Олимпиадная геометрия

Добрая задачка с Baltic Way 2024

Пусть △ABC — остроугольный треугольник с описанной окружностью ω. Высоты AD, BE и CF треугольника ABC пересекаются в точке H. Точка K выбрана на прямой EF так, что KH и BC параллельны. Докажите, что точка, симметричная H относительно прямой KD, лежит на ω.

в «Олимпиадной геометрии» напомнили отличное утверждение

в прямоугольном треугольнике отметили точки касания (вне)вписанных окружностей со сторонами

доказать, что они лежат на двух окружностях

Пост благодарности! Я бы хотел поблагодарить всех участников олимпиады за то, что они не поленились потратить свое воскресное время на решение задач, борьбу с лингвистическими и, порой, техническими трудностями, и это при том, что олимпиада эта не дает практически никаких бенефитов — без вас эта олимпиада была бы неполноценной.

Я бы хотел поблагодарить членов жюри, которые присоединились слушать задачи. Тоже ведь трудно заставить себя поучастовать в воскресном мероприятии, которое ничего кроме радости общения с единомышленниками тебе не принесет. Членам жюри тоже пришлось решать лингвистические и технические задачи, которые ставили перед ними участники. Спасибо вам! Хотелось бы, чтобы нас становилось больше и прослушка проходила в более спокойном режиме!

Я бы очень хотел поблагодарить авторов задач, которые не пожалели потратить свои творения на в общем-то никому пока неизвестную олимпиаду. В этом году, на мой взгляд, вариант получился значительно более интересным именно благодаря вам. Спасибо и тем, кто прислал свои задачи, но задачи нам почему-то не подошли. Я очень надеюсь, что вы не перестанете придумывать задачи и будете столь же отзывчивы на наши просьбы о помощи!

Я бы, конечно, хотел поблагодарить организаторов, потому что без их инициативы это мероприятие уж точно не состоялось бы. Организаторам всегда приходится не сладко, а работу их почти никто не видит.

Ну и конечно, я хотел бы поблагодарить своих коллег по методической комиссии!

Надеюсь олимпиада будет расти! И мы проведем ее еще лучше в следующем году. Пока что все задачи можно найти на аопсе. Но очень скоро мы доделаем и официальный файлик с условиями и решениями.

Еще одна задача из юниорской лиги. Мне нравится! Автор Алексей Доледенок.

Вписанная окружность прямоугольного треугольника ABC касается его гипотенузы AB в точке D. Центр окружности — точка I. На луче DI выбрана точка E так, что ∠AEB = 45°.

Точки P и Q — основания перпендикуляров из E на стороны AC и BC соответственно. Описанная окружность треугольника DPQ пересекает стороны AC и BC в точках X и Y. Докажите, что AX = BY.

Редко можно увидеть геометрию на олимпиаде под первым номером. Но вот в юниорской лиге была как раз такая. Даны два равных квадрата. Доказать, что один красный отрезок равен сумме двух других! Если автор этой задачи не фольклор, то Александр Смирнов.

Еще один шедевр от Георгия Галяпина и Станислава Кузнецова

Дан четырехугольник ABCD и точка P, не лежащая на описанных окружностях треугольников ABC, BCD, CDA и DAB. Пусть точки Pa, Pb, Pc и Pd} — изогонально сопряжены точке P относительно треугольников BCD, ACD, ABD и ABC соответственно. Оказалось, что прямые PaPc, AC и BD пересекаются в одной точке. Докажите, что через эту же точку проходит прямая PbPd.

Участники мне рассказали очень красивое решение, которое только добавляет этой задаче красоты (в дополнение к красивому решению, которое я и так знал).

Шедевр от Кирилла Бельского из старшей лиги прошедшей сегодня устной командной олимпиады JetBrains. Задача, в которой есть секрет, которого, возможно, никто из участников и не увидел...

Серединный перпендикуляр к биссектрисе AL треугольника ABC пересекает стороны AB и AC в точках F и E, а описанную окружность Omega треугольника в точках P и Q. Касательные в точках P и Q к Omega пересекаются в точке R. Докажите, что описанные окружности треугольников AEF и PQR касаются.

Стаття про сопряження Клоусона.

Enjoy!

Пункты а, б и в одной задачи. Доказать, что красные точки лежит на одной окружности. Конкурс на самое элементарное решение))

Чуть больше суток осталось до окончания регистрации на устную командную олимпиаду... Не забудьте если собирались!

Ну и вот вам простая геометрия про прямоугольный треугольник с юниорской корейской олимпиады 2024

Разминка №17(окружности Лукаса). Синие четырёхугольники - квадраты:

Докажите, что если два красных отрезка параллельны, то все три параллельны.

На стороне BC треугольника ABC с ортоцентром H отмечена точка M. Перпендикуляр к BC в точке M пересекает прямые BH и CH в точках P и Q соответственно. Докажите, что ортоцентр треугольника HPQ лежит на прямой AM.

Мексиканская олимпиада 2024, Problem 4

На самом деле задачка выше очень тесно связана с теоремой (леммой) о сегменте. И при таком взгляде она выглядит для меня куда более понятной и осязаемой

Переосмысление старых идей...

I — центр вписанной окружности треугольника ABC. Докажите, что окружности FEJ и BCJ касаются.

Задачка из фэйсбука. Автор Alin Creţu

Так-так-так... Разыскиваются сильные команды, способные решить все задачи на JetBrains Math Challenge! Мне кажется, что в этот раз это будет не так просто... До окончания регистрации осталась всего неделя! А до самой олимпиады всего две недели (чуть меньше)!

(Кстати, это хороший способ потренироваться перед Колмом...)

USEMO 2024 P3. Автор: Matsvei Zorka.
Докажите равенство зеленых.

Хитрое геометрическое неравенство с первого тура идущего полным ходом Уральского турнира. Автор: А. Кузнецов

Первый человек, решивший задачу верно, получит возможность обучаться на «Живой Классике» абсолютно бесплатно, а следующим 5 счастливчикам будет предоставлена скидка 50% на покупку спецкурса! 🤑

Как сдать задачу?

Конечно же через Таксу Дусю! Это ваш главный виртуальный помощник, который будет сопровождать вас на протяжение всего обучения.

Отправляйте решение задачи, и бот передаст их преподавателям, которые, в свою очередь, дадут фидбэк в течение 24 часов. Кстати, на нашем основном курсе ребята тоже получают комментарии в течение одного дня.

Что еще умеет Дуся?

🐶 Такса Дуся — многофункциональный бот и умеет не только принимать задачи, но и много чего еще:

🐾 Предоставляет подсказки и мотивацию, если вы столкнулись с трудностями в решении задач.

🐾 Напоминает об эфирах. Не упустите важные онлайн-разборы и лекции — Дуся заранее уведомит вас о них.

🐾 Информирует о новостях. Оставайтесь в курсе последних событий, включая анонсы новых курсов и других мероприятий.

🐾 Отвечает на вопросы по условиям задач. Если у вас возникли сложности с пониманием задания, Дуся свяжет вас с преподавателем или ассистентом для получения необходимой помощи.

🐾 Показывает личный рейтинг. Следите за своим прогрессом, чтобы постоянно стремиться к новым достижениям.

🐾 Помогает родителям отслеживать успеваемость. Родители могут в один клик получить отчеты о достижениях своего ребенка.

Скорее решайте задачку и скидывайте ее Дусе — не упустите возможность стать участником спецкурса бесплатно!

А вот кстати, завтра закроется регистрация на математический курс от Jet Brains. За три недели мы там поговорили про многочлены в целом, про разностный многочлен и вычисление разных сумм, про интерполяцию. Сейчас у нас первая неделя комбинаторного (дискретно-вероятностного) блока. И в нем мы дали одну, кажется, довольно трудную задачу. На вчерашний день ее правильно решил только один человек... из 400 зарегистрировавшихся на курсе (ну ладно, кого я обманываю, из 80-ти активно решающих). В конце недели опубликую эту задачу в комбинаторном канале (@olympcomba)...

Слишком много дизлайков... Вот вам тогда задача с командной олимпиады проходящего сейчас Уральского турнира (63-го? я сбился со счета...)

CM — медиана равнобедренного остроугольного треугольника ABC (AB = BC). Точка D на отрезке CM такова, что AD — внешняя биссектриса угла MDB. Точка E на отрезке CM такова, что CE = BD. Докажите, что BE = AD.

Всем привет! Трудно себе представить, что вы подписаны на какой-нибудь геометрический канал и еще не слышали про спецкурс Ивана Кухарчука. Но все-таки, все-таки... если вы еще не слышали...

Живая классика это не какой-то элитный жилой комплекс в центре Москвы, а геометрический спецкурс Ивана Кухарчука на платфоме Дабромат! Там будут всякие классические сюжеты, которые пока еще не стали достаточно популярными среди задачных композиторов и решателей, несмотря на их классичность... Это будет без сомнения интересно и качественно!

Если бы мне заплатили за эту рекламу, то я без сомнения потратил эти деньги на спецкурс Живая классика!

Условия прошедшей сегодня устной олимпиады по геометрии!

Если писали тур, расскажите, какие задачи вам понравились/не понравились.

Решения появятся в течении следующей недели

Еще один листик для начинающих. Вообще таких зада очень и очень много и их очень любят давать на олимпиадах младших классов, но именно в этот листик вошло всего восемь задач...

Поризм Брокара. Все шесть углов имеют фиксированную величину

Гайз (энд гёрлз)! Регистрация на JetBrains Youth Challenge наконец-то открылась!

Напоминаю, что математическая командная олимпиада состоится уже 17-го ноября сего года!

Нам прислали кучу супер красивой и сложной геометрии, хоть отдельное соревнование устраивай, ну и всего остального по чуть-чуть, так что вариант обещает быть жарким, по части геометрии так точно.

На всякий случай, напомню, что в математических командах может быть от 1 до 3 человек, а соревнование проводится в двух возрастных категориях (проверяйте на входе, сеньоры вы или юниоры). Дополнительный челлендж — олимпиада проводится на английском языке и она устная, впрочем в прошлом году некоторые команды решали этот вопрос творчески и с юмором! Прямо поставил бы дополнительные баллы за находчивость!

Еще один дополнительный челлендж для некоторых локаций — олимпиада проводится в Дискорде. Но тут, я надеюсь, находчивость вам тоже поможет. Если вы не знаете, как побороть технические трудности, а поучаствовать вы ооочень хотите, то мы придумаем, как вам помочь.

На какой уровень сложности задач надо ориентироваться? Это очень тонкий вопрос... В прошлом году мы слегонца недооценили то, какие сильные команды придут к нам, поэтому в этом году мы планируем перестраховаться и дать задачи посложнее в конец варианта.

Короче, будем рады вас видеть на нашей олимпиаде.

Устная командная олимпиада по математике на ломаном английском в Дискорде это круто и весело!

Осенний тур 46го Турнира городов состоялся!

На сайте Турнира опубликованы условия сложного варианта, прошедшего в это воскресенье!

The autumn round of the 46th Tournament of Towns was successfully held!

Problems of the A-level, that took place this Sunday, are already published on the website.

#осеннийтур #46турниргородов
#46tournamentoftowns

Несколько месяцев назад Tran Quang Hung придумал классную задачу и прислал ее мне, сказав, что Алексей Заславский придумал к ней счетное решение в барицентрических координатах. Я ему в ответ послал относительное геометрическое решение...

Сейчас автор планирует опубликовать ее на аопсе, так что я не вижу препятствий к публикации у себя на канале.

Шалтай-Болтайная ось треугольника ABC отрезает от него треугольник ADE. Докажите, что Шалтай-Ботайная ось ADE параллельна BC.

В Сириусе в эти дни проходит отбор кандидатов в национальную сборную России по математике 💪

Сегодня в рамках отборочных мероприятий состоялась очень серьезная Sirius Mathematical Olympiad 🧐

Представляем вашему вниманию первую задачу второго дня этой олимпиады 🔥

Задача. По высотам остроугольного неравнобедренного треугольника из его вершин одновременно начали ползти три жука с одинаковыми скоростями.

В некоторый момент оказалось, что первый и второй жук находятся на вписанной в треугольник окружности. Докажите, что в этот момент и третий жук тоже находится на этой окружности 🪲🐞

Условия олимпиады можете найти в канале главного тренера сборной России Кирилла Андреевича Сухова 😎

Пять лет прошло... ну надо же...

Хочу начать ведение этого канала с задачи, которая мне очень нравится и близка. Как всегда в память западают красивые задачи, которые очень долго решал и в конце концов решил, получив от этого истинное наслаждение. Эта задача перекочевала из олимпиады в задачник нашего кружка, когда я был семиклассником, и более года ее никто не мог решить, хотя решение ее доступно любому, освоившему тему площади. Итак, задача.

Эта задача с Турнира Городов 94/95, осенний тур, 10-11.3.

1. Медиана AM треугольника ABC пересекает вписанную в него окружность в точках X и Y. Известно, что AB=AC+AM. Найдите угол XIY, если I - центр вписанной окружности треугольника.

Задача эта сложна тем, что абсолютно не понятно, как подступиться к точкам пересечения медианы и вписанной окружности. Однако намеком является соотношение на длины отрезков, данное в условии. Перед тем как читать решение я рекомендую вспомнить, как решается схожая, но более простая задача: если прямая, проходящая через центр вписанной окружности треугольника, делит его площадь пополам, то она делит пополам и его периметр.

#геометрия #задачи #олимпиады #тургор #8класс #9класс

Я вчера вечером реально очень удивился, когда его нашел... Почему я не знал его?!... Но да, факт имеет понятную природу на самом деле и является баяном. Но не поделиться им не могу.

Fe - точка Феербаха треугольника ABC.

Еще интересная теорема о замыкании.

продолжаю публиковать листочки для начинающих геометров. вот листик про осевую симметрию, в котором знать почти ничего и не надо.

раз уж нарисовал — грех пропадать такой красоте. вычисление суммы кубов натуральных чисел методом пристального вглядывания. (для JB Math Club)

Продолжаю публиковать листики для начинающих геометров. Сегодня про параллелограммы, и даже точнее: если параллелограмма нет, то может стоит его нарисовать...

Классная задача! Мне когда-то Кирилл ее прислал, а я ее не решил)

Сегодня последний день Южного математического турнира. А это значит, что пришла пора финальных боев ! 🔥

И, конечно, наше внимание было приковано к финалу лиги Гранд, где сражались команды Саранска и Московской области.

Борьба была столь напряженной, что в одном из раундов команда Саранска использовала все свои полминутные тайм-ауты, дабы поддержать своего докладчика на проверке корректности 🤯

Вызов оказался корреткным, но с определнными дырками в решении, которые стоили явно не одного седого волоса участникам команды Саранска 😓

Кроме того, в бою сыграли обе геометрии, причем с нетривиальным счетом. Подробности боя вы можете узнать в комментариях, посмотрев протокол, а мы представляем вашему вниманию одну из этих прекрасных планиметрических задач — уже третью в нашем канале от одного и того же автора — Кирилла Бельского 😎

Задача. Дан треугольник 𝐴𝐵𝐶 и на его описанной окружности на меньшей дуге 𝐵𝐶 выбраны точки 𝑃, 𝑄, 𝑅, 𝑆. Точки 𝑃′, 𝑄′, 𝑅′, 𝑆′ лежат на прямых 𝐴𝑃, 𝐴𝑄, 𝐴𝑅, 𝐴𝑆 так, что середины отрезков 𝑃𝑃′, 𝑄𝑄′, 𝑅𝑅′, 𝑆𝑆′ лежат на прямой 𝐵𝐶. Оказалось, что 𝐵, 𝑃′, 𝑄′ — одна прямая и 𝐶, 𝑅′, 𝑆′ — одна прямая. Докажите, что точки 𝑃′, 𝑄′, 𝑅′, 𝑆′ лежат на одной окружности.

Напряженный поединок завершился уже после начала закрытия турнира ! Победила команда Саранска, с чем мы ее и поздравляем 👏👏👏

Отдельно хотим отметить нашего подписчика, капитана команды Саранск и автора замечательного канала по геометрии Нагуманова Юсуфа. Юсуф удостоен высшей личной награды Южного турнира — диплома имени Дмитрия Германовича Фон-дер-Флаасса

УРА ! 👏🔥🥳

#красота_спасет_мир #ЮМТ

Снова шедевр от нашего подписчика Кирилла Бельского 💪

Несмотря на то, что формулировка очень простая и изящная, задачу не решила ни одна команда турнира 🤯
Она не бьется никакой техникой и при том имеет идейное геометрическое решение 🔥

Кроме того, есть и другое читерское решение, которое задумал автор. Но до этого чита никто не догадался 🙂

Задача. Пусть Ω — вневписанная окружность треугольника 𝐴𝐵𝐶, которая касается продолжений сторон 𝐴𝐵 и 𝐴𝐶 в точках 𝐸 и 𝐹 соответственно. Докажите, что касательные к (𝐴𝐵𝐶), проведенные в 𝐵 и 𝐶 пересекаются на Ω тогда и только тогда, когда 𝐸𝐹 касается (𝐴𝐵𝐶).

к эллипсографу, конечно, предыдущая анимация имеет отношение...

В начале этого учебного года у разных своих старшеклассников провел занятия про параболы. Мне кажется, это интересно и есть много тем для обсуждения. Получился довольно длинный листочек... Думаю, запишу видео-разбор скоро

Автор 13-ой задачи Ф. Нилов

#красота_спасет_мир #ЮМТ

Команда авторов канала сейчас на Южном математическом турнире 🙂

Мы будем держать вас в курсе событий 😉 Ожидается очень много крутых геометрий 🔥

А вот и первая — своеобразный тест на профессионала с довольно изящной формулировкой от Павла Александровича 🤗

Задача. Трапеция 𝐴𝐵𝐶𝐷 (𝐴𝐵 ‖ 𝐶𝐷) вписана в окружность Ω. Рассмотрим всевозможные окружности Γ, которые касаются отрезка 𝐶𝐷 и той дуги 𝐶𝐷 окружности Ω, что не содержит точек 𝐴 и 𝐵. Пусть Γ касается сторон некоторого угла ∠𝐴𝑃𝐵 в точках 𝐾 и 𝐿 соответственно. Докажите, что сумма 𝐴𝐾 + 𝐵𝐿 постоянна (то есть не зависит от выбора окружности Γ).

На командной олимпиаде в старшей лиге была еще одна прикольная геометрия от нашего подписчика Вовы Конышева. С ней справилась всего одна команда! 🤯

Условие и картинку к сложной задачке вы сможете найти в комментариях к посту 👇
Там же лежит неподвижная картинка к задаче от Павла Александровича 💜

Добавляйтесь в наш чат, чтобы ничего не пропустить!

Продолжаем традицию! Листик для начинающих геометров. Немного посложнее — про правильные многоугольники.

Всем привет! В этом году JetBrains Youth Challenge (устная командная олимпиада) будет проходить осенью, во второй половине ноября. Нам бы хотелось подобрать чуть более авторские и, на самом деле, чуть более сложные задачи для соревнования в этом году, в частности, по геометрии.

Если вы уже не школьник и придумали задачу, которая кажется вам интересной, и которую вы не афишировали, то вы можете прислать ее мне на адрес [email protected] с пометкой JetBrains Youth Challenge в теме. Мы постараемся оперативно ее оценить и сообщить вам, вошла ли задача в шортлист (на случай, если вы хотели бы ее предложить еще куда-то). Я буду вам очень благодарен))

Гайз, лет ми спик фром май харт! Но не про геометрию.

Пока я тут немного болел, коллеги как раз подготовили основу для этой вот новости. Дело в том, что JetBrains решил организовать абсолютно бесплатные онлайн кружки клубы по математике, программированию и AI. Цели этих кружков клубов я бы обозначил как подготовить неокрепшие школьные умы к обучению в университете, а заодно и посеять доброе, вечное и бесплатное.

Я не вполне знаю, как устроены кружки клубы по программированию и AI, но преподаватели там супер-пупер классные, так что, думаю, что очень хорошо устроены. Но я точно знаю, как устроен математический кружок клуб, поскольку преподавателем в нем буду я.

1. Раз в неделю будет стрим-лекция с разбором избранных задач и теоретическим материалом. Это будет по субботам ориентировочно в 16:00 по московскому времени (ориентировочно, потому что в какой-то момент часовые пояса разъедутся в разных странах в разные стороны).

2. На неделю участникам будет предлагаться 15 задач по теме от самых простых упражнений до вполне себе хороших олимпиадных задач. В первом полугодии задачи будут с автоматической проверкой ответов.

3. Тематически в первом полугодии речь пойдет о многочленах, комбинаторике, дискретной вероятности, теории чисел и графах. То есть ни слова о геометрии (ну почти))) Уровень предполагает самые-самые базовые знания, то есть если вы крутой олимпиадник, то вам скорее всего это будет не по уровню. А если вам не хватает базы, то вам как раз сюда.

4. Особенность курса состоит в том, что он будет проходить на английском языке. Но зато при хорошей успеваемости баллы, полученные на курсе, можно будет конвертировать во вступительные баллы на бакалаврскую программу от JetBrains.

5. Технически все будет происходить на платформе Cogniterra с группой поддержки и общения в Дискорде.

Поддержим волну! Листок этой недели про квадраты для вчерашних семиклассников на основе замечательной книги А.Д. Блинкова «Геометрия стандартная и не очень». Для решения задач достаточно материала седьмого класса!