Geometry Ukraine

На каналі ви могли бачити динамічні картинки деяких теорем чи задач, створенні за допомогою GeoGebra. З точки зору побудови, деякі з них легкі, а деякі складніші і потребували глибокого аналізу, наприклад ця.

А спробуйте самотужки побудувати у GeoGebra наприклад дві такі конструкції, представлені на відео. Зліва та справа у рівносторонній трикутник певним чином вписано кола, червоним кольором позначено дотики, які при ворушінні конструкції мають зберігатись.

Вже скоро проходитиме чергова олімпіада із геометричних побудов у GeoGebra Гекон. Як і завжди, задачі і атмосфера будуть на вищому рівні, тож долучайтесь!

Більше інформації про реєстрацію, дату проведення і тд. дізнайтесь за посиланням.

Дано чотирикутник ABCD, через E, F середини AC і BD проведено пряму що перетинає BC і CD в точках L і K, через які проведено прямі паралельні до AB і AD, що перетинаються в P. Доведіть, колінеарність точок A, E, P.

Дано чотирикутник ABCD, в який вписано коло з центром I. Дотичні в точках А та С до описаного кола трикутника AIC перетинаються в точці Х, а дотичні в точках B та D до описаного кола трикутника BID перетинаються в точці Y.
Доведіть, що точки I, X та Y лежать на одній прямій.

Точки X та Y такі, що CY = MY, BX = MX та ∠CYM = 2∠MAB, ∠MXB = 2∠CAM.
Доведіть, що XY⊥AM.

Нещодавно на гуртку Кванта (на який, до речі, учні 7-9 класів можуть долучитись 😉) було заняття з теми "точка Мікеля" і насправді за останній рік вона для мене заграла новими фарбами.

Ділюся листочком, який знайомить з точкою Мікеля і дає змогу попрактикуватись на відповідних задачах. Головною перевагою цього листочку є те, що майже всi задачi, навіть складні, розв’язуються банальним "перекидуванням" кутiв. Цей "скiл" насправдi є дуже корисним i, на мою думку, чи не найважливiшим взагалi.

Київська міська олімпіада 2025, 2 тур, 8.4

Всередині опуклого чотирикутника 𝐴𝐵𝐶𝐷 обрано точку 𝑃 так що ∠𝑃𝐴𝐷 =∠𝑃𝐴𝐵 =∠𝑃𝐵𝐶 =∠𝑃𝐶𝐵 =∠𝑃𝐷𝐴 = 30°. Доведіть, що ∠𝐶𝐷𝑃 = 30°.

Вадим Соломка

Київська міська олімпіада 2025, 2 тур, 11.3

На сторонах 𝐴𝐵 і 𝐴𝐶 гострокутного нерівнобедреного трикутника 𝐴𝐵𝐶 обрано точки 𝑃 і 𝑄 відповідно так, що центр кола Ейлера 𝑂_9 трикутника 𝐴𝐵𝐶 є серединою відрізку 𝑃𝑄. Нехай 𝑂 – центр описаного кола 𝐴𝐵𝐶. На промені 𝑂𝑃 за точку 𝑃 відклали відрізок 𝑃𝑋 так, що 𝑃𝑋 = 𝐴𝑄, на промені 𝑂𝑄 за точку 𝑄 відклали відрізок 𝑄𝑌 так, що 𝑄𝑌 = 𝐴𝑃. Доведіть, що середина сторони 𝐵𝐶, середина відрізку 𝑋𝑌 і точка 𝑂_9 лежать на одній прямій.

Данило Хілько

Київська міська олімпіада 2025, 2 тур, 9.4

Нехай 𝐻 – точка перетину висот, а точка 𝑂 – центр описаного кола трикутника 𝐴𝐵𝐶. Пряма 𝐴𝐻 вдруге перетинає описане коло ∆𝐴𝐵𝐶 в точці 𝑁. Описане коло ∆𝐵𝑂𝐶 з центром в точці 𝑄 вдруге перетинає пряму 𝑂𝐻 в точці 𝑋. Доведіть, що точки 𝑂,𝑄, 𝑁, 𝑋 лежать на одному колі.

Матвій Курський

Київська міська олімпіада 2025, 2 тур, 7.4

Нехай 𝐵𝐸 і 𝐶𝐹 − медіани △ 𝐴𝐵𝐶, 𝐺 − точка їх перетину. На відрізках 𝐺𝐹 та 𝐺𝐸 знайшлися точки 𝐾 і 𝐿 відповідно такі, що 𝐵𝐾=𝐶𝐿=𝐴𝐺. Доведіть, що ∠𝐵𝐾𝐹 +∠𝐶𝐿𝐸 =∠𝐵𝐺𝐶.

Вадим Соломка

Дуже прикольний та важливий факт)

IO — прямая Ейлера тангенціального трикутника.

Київська міська олімпіада 2025, 2 тур, 10.4

Точка A1 знаходиться всередині гострокутного трикутника ABC така, що ∠ACB = 2∠A1BC та ∠ABC = 2∠A1CB. Точки A і A2 лежать по різні боки відносно прямої BC, причому AA2⊥BC та серединний перпендикуляр до AA2 дотикається описаного кола трикутника ABC. Визначимо точки B1, B2, C1, C2 аналогічно. Доведіть, що описані кола трикутників AA1A2, BB1B2 та CC1C2 перетинаються рівно в двох спільних точках.

Вадим Соломка

Дано описаний чотирикутник... Доведіть перпендикулярність зелених відрізків.

Прокинулись — посміхнулись 🌚

Дано блакитний квадрат та довільну червону точку в середині нього. Доведіть перпендикулярність синіх відрізків.

Київська міська олімпіада 2025, 1 тур, 10-11.3

Діаметр 𝐴𝐷 описаного кола трикутника 𝐴𝐵𝐶 перетинає пряму 𝐵𝐶 у точці 𝐾. Точку 𝐷 симетрично відобразили відносно точки 𝐾 і отримали точку 𝐿. На прямій 𝐴𝐵 обрана така точка 𝐹, що 𝐹𝐿⊥𝐴𝐶. Доведіть, що 𝐹𝐾⊥𝐴𝐷.

Матвій Курський

Київська міська олімпіада 2025, 1 тур, 9.3

Точка 𝐻 − точка перетину висот гострокутного трикутника 𝐴𝐵𝐶, 𝐴𝐷 − його висота. До кола з центром у точці 𝐴 та радіусом 𝐴𝐷 проведено дотичні з точок 𝐵 і 𝐶, які не співпадають з прямою 𝐵𝐶. Ці дотичні перетинаються в точці 𝑃. Доведіть, що радіус вписаного кола ∆𝐵𝐶𝑃 дорівнює 𝐻𝐷.

Данило Хілько

Київська міська олімпіада 2025, 1 тур, 8.3

Для якого найменшого натурального числа n > 3 не існує (не обов’язково опуклий) n-кутник, у якого всі діагоналі рівні? Діагоналлю довільного многокутника називається відрізок, що з’єднує будь-які дві не сусідні вершини цього многокутника.

Антон Тригуб

Давненько не було простих авторок.

Дано трикутник ABC, в якому 2AB²=BC², з медіаною AM. E — точка на стороні АС, така що АВ=ВЕ. Т — така точка, що ∠TBC=∠TCB=∠BAC. На відрізку TE вибрана така точка R, що AR=MB=MC. Доведіть, що MERAB — вписаний.

Пропонуємо ознайомитися з умовами та розвʼязаннями цьогорічної Київської міської олімпіади з математики що проходила сьогодні в локаціях в Києві, Німеччині та Великій Британії. Можна побачити що на сьогоднішньому турі відбувся дебют на олімпіадах традиційного циклу двох нових авторів, один з яких є одним з адмінів цього каналу, з чим ми їх щиро і вітаємо. А в коментарях запрошуємо усіх причетних до обговорень будь-якого роду з приводу усіх задач олімпіади

Продовжуючи тему горобців, задача на ніч:

Зовнішня бісектриса кута A перетинає описане коло трикутника ABC в точці F, у фокусі вписаної параболи Г. Доведіть, що дотична до Г в довільній точці X перетинає AC і BC у таких точках P і Q таких, що BQ = CP.

Просто гарна задачка.

Зелене коло дотикається червоних в точках P, Q, R. Якщо K, L, M - точки перетину внутрішніх дотичних кожної пари кіл, то доведіть, що PK, QL, RM - конкурентні.

https://www.awesomemath.org/wp-pdf-files/math-reflections/mr-2025-01/mr_1_2025_mixtilinear_incircles.pdf

😴

Дано трикутник АВС, точки D та Е на його сторонах задовольняють умову BD = EC. Пряма DE перетинає пряму ВС в точці F, а точка N — середина дуги ВАС описаного колa трикутника ABC. Точка Х — інцентр трикутника ECF, а точка Y — центр зовнівписаного кола DBF.
Доведіть, що NX = NY.

🎨

В синє коло вписано блакитний чотирикутник. Пряма через середини протилежних сторін чотирикутника перетинає діагоналі чотирикутника та коло у фіолетових та рожевих точках відповідно. Доведіть, що пунктирні кола дотикаються до червоного кола у точці перетину діагоналей.

Прокинулись — посміхнулись ✨

Доведіть рівність рожевих відрізків.

Кінець 2019-ого року, я натикав в GeoGebra свою першу авторку...

М — середина ВС, Р середина дуги ВАС. I — центр вписаного кола, D та E точки дотику цього кола зі сторонами AB та AC. X = MI ⋂ DE, Y = PI ⋂ BC.
Доведіть, що XY⊥BC.

Остаточні результати YGO 2024 вже на сайті ☺️

Я сподіваюсь Вам сподобається, я дуже старався. Усіх з Новим роком!

З Новим роком!

Дякую усім за цей неймовірний рік разом. Я вдячний кожному з Вас за підтримку каналу, щиро вам дякую.

З прийдешнім Новим роком! Дякуємо всім підписникам за увагу та підтримку!
Щоб не відставати від трендів, задачка:

Дано трикутник ялинку з кутом 60°. В ялинку вписано сніговика таким чином: в великий трикутник вписано Шар_1, провели дві бісектриси (основами є червоні точки) і в наступний трикутник вписали Шар_2 червоного кольору. Потім аналогічно в трикутнику з червоною основою відмітили дві основи бісектрис (рожеві точки) і вписали рожевий Шар_3. І так далі до Шар_n...
Доведіть, що радіус Шар_1 більший за суму всіх радіусів Шар_2, Шар_3,..., Шар_n.

Нехай Р - множина всіх точок на фіксованій площині. Знайдіть всі функції
f: Р—> P, такі, що для довільних різних точок А,В в Р:

A,B,f(A),f(B) - лежать на одній прямій або на одному колі.

Рік підходить до завершення, а отже пора підводити підсумки. Ось мій (об'єктивний) топ кращих геометричних задач 2024 року:

1. Всередині чотирикутника ABCD, у якого рівними є сторони AB = BC = CD, обрані точки P та Q так, що AP = PB = QC = QD. Пряма, що проведена через точку P паралельно до діагоналі AC, перетинає пряму, що проведена через точку Q паралельно до діагоналі BD, у точці T. Доведіть, що BT = CT.

(10.6 Всеукраїнської олімпіади 2024, автор Михайло Штанденко)

2. Пряма l перетинає сторони BC і AD вписаного чотирикутника ABCD у його внутрішніх точках R і S відповідно, а також перетинає продовження променя DC за точку C у точці Q і продовження променя BA за точку A у точці P. Описані кола трикутників QCR і QDS перетинаються в точці N ≠ Q, а описані кола трикутників PAS і PBR перетинаються в точці M ≠ P. Нехай прямі MP і NQ перетинаються в точці X, прямі AB і CD перетинаються в точці K, а прямі BC і AD перетинаються в точці L. Доведіть, що точка X лежить на прямій KL.

(APMO 2024 P5, автор Михайло Штанденко)

3. Точки A, B, C та D лежать на прямій l у вказаному порядку. Точки P та Q вибрані по один бік відносно прямої l, а точка R – по інший так, що:

∠APB = ∠CPD = ∠QBC = ∠QCB = ∠RAD = ∠RDA.

Доведіть, що точки P, Q та R лежать на одній прямій.

(11.6 Всеукраїнської олімпіади 2024, автори Михайло Штанденко та Федір Юдін)

4. Всередині гострокутного трикутника ABC з висотою AD обрано точки X та Y так, що ∠BXA + ∠ACB = 180∘, ∠CYA + ∠ABC = 180∘ та CD + AY = BD + AX. На промені BX за точку X позначено точку M так, що XM = AC, а на промені CY за точку Y позначено точку N так що YN = AB. Доведіть, що AM = AN.

(7.4 Основного туру відбору на IV етап, автор Михайло Штанденко)

5. Коло γ, що проходить через вершину A трикутника ABC, перетинає його сторони AB та AC вдруге в точках X та Y відповідно. Також коло γ перетинає сторону BC у точках D та E так, що AD = AE. Доведіть, що точки B, X, Y, C лежать на одному колі.

(8.3 Київської міської олімпіади 2024, автор Михайло Штанденко)

А які ще задачі вам сподобались цього року?

YGO 2024, 10-11 класи, Задача 5.

Нехай 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹 — вписаний шестикутник, причому 𝐴𝐷||𝐸𝐹. На діагоналях 𝐴𝐸 та 𝐷𝐹 відмітили точки 𝑋 та 𝑌 відповідно так, що 𝐶𝑋 = 𝐸𝑋 та 𝐵𝑌 = 𝐹𝑌. Нехай 𝑂 — точка перетину 𝐴𝐸 та 𝐹𝐷, 𝑃 — точка перетину 𝐶𝑋 та 𝐵𝑌, 𝑄 — точка перетину 𝐵𝐹 та 𝐶𝐸. Доведіть, що точки 𝑂, 𝑃, 𝑄 лежать на одній прямій.

Матвій Курський

YGO 2024, 9 клас, Задача 5.

Нехай 𝐴𝐿 — бісектриса трикутника 𝐴𝐵𝐶, 𝑂 — центр кола, описано го навколо цього трикутника, 𝐷 та 𝐸 — середини 𝐵𝐿 та 𝐶𝐿 відповідно. На відрізках 𝐴𝐷 та 𝐴𝐸 відмітили точки 𝑃 та 𝑄 так, що 𝐴𝑃𝐿𝑄 паралелограм. Доведіть, що 𝑃𝑄 ⟂ 𝐴𝑂.

Михайло Плотніков

YGO 2024, 8 клас, Задача 4.

На стороні 𝐴𝐵 рівнобічної трапеції 𝐴𝐵𝐶𝐷 (𝐴𝐷||𝐵𝐶) відмітили точки 𝐸 та 𝐹 так, що у чотирикутник 𝐶𝐷𝐸𝐹 можна вписати коло. Доведіть, що описані кола трикутників 𝐴𝐷𝐸 та 𝐵𝐶𝐹 дотикаються.

Матвій Курський

Попередні результати Геометричної олімпіади ім. Ясінського 2024 вже доступні на сайті!

Остаточні результати з розподілом місць будуть опубліковані 1 січня 2025 року.

YGO 2024, 10-11 класи, Задача 4.

Нехай 𝐼 та 𝑀 — інцентр та точка перетину медіан нерівнобедреного трикутника 𝐴𝐵𝐶. Пряма, яка проходить через точку 𝐼 паралельно до 𝐵𝐶, перетинає 𝐴𝐶 та 𝐴𝐵 у точках 𝐸 та 𝐹 відповідно. Відновіть трикутник 𝐴𝐵𝐶, якщо дано лише точки 𝐸, 𝐹, 𝐼 та 𝑀.

Григорій Філіпповський

YGO 2024, 9 клас, Задача 4.

Нехай 𝜔 — описане коло трикутника 𝐴𝐵𝐶, у якому 𝐴𝐵 > 𝐴𝐶. 𝑁 — середина дуги 𝐵𝐴𝐶, 𝐷 — точка на колі 𝜔, для якої 𝑁𝐷 ⟂ 𝐴𝐵, а 𝐼 — центр вписаного кола трикутника 𝐴𝐵𝐶. Відновіть трикутник 𝐴𝐵𝐶, якщо дано лише точки 𝐴, 𝐼 та 𝐷.

Олексій Карлюченко та Григорій Філіпповський

YGO 2024, 8 клас, Задача 5.

На стороні 𝐴𝐶 трикутника 𝐴𝐵𝐶 відмітили точку 𝑃 так, що 3𝐴𝑃 = 𝐴𝐶, а на відрізку 𝐵𝑃 точку 𝑆 так, що 𝐶𝑆 ⟂ 𝐵𝑃. Точка 𝑇 є такою, що 𝐵𝐶𝑆𝑇 паралелограм. Доведіть, що 𝐴𝐵 = 𝐴𝑇.

Богдан Желябовський

YGO 2024, 10-11 класи, Задача 3.

Всередині трикутника 𝐴𝐵𝐶 обрали точки 𝐷 та 𝐸 такі, що ∠𝐴𝐵𝐷 =∠𝐶𝐵𝐸 та ∠𝐴𝐶𝐷 =∠𝐵𝐶𝐸. Точка 𝐹 на стороні 𝐴𝐵 є такою, що 𝐷𝐹||𝐴𝐶, а точка 𝐺 на стороні 𝐴𝐶 є такою, що 𝐸𝐺||𝐴𝐵. Доведіть, що ∠𝐵𝐹𝐺 =∠𝐵𝐷𝐶.

Антон Тригуб

YGO 2024, 9 клас, Задача 1.

Всередині трикутника 𝐴𝐵𝐶 обрали точку 𝐷 так, що ∠𝐴𝐷𝐵 =∠𝐴𝐷𝐶. Промені 𝐵𝐷 та 𝐶𝐷 перетинають описане коло трикутника 𝐴𝐵𝐶 у точках 𝐸 та 𝐹 відповідно. На відрізку 𝐸𝐹 обрали точки 𝐾 та 𝐿 так, що ∠𝐴𝐾𝐷 = 180°−∠𝐴𝐶𝐵 та ∠𝐴𝐿𝐷 = 180°−∠𝐴𝐵𝐶, причому відрізки 𝐸𝐿 та 𝐹𝐾 не перетинають пряму 𝐴𝐷. Доведіть, що 𝐴𝐾 = 𝐴𝐿.

Матвій Курський

З Різдвом! 🎄

YGO 2024, 8 клас, Задача 3.

Нехай 𝑊 — середина дуги 𝐵𝐶 описаного кола трикутника 𝐴𝐵𝐶, яка не містить точку 𝐴. На сторонах 𝐴𝐵 та 𝐴𝐶 відмітили точки 𝑃 та 𝑄 відпо відно так, що 𝐴𝑃𝑊𝑄 паралелограм, а на стороні 𝐵𝐶 точки 𝐾 та 𝐿 так, що 𝐵𝐾 = 𝐾𝑊 та 𝐶𝐿 = 𝐿𝑊. Доведіть, що прямі 𝐴𝑊, 𝐾𝑄 та 𝐿𝑃 перетинаються в одній точці.

Матвій Курський

YGO 2024, 10-11 класи, Задача 1.

Нехай 𝐼 та 𝑂 — центри вписаного та описаного кіл прямокутного трикутника 𝐴𝐵𝐶 (∠𝐶 = 90°), 𝐾 — точка дотику вписаного кола з 𝐴𝐶, а 𝑃 та 𝑄 — точки перетину описаного кола трикутника 𝐴𝑂𝐾 з 𝑂𝐶 та з описаним колом трикутника 𝐴𝐵𝐶 відповідно. Доведіть, що точки 𝐶, 𝐼, 𝑃 та 𝑄 лежать на одному колі.

Михайло Сидоренко

YGO 2024, 9 клас, Задача 3.

Нехай 𝐻 — ортоцентр гострокутного трикутника 𝐴𝐵𝐶, 𝐴𝑇 — діаметр кола, описаного навколо цього трикутника. На сторонах 𝐴𝐶 та 𝐴𝐵 відмітили точки 𝑋 та 𝑌 так, що 𝑇𝑋 = 𝑇𝑌 та ∠𝑋𝑇𝑌 +∠𝑋𝐴𝑌 = 90°. Доведіть, що ∠𝑋𝐻𝑌 = 90°.

Матвій Курський

https://olimp.ippo.kubg.edu.ua/archives/6740

Остаточні результати київської районної Олімпіади.

YGO 2024, 8 клас, Задача 2.

Нехай 𝐼 та 𝑂 — центри вписаного та описаного кіл трикутника 𝐴𝐵𝐶. Точки 𝑃 та 𝑄 такі, що 𝐴𝐼𝑂𝑃 та 𝐵𝐼𝑂𝑄 — рівнобічні трапеції (𝐴𝐼||𝑂𝑃, 𝐵𝐼||𝑂𝑄). Доведіть, що 𝐶𝑃 = 𝐶𝑄.

Володимир Брайман

YGO 2024, 10-11 класи, Задача 2.

Нехай 𝑂 та 𝐻 — центр описаного кола та ортоцентр гострокутного трикутника 𝐴𝐵𝐶. На сторонах 𝐴𝐶 та 𝐴𝐵 відмітили точки 𝐷 та 𝐸 відповідно так, що відрізок 𝐷𝐸 проходить через точку 𝑂 та 𝐷𝐸||𝐵𝐶. На стороні 𝐵𝐶 обрали точки 𝑋 та 𝑌 такі, що 𝐵𝑋 = 𝑂𝐷 та 𝐶𝑌 = 𝑂𝐸. Доведіть, що ∠𝑋𝐻𝑌 + 2∠𝐵𝐴𝐶 = 180°.

Матвій Курський

YGO 2024, 9 клас, Задача 2.

Нехай 𝑀 — середина сторони 𝐵𝐶 трикутника 𝐴𝐵𝐶, 𝐷 — довільна точка на дузі 𝐵𝐶 описаного кола, яка не містить точку 𝐴, 𝑁 — середина 𝐴𝐷. Коло, яке проходить через точки 𝐴, 𝑁 і дотикається до 𝐴𝐵, перетинає сторону 𝐴𝐶 у точці 𝐸. Доведіть, шо точки 𝐶, 𝐷, 𝐸 та 𝑀 лежать на одному колі.

Матвій Курський