Математические байки

правильный треугольник сложен из одинаковых прямоугольных красных треугольников и одинаковых равнобедренных зеленых треугольников

во сколько раз площадь большого треугольника больше площади зеленого?

// доступная начинающим задача М.Евдокимова с проходившего вчера Турнира Ломоносова

В день рождения Виталия Дмитриевича Арнольда (1968-2017) напомним о брошюрах Летней математической школы в Дубне, носящей его имя. Старые выпуски доступны для скачивания, новые есть в нашем магазине
https://biblio.mccme.ru/series/167

поздравляем Пьера Делиня с 80-летием!

https://t.me/EtudesRu/761

Замощения плоскости — мозаики — позволяют увидеть равносоставленность равновеликих многоугольников.

Эта идея у нас уже встречалась, например, в одном из доказательств теоремы Пифагора: один слой — это замощение плоскости квадратами двух разных размеров, второй слой — квадратная сетка.

Сегодняшняя модель — разрезание квадрата и равновеликого правильного восьмиугольника на одинаковые части https://etudes.ru/models/square-octagon/ . Его даёт такая мозаика https://t.me/EtudesRu/762 : первый слой — снова замощение плоскости квадратами двух разных размеров, второй слой — сетка из маленьких квадратов первого разбиения и правильных восьмиугольников.

Это и ещё одно разрезание квадрата и правильного восьмиугольника встречается в персидской рукописи неизвестного автора, найденной в 1970 году в национальной библиотеке Франции (Anonymous Compendium / Paris, Bibliothèque nationale de France, Ms. Persan) и датируемой примерно XIV веком.

Интересующимся восточными орнаментами всячески рекомендуем страницу Андрея Ивановича Щетникова — удивительного человека, в частности, известного как автора образовательного проекта GetAClass.

https://old.kvantik.com/art/files/pdf/2020-12.20-22.pdf

продолжаем тему паркетов и геометрии: попробуйте глядя на эти картинки доказать теорему Наполеона и теорему Тебо

или/и почитайте заметку «Теорема Наполеона, замощения плоскости и параллельники» (Г.Мерзон, «Квантик» №12 за 2020 год)

#начинающим

На рисунке изображен паркет из равных прямоугольных треугольников. Произвольные прямоугольные треугольники для такой схемы не подойдут.

Найдите соотношение сторон в этих треугольниках.

Рисунок и задача из журнала «Квантик» №7, 2017, статья Сергея Маркелова «Жесткие паркеты»

Текущее: рабочие картинки. Да, они осмысленные, это не просто каша из графиков и точек. Там ещё и столбики цифр рядом, для пущей стереотипности про работу математика. :)

Как ещё увидеть, что проекция тетраэдра Серпинского вдоль линии, соединяющей середины противоположных рёбер, это квадрат?
Очень просто: нужно взять тетраэдр Серпинского, ясную, солнечную погоду и выйти на улицу.

Двое играют в такую игру. У каждого имеется набор гирь весом от 1 до 55 г. Есть ещё чашечные весы. Игроки по очереди выставляют свои гири на весы — каждый на свою чашку, пока гири не кончатся.

Если в ходе игры наступит момент, когда разность весов между чашками станет равной ровно 50 г (причём неважно, какая чашка окажется тяжелее), то начинающий считается проигравшим, а если такой момент не наступит, проигрывает его соперник.

Кто победит?

Предлагайте стратегии для игроков в комментариях, завтра напишем решение.

https://mccme.ru/ru/nmu/raspisanie

появляется расписание НМУ в осеннем семестре. занятия начинаются с первой недели сентября

все как обычно:
математика «без смс и регистрации» по вечерам для всех желающих заниматься;
будут появляться видеозаписи и прочие материалы;
кто сдает в конце семестра сессию — те и считаются студентами

Пьер Картье (10.06.1932–17.08.2024)

Можно ещё всё это сделать прямо в трёхмерном пространстве — благо, что третье (перпендикулярное плоскости орбиты) направление задаётся вектором момента импульса. И тогда новый сохраняющийся вектор «виртуального» момента тоже будет там же — и вроде бы (я не доводил счёт до конца, но ничего другого получиться не должно) это должен быть вектор Лапласа—Рунге—Ленца, разве что, делённый на квадрат массы (и может быть, ещё на какую-нибудь константу?).

\sqrt{r^2 + (vt)^2} = r \sqrt{1 + (vt/r)^2} = r + (1/2) (vt)^2 / r + o(t^2),
так что вторая производная равна

v^2/r = (vr)^2 / r^3.

Числитель — (vr)^2 — это квадрат углового момента. Так что он вдоль орбиты всегда один и тот же!
А знаменатель r^3 — как раз и соответствует закону всемирного тяготения: куб, как и раньше. Так что, если взять константу
l = (vr)^2/ (GM),
то для разницы (r-l) будет
(r-l)’’ = r’’ = hr + (vr)^2 / r^3
= - GM r / r^3 + (vr)^2 / r^3
= - GM / r^3 * (r- l)
= h (r-l).

Так что трёхмерный вектор R = (x,y,r-l) подчиняется центральному закону
R’’ = h R, h = -GM/r^3.

Ура — теорема доказана!