Я тоже так думал, пока не попытался купить себе тортик.

В этот день люди молятся и постятся, ожидая Божьего вердикта.

На первый взгляд ничего страшного, да? Подозрения у меня появились, когда я решил отправиться в центр Иерусалима за тортиком — автобусы не ходили, а на улицах было необычно мало машин.

“Ну и ладно!” — подумал я и пошел в центр пешком. Но по мере того как я шел, людей становилось все меньше. Главная улица пустовала. Лишь редкие прохожие пролетали мимо, как привидения.

И тут я понял: город буквально вымер. Все заведения закрыты. Вообще все. Магазины, кафе, почта — ничего не работало.

Побродив по пустым улицам, я наткнулся на один почти закрывшийся супермаркет. Я едва успел пролезть под опускающимися ставнями и схватить то, что можно было съесть без кухонной утвари — лапшу быстрого приготовления и консервы с тунцом. Продавец налил мне кипятка для лапши, и вот он — мой праздничный ужин: пародия на ‘Доширак’ и тунец из банки. Ну что ж, с днем рождения меня!

И вдруг — со всех сторон начали появляться фигуры в белом. Они двигались молча, как призраки, заполонив город. Одна, две, десять… Как будто они двигались по какому-то общему, невидимому плану, все в одном направлении — в противоположном моему.

И вот, среди всей этой мрачности — дети. Они выпрыгнули на дорогу с велосипедами, наслаждаясь единственным днем в году, когда улицы принадлежали им. Оказывается, у местной детворы это традиционное развлечение: раз в году играть там, где в обычные дни запрещено. И кажется, им это очень нравится!

Вот такой вид открывается из офиса Nebius group (бывший Яндекс). Еще оттуда видны потрясающие закаты, но их я сфоткать не догадался.

Занимаются тут в основном инфраструктурой — работают над облаком и делают всякие инженерные штуки. А еще абсолютно все программисты тут — русские)

4 Уровень: Делаем инверсии в нетривиальных точках

В какой-то момент жизни каждого геометра необходимо начать не бояться делать инверсию во всех точках, которые вы видите на картинках, даже если через нее проходит совсем мало окружностей. Часто окружности могут быть скрыты в условии задачи, и их предварительно необходимо найти. Бывает полезно делать инверсию в ортоцентре треугольника, в основании высоты, инцентре, середине меньшей\большей дуги описанной окружности…

Дополнительный трюк, который почему-то почти никто не знает: образ окружности после инверсии можно задать тремя параметрами — тремя точками через которые она проходит, тремя прямым, которых касается и так далее. Так вот один из параметров может быть углом, который окружность образует с какой-нибудь прямой или окружностью.

Для совсем лютых рекомендуется составить табличку, куда при какой инверсии переходят хорошие точки треугольника.

5 Уровень: Ортогональные окружности

Каждый профессионал должен понимать, как системно описывать преобразования, которые можно получить используя инверсии. В частности, нужно понимать, что любой пучок окружностей можно либо сделать пучком прямых, либо пучком концентрических окружностей. Одна из базовых задач на эту тему: поризм Штейнера.

6 Уровень: Связь проективной геометрии и инверсии

Нужно понимать, что инверсия сохраняет двойные отношения и что это это означает. Понимание того, как работает проективная инволюция, и что инверсии можно перекидывать также, как двойные отношения. ТДИ знать совсем не обязательно, а вот понимать где на картинке с гармонической четверкой точек взять инверсию нужно уметь!

7 Уровень: Сопряжение Клоуссона

Обобщение инверсии + симметрии в трапеции на произвольный четырехугольник. Можно вновь составить список того, куда какие хорошие объекты переходят. Одна из типичных задач на картинке.

Что же изучать дальше? К счастью, существует и дальнейшие пути развития в этой области! Во-первых, можно понять, как все это связано с некоторыми моделями геометрии Лобочевского. Об этом хорошо рассказывает преподаватель онлайн школы Дабромат Павел Витальевич Бибиков.

Геометрия Лобачевского неожиданно дает более системное представление о преобразованиях, реализуемых инверсией, движением и гомотетией. Используй ее язык удается крайне лаконично переписывать решения многих сложнейших задач. В целом есть ощущение, что область еще недостаточно развита, так что углубившись в нее есть шанс придумать много новых классных задач.

Альтернативно, можно углубиться в изучение кубических кривых и их инволюций. Про них было несколько проектов на Турнире Городов, например, вот тут. В целом кубические кривые последнее время в тренде. Добавлю, что практически все последние задачи по геометрии, которые мне нравятся, так или иначе связаны с каким-то кубическими кривыми.

Погружение в инверсию

Что такое инверсия в геометрии и кому нужно уметь ее применять?

Инверсия — это преобразование плоскости, которое превращает окружности и прямые в окружности и прямые, согласно некоторому набору правил. В отличие от многих других преобразований, таких как движения или преобразования подобия, инверсия не столь наглядна и интуитивна, что позволяет находить с ее помощью весьма удивительные решения.

Прежде всего, необходимо сказать, что инверсия — это довольно продвинутый метод решения задач. Более того, на мой субъективный взгляд, это одна из наиболее сложных тем для освоения: немногие люди владеют инверсией настолько хорошо, чтобы она действительно помогала решать задачи. Как следствие, учить ее нужно начинать либо в том случае, если вы считаете себя геометром, либо в том случае, если у вас есть амбиции решать сложные задачи уровня финала ВсОШ и выше.

Техники, связанные с инверсией, можно разделить на несколько типов. Так или иначе, я рекомендую начинать знакомство с инверсией по книге Жижилкина (https://old.mccme.ru//mmmf-lectures//books/books/book.35.pdf). Увы, она не содержит множество современных идей, поэтому ее будет недостаточно для полного погружения в тему. Также можно посмотреть этот ролик с разбором нескольких задач на инверсию. Разумеется, лучше сначала попробовать их решить самостоятельно.

Итак, поделим владение инверсией на несколько уровней сложности:

0 Уровень: Спрямляем окружности

На этом уровне понимания вы знаете, что инверсия с центром в точке O распрямляет окружности, проходящие через точку O, и пытаетесь с ее помощью упрощать задачи с большим количеством окружностей. Типичный пример:

Четыре окружности имеют общую точку O и повторно пересекаются еще по шести точкам. Из этих шести точек можно четырьмя способами выбрать три, не лежащие на одной из исходных окружностей. Докажите, что четыре окружности, описанные около треугольников из этих точек, имеют общую точку.

1 Уровень: Учимся использовать базовые свойства инверсии в задачах с окружностями

Нужно выучить базовые свойства инверсии: как она изменяет углы, что происходит с длинами отрезков, как инверсия связана с гомотетией. На этом уровне вы должны сразу видеть, что в подобных задачах стоит попробовать сделать инверсию:

Пусть точка C лежит на отрезке AB. Построим в одну сторону от отрезка полуокружности на диаметрах AB, BC, AC (эта конструкция называется арбелос). Перпендикуляр MC к отрезку AB делит арбелос на две части. Докажите, что радиусы окружностей, вписанных в эти части арбелоса, равны между собой.

2 Уровень: Инверсия в вершине треугольника

Многие задачи о треугольнике хорошо решаются с помощью инверсии с центром в вершине треугольника и любым радиусом. Идея заключается в следующем: пусть у нас есть треугольник ABC. Сделаем инверсию с центром в точке A и любым радиусом, обозначим за B* и C* образы B и C соответственно. Тогда хорошие объекты треугольника ABC обычно переходят в другие хорошие объекты треугольника ABC, что позволяет переводить одну задачу в другую.

Необходимо составить словарик: куда какая точка треугольника переходит при таком преобразовании — разобраться с серединами сторон, основаниями биссектрис, замечательными точками. По этому поводу рекомендую посмотреть мой листик из кружка в Хамовниках (в нем могут быть опечатки). Можно сделать карточки, как для изучения иностранного языка, и повторять перед сном :)

3 Уровень: Инверсия + симметрия в треугольнике и трапеции

Естественное продолжение предыдущей темы. Оказывается, треугольники ABC и AB*C* можно совмещать, если правильно подобрать радиус инверсии и дополнительно сделать симметрию относительно внешней или внутренней биссектрисы. Также бывает полезно делать симметрию относительно вершины треугольника.

Можно, например, посмотреть вот этот мой листок (в нем могут быть опечатки).

Все опечатки и ошибки исправлены, ссылки сохранены, стиль не изменен.

Ваню Кухарчука походу взломали, будьте аккуратны

UPD:: А может и нет. Сейчас разбираемся.

Либо взломали Ваню и Леонида Шатунова, либо никого из них

Типичный собес на аналитика данных. Но до наших HR с тестами на аутизм им как до луны)

P.s Простите все, кому мы не отвечаем на заявки на работу. У нас их тааааак много, что никаких сил не хватит всем нормально отвечать.

Кстати, если вдруг пока не знаете, что такое медиана в статистике, можете глянуть вот этот мой пост.

Крутая задача М. Дидина с Высшей пробы прошлого года, которую вы наверняка пропустили

#задача #математика

Колмогоров: турнир, изменивший всё

Продолжу серию рассказов о том, как я изучал геометрию. Сегодня поговорим об одном из самых классных математических соревнований — турнире имени выдающегося советского математика Андрея Николаевича Колмогорова. Забавно, но из-за тупняка орг комитета мой первый турнир назвался турниром имени Н. А. Колмогорова :)

Так или иначе, когда я попал на турнир А.Н / Н.А. Колмогорова, я быстро осознал, что моих знаний катастрофически не хватает: теорема Паскаля, комплексные числа — всё это было для меня тёмным лесом, но это только раззадорило меня. Помню, в бою против команды Тюмени я не решил ни одной геометрической задачи, но по каждой из них совершил какие-то продвижения. Каково же было мое удивление, когда мой оппонент Леонид Горбунов рассказал у доски в точности мои продвижения, завершив решения ссылками на известные факты!

В бою против команды Москвы Андрей Шевцов у доски рассказал мне о том, что геометрические задачи можно решать с помощью комплексных чисел, а также объяснил поворотную гомотетию. А другой участник команды Андрея (увы, не помню его имени) познакомил меня с понятием направленных углов.

Также в какой-то момент турнира я узнал об абсолютно удивительном и загадочном преобразовании — инверсии, которая мистическим образом действует на объекты в задачах. Тогда я не очень понял, как она работает, но загорелся разобраться. По возвращению с турнира я нашел книгу И. Д. Жижилкина, освоив которую стал решать инверсией практически все задачи, которые мне давали на занятиях кружка.

В итоге, съездив всего на один турнир, я, во-первых, познакомился с очень крутыми ребятами, с которыми до сих пор поддерживаю тесный контакт. Леонид сейчас преподает в Дабромате, а Андрей делится своим опытом в IT, математике и образовании на своем канале — кстати, рекомендую его почитать, много интересного! Во-вторых, я узнал миллион новых вещей в математике, которыми занялся после возвращения с турнира.

Прикрепляю одну из задач первого боя. Удивительно, но баяном она была уже тогда — кажется, буквально на турнире у кого-то из участников была книжка с этой задачей.

А теперь ваша очередь! Если у вас есть своя захватывающая история с математических турниров — пишите в комментариях. Кто знает, может, ваши истории замотивируют кого-то погрузится в математику и раскачать новые навыки решения задач.

Как американские евреи плясали под русскую дудку

Накануне своего дня рождения я отправился на пробежку. В полночь я случайно наткнулся на бар, где тусовались американские евреи. Их язык — английский — меня удивил, ведь вокруг звучал иврит. Заинтригованный, я решил узнать, что это за место.

Я присоединился к компании. Комната была наполнена звуками гитары, люди пели на иврите, английском, даже испанском. Все танцевали, и атмосфера казалась удивительно гармоничной.

В час Х = 00:14 я признался новым друзьям, что у меня день рождения, после чего застыл в удивлении. Эти люди, говорившие на английском и иврите, вдруг запели на чистейшем русском ‘С днем рождения’, ‘Катюшу’ и … ‘Миллион роз’ Аллы Пугачевой!

У меня никогда не было сомнений в величии Аллы Борисовны, но я если честно не подозревал, что ее настолько хорошо знают и любят в мире, отличном от постсоветского пространства.

Очевидно, что настоящие легенды не знают границ — и даже на другом конце света можно услышать песни, которые объединяют всех.

Новый взгляд на среднюю линию

Есть довольно простой и весьма естественный способ доказывать, теорему о средней линии треугольника. Для этого рассуждения не нужно знать ни про подобие, ни про площади, и оно совсем не такое хитрое, как трюк с удвоением средней линии (который, согласитесь, довольно сложно придумать). Наверняка я не первый обнаружил такое рассуждение, но нигде более его пока не видел.

Теорема: Точки M и N середины сторон AB и AC треугольника ABC соответственно. Тогда MN || BC и 2 * MN = BC.

Начнем с параллельности. Весьма разумно попытать доказать утверждение для какого-нибудь частного случая. Например, когда угол B (или C) прямой. В этом случае BN = AN = CN в силу свойства медианы прямоугольного треугольника. Тогда треугольник ANB равнобедренный, потому отрезок MN это серединный перпендикуляр к AB, откуда MN перпендикулярно AB, то есть параллельно BC.

В случае, если оба угла B и С острые, опустим высоту AH и применим только что доказанное утверждение к прямоугольным треугольникам BAH и CAH. Случай, когда кто-то из углов B и C тупой разберите в качестве простого упражнения.

Итак, мы поняли, что MN параллельно BC. Теперь надо отметить третью середину K и заметить, что по тем же причинам MK || AC и NK параллельно AB — теперь BC = BK + CK = MN + MN так как на картинке куча параллелограммов.

Татарский национальны праздник

Поздравлю Розалину Мигралимову с днем рождения! Счастья и успехов тебе и так пожелают, а я лишь скажу, что с возрастом татарки не стареют — они лишь лучше завариваются, глубже раскрывая оттенки вкусов и внутренние свойства.

Как я продолжал ботать геометрию летом

Пару постов назад я написал про то, как начинал учить геометрию. Летом между седьмым и восьмым классом я задался целью научиться решать задачи уровня финала олимпиады Эйлера. Я поступил довольно просто — скачал условия всех доступных на тот момент регионов и финалов олимпиады, и начал решать задачи подряд по годам.

Тут я придерживался другой тактики: сначала я пытался решить задачу самостоятельно, а если не получалось, то читал первую часть решения, пытаясь далее самостоятельно доделать его до конца. Если и тут случалось фиаско, то продолжал читать решение до тех пор, пока мне не становилось очевидно, как его завершить. Такая тактика прокачки, на мой взгляд, крайне эффективно при самостоятельной работе. Самое важное тут честно НЕ начинать читать решение, пока порешал задачу достаточно долго. Эффективнее разве что летние курсы по геометрии Дабромат, там еще подумали, в какой последовательности вам давать задачи.

Моя склонность к большому количеству дополнительных построений начал проявляться очень явно — прикрепляю архивную фотографию того лета. На ней, кстати, также видно, что при решении я использовал ручки двух цветов. Это вообще очень полезная штука, которая сильно повышает наглядность — рекомендую всем делать именно так. Опять же, тут не стоит упарываться и использовать ручки 20 разных цветов и яркостей: практически всегда достаточно двух цветов.

Решая задачи таким образом, я наработал очень важный навык: генерацию большого количества разных построений. Я научился чувствовать, какие построения каким образом преобразуют картинку. До сих пор мне непонятно, как объяснить это человеческим языком, но ты начинаешь наперед видеть, что если построишь вот тут три параллелограмма, то они перенесут в одну часть картинки все несвязные на первый взгляд условия задачи.

Такого сорта интуиция приходит только после большого количества решенных задач, и, на мой взгляд, лучше всего отрабатывается именно на задачах уровня восьмого класса, в задачах ВсОШ обычно уже работают несколько другие механизмы, и большую роль начинает играть насмотренность, нежели умение генерировать дополнительные построения. Тем не менее, в действительно сложных задачах не обойтись без навыков, заложенных в восьмом классе.

Из забавного: помимо занятий геометрией, я раздумывал над тем, как решать кубические уравнения. В какой-то момент я осознал, что нули кубического многочлена x^3 + ax^2 + bx + c это точки наименьшего значения многочлена 1/4x^4 + 1/3 ax^3 + 1/2 bx^2 + cx. Я тогда очень обрадовался своему открытию (стоит учесть, что я до этого не знал, что нули производной отвечают экстремумам функции, догадавшись до этого самостоятельно).

В тот момент у меня была гипотеза, что если многочлен четвертой степени положительный, то он должен быть чем-то в духе суммы двух четвертых степеней линейных многочленов, корни которых, наверное, и есть искомые точки минимума. Разумеется, это не так, и преподаватели позже пояснили мне, что обычно сделанное мной наблюдение используются наоборот — поиск минимума функции сводится к поиску нулей производной.

А еще тем же летом я придумал свою первую задачу по геометрии. Но она такая странная, что пока что до сих пор не нашла места на олимпиаде, потому палить ее пока не буду :)

Недавно прошел базовый осенний Тургор и Турлом. Честно говоря, я вообще не следил ни за одной из этих олимпиад. Какие задачи понравились больше всего, есть ли шедевры?

Геометрия начинается с унижений

Меня последнее время довольно часто спрашивают, как я ботал геометрию, когда был школьником. Чтож, давайте расскажу начало своей истории — как я начинал заниматься геометрией в седьмом классе.

Все началось с того, что меня несколько раз подряд унизили геометрией.

Внутри прямого угла AOB отмечена точка C. Докажите, что OC <= AС + BС

У меня не получилось ее решить, и надо мной довольно обидно поглумился по поводу великий С.Е. Рукшин.

Затем в листок попал признак равнобедренности треугольника по медиане и биссектрисе. Его я тоже не решил и проболел занятие, на котором его разобрали. После знакомый рассказал мне решение и дал такие задачи:

В треугольнике ABC с AB < AC провели медиану AM и биссектрису AL. Докажите, что a) угол AMC тупой b) точка L лежит на отрезке BM c) основание высоты AH лежит на отрезке BL. 

У меня не получилось решить ни одну из этих задач.

Это был переломный момент — я разозлился на себя за то, что я тупее тех, кто справляется с подобным. После этого я решил, что я костьми лягу, но докажу всем, что я не хуже остальных. В следующей серии нам вновь дали сложную геометрию , и я был готов решить ее любой ценой:

В равнобедренном треугольнике ABC (AB = AC) угол при вершине A = 20*. Докажите, что утроенное основание больше боковой стороны. 

Три дня я сидел над этой задачей по 6-8 часов, пока она, наконец, не поддалась. Итоговое решение было сложным: оно содержало множество дополнительных построений, а также в процессе его создания я по сути придумал понятие равнобокой трапеции и самостоятельно доказал некоторые ее свойства и признаки (на тот момент я не был по-хорошему знаком даже с понятием параллелограмма).

Помню, что в тот момент я был сильно горд собою. Начиная с этого занятия я решал практически все задачи по геометрии, которые нам выдавали в матцентре. Первое время примерно на каждую содержательную задачу я тратил очень много времени, но в последствии процесс пошел быстрее.

Достаточно долго в нашем кружке были люди, которые придумывали решения сложных задач по геометрии существенно быстрее меня, и их решения обычно были проще и короче моих, однако к концу года я закрепился в статусе главного геометра кружка. В целом, моя склонность долго придумывать сложные решения сохранилась до конца школы. Практически всегда это было безумное количество построений, инверсий и хитрых наблюдений, даже когда можно было обойтись существенно более простыми путями.

Так уж вышло, что меня не учили особо никаким счетным техникам, проективной геометрии и умным теоремам: очень многие известные факты я переоткрывал самостоятельно, лишь постфактум узнавая, что это какие-то именные конструкции — но про это я расскажу в следующих постах. В общем, если вы видите, что какой-то человек очень круто решает задачи по геометрии, то знайте, что это пришло к нему не сразу. Это колоссальный труд и временные затраты.

Я рекомендую всем, кто только начинает изучать геометрию, тратить на нее много времени. То что по началу кажется невозможным, со временем становится рутиной. Пишите про ваш опыт, как вы начинали изучать геометрию, насколько это было сложно? А если геометрии пока решать не получается, то перестаньте читать тг и идите ботать :)

Съездил в Тель-Авив

Купался в море, смотрел на красивых девочек, читал "Красную книгу о многообразиях и схемах", поел на рынке офигенный стритфут.

Коротко о главном: повсюду красивые девушки в дорогих шмотках — прям как в Москве, город заполонили накаченные мужики модельной внешности — это не как в Москве, электронные самокаты раздолбаны в хлам — так иногда бывает в Москве.

Ах, да. Еще путеводители иностранного агента Ильи Варламова полное фуфло — просто рекламный буклет за 2600, половина информации которого уже давно не актуальна. Если хотите что-то узнать, спрашивайте у людей на улице — тут очень принято общаться.

Что думаете о квадроберах? Я ни одного в жизни пока не встречал, но последнее время часто вижу новости о том, что до них докапался очередной политик, прям тренд какой-то.

Ребят, давайте без политики в комментах.

Мне сильно не ОК комментарии в поддержку организаций, публично заявляющих, что их цель уничтожение Израиля, оправдание их действий или антисемитская риторика.

Априори мне вообще не важно, какой к конфессии вы себя причисляете, какую религию исповедуете, каких политических взглядов придерживаетесь, а также какой гендер наиболее близок вашему самоощущению: ценность человека в большей степени определяться для меня его поступками и профессионализмом.

Тем не менее, приходя на мою территорию, имейте уважение соблюдать мои порядки. Я буду чистить комменты с любыми призывами к насилию, но всякая агрессия в отношении Израиля, РФ или Украины будет воспринята как личное оскорбление, и будет, отныне, караться перманентным баном.

Прямо сейчас Иран обстреливает Израиль баллистическими ракетами. К счастью, тревога застала меня прямо около бара с бомбоубежищем (так что я в безопасности). В честь такого события нам всем налили — святые люди!

Немного внутренней статистики Дабромат

Я понял, что душные задачи про многочлены вам не нравятся, больше так не буду. Давайте сегодня поделюсь с вами некоторой внутренней статистикой того, что проходило у нас на летних онлайн-курсах по геометрии, которые длились три месяца.

Одна из основных метрик, которые мы стараемся максимизировать — вовлеченность. Вовлеченность по неделе = количество людей, которые прислали решение хотя бы одной задачи \ общее количество участников курса. Совершенно очевидно, что мы бы не заставили каждого участника курса все лето усердно решать наши задачи, однако мы старались максимизировать долю активных людей. Перед началом летних курсов мы даже устроили небольшой конкурс среди преподавателей — кто точнее угадает минимум и медиану по вовлеченности.

Собственно, результаты получились следующие:

1 ступень:

Медиана*: 46 %
Среднее значение : 53 %
Максимальное значение : 73 %
Минимальное значение : 36 %

2 ступень

Медиана: 34 %
Среднее значение : 39 %
Максимальное значение : 62 %
Минимальное значение : 14 %

*Пояснение: медиана это один из способов считать среднее значение некоторой величины. Медиана сообщает число, которое разделяет выборку пополам. Например, если в городе 10 000 человек получают зарплату 10к рублей, а 10 человек получают зарплату 100 000 000 рублей, то среднее значение зп в данном городе будет больше 100к, тогда как медиана будет 10к. Таким образом, медиана более устойчива к выбросам — аномально большим\маленьким значениям.

В целом статистика прям очень крутая! Для сравнения: по разным источникам, обычно до конца онлайн курсов доходят порядка 3-13%, а у нас на первой ступени честно до конца дошли более трети людей! Ясно, что такие результаты во многом обусловлены тем, что наша реклама утроена так, что в основном цепляет только уже достаточно мотивированных людей.

С большим интересом продолжаем работу, и надеемся не уменьшить статистически значимые величины и на больших объемах учеников! Хорошо бы следующим летом, пробить, наконец, потолок в 1000 участников и понять, насколько мы умеем сохранять мотивацию у большого количества разных детей.

Например, из этого можно в легкую доказать такое утверждение:

Полином (x - 1)(x - 2) ... (x - 1000) +- 1 нельзя разложить в произведение двух непостоянных многочленов с целыми коэффициентами.

Или такое: (x - 1)(x - 2) ... (x - n) + 2024 может быть приводим лишь для конечного числа n, а именно для n <= 19.

Впрочем, на компьютере легко проверяется, что он неприводим и при n < 19.

Теорема Пойа про неприводимость

Давайте поделюсь с Вами решением задачи с 4-ой ступени Дабромат, которую постил раннее.

Главная идея заключается в том, чтобы предварительно доказать следующее утверждение:

Лемма: Пусть P(x) многочлен степени n с целыми коэффициентами, x_0, x_1, ... , x_n различные целые числа, значение в которых y_0, y_1, ... y_n соответственно. Тогда
max ( | y_0|, |y_1|, ... , |y_n| ) по крайней мере 2^-n * n!

Доказательство:

Напишем интерполяционный многочлен Лагранжа для P(x) по точкам x_i и посмотрим на коэффициент при старшем члене, он равен sum y_i / (x_i - x_0)(x_i - x_x_1) ... (x_i - x_n) по i от 0 до n.

Так как этот коэффициент целое ненулевое число, модуль указанной суммы уж точно не меньше 1. Оценим модуль суммы сверху как сумму модулей, заменив в каждом слагаемом |y_i| на |y_m| = max(|y_i|), ясно, что от этого значение разве что увеличится.

Имеем неравенство вида

1 < = |y_m| * sum 1/|x_i - x_0| |x_i - x_1| ... |x_i - x_n|,

домножив все на знаменатели мы как раз получим какую-то оценку на |y_m| снизу, осталось понять, что нужную. Давайте для удобства обратно поделим все на знаменатели и приглядимся к каждому из них повнимательнее:

1 / |x_i - x_1| * .... * |x_i - x_1| — когда же это наибольшее? Давайте упорядочим наши x_i по возрастанию. Знаменатель, конечно, не меньше чем (i - 0)(i - 1) ... (i - (i - 1) ) ( (i + 1) - i) ... (n - i) = i! (n - i)! что почти что C^i_n. Итак, домножим неравенство на n!:

n! <= |y_m | (sum C^i_n ) = |y_m| * 2^n — а это и есть искомая оценка, лемма доказана.

—————————————————————————————

Теперь перейдем к самой теореме Пойа (формулировку прикрепляю).

Предположим противное, пусть f = g * h, НУО deg g >= m. Ясно, что |g(x_i)| <= |f(x_i)|, потому можно применить доказанную лемму к многочлену g и точкам x_1, x_2 ... x_n (их n, что больше d = deg g .)

Итак, в некоторой точке 2^-d d! <= |g(x_i)| <= |f(x_i)| < 2^-m m!, но ясно, что 2^-m m! <= 2^-d d!, так как m <= d, противоречие.

Вот вам немного фоток с вечерней пробежки по Иерусалиму.