Математическая эссенция

21 ноября 1891 г. родился Родион Осиевич Кузьмин. Основные труды в области теории чисел, математического анализа и теории специальных функций. Его работы характеризовались трудностью поставленных вопросов и остроумием решения. Решил проблему Гаусса о цепных дробях. Решил седьмую проблему Гильберта (о трансцендентности большого класса чисел). Получил важные результаты в теории дзета-функции Римана, связанные с вопросом о распределении простых чисел. Соавтор (совместно с Н.М. Гюнтером) учебного пособия «Задачник по высшей математике», выдержавшего множество изданий, переведён на иностранные языки. В течение многих лет именно этот задачник составлял основу экзамена по математике в знаменитом «ТеорМинимуме» Л.Д.Ландау.

Из воспоминаний Д.Р. Меркина: «Родион Осиевич Кузьмин читал нам курс дифференциальных уравнений. Он очень любил добродушную шутку, бывал на наших вечерах, рассказывал о студентах, приезжавших в Университет на рысаках, и как он сам зарабатывал себе на пропитание частными уроками (50 копеек за урок), идя пешком через весь город. Читал лекции Родион Осиевич спокойно, возможно, не очень усердно готовясь к ним, иногда кое-что забывал и сбивался, но, как ни странно, это приносило нам пользу — мы видели процесс мышления этого сильного математика. Один раз он рассматривал сложный, но принципиально важный пример. Он запутался, как-то выкрутился и получил ответ. Некоторые студенты на лекции говорили ему, что здесь что-то не то, но он посмотрел на выписанный ответ ещё раз и сказал, что всё верно. Следующую лекцию он начал словами: “Зачеркните все прошлые выкладки; по дороге домой я вспомнил, что ответ значительно короче”. Такие промашки нисколько не снижали его авторитета. Мне кажется, что у студентов и Родиона Осиевича была взаимная симпатия».

Ариолла Милодан. Раздумья о множествах Мандельброта

Ветреной осени рыжей фрактальностью
Выстелен путь от меня и до прошлого.
Веток обугленных строгой детальностью
Вычерчен вечер… Сырой и взъерошенный.

Осень, скажи мне, а правда ли, надо ли
Так бесноваться, единственность празднуя? –
Множества полнились, множества падали,
Множества царствуют… Броские, разные.

Множества луж. Антрацитные, рыжие,
Серые с синью и с проседью, кажется…
Кажется, улицы лужами выжжены —
Осень опять с Мандельбротом куражится.

Множества листьев. Пурпурные, жёлтые,
Яркие с хрустом и блеклые с шорохом…
Капли развеяны, грани расколоты —
По ветру — стаями, по ноги — ворохом.

Множества нас… Захлебнулись подобием! —
И повторяем их пляски! — Но подле них
Мы — только копии, копии, копии…
В прошлом, быть может, имевшие подлинник.

Осень безумна, правдива и образна
Листьями, синью, фракталами, временем…
Взглядом из прошлого, осень, ты можешь знать,
Что делать нам, единицам потерянным?

Станут ли лужи и листья ответами?
Будут ли правдою? Примем ли это мы?

Звонко мурчит, не терзаясь вопросами,
Рыжая кошка… Она не из осени.

«Будучи языком, математика может использоваться не только для информирования, но и для соблазнения»

«К сожалению, мир создан не для удобства математиков»

«Бездонные чудеса рождаются из простых правил, которые повторяются без конца»

«Задавать правильные вопросы не менее важно, чем отвечать на них»

20 ноября 1924 г. родился Бенуа Б. Мандельброт — французский и американский математик, создатель фрактальной геометрии.
Фракталы представляют собой бесконечно повторяющиеся математические фигуры. Независимо от того, насколько вы увеличиваете их, одна и та же неправильная форма будет повторяться снова и снова в бесконечно меньших масштабах.

Фракталы имеют дробную размерность множества в метрическом пространстве. Для определения размерности таких множеств используют подход, разработанный Хаусдорфом. Здесь небольшая заметка о фигурах дробной размерности.

Рассказывают, что среднюю букву «Б» в имени «Бенуа Б. Мандельброт» математик сам добавил в своё имя. Она расшифровывается «Бенуа Б. Мандельброт» — так Мандельброт превратил своё имя в фрактал.

«Необъяснимо высокая эффективность математики в науке — это дар, который мы не понимаем и не заслуживаем».

17 ноября 1902 г. родился Юджин Вигнер, лауреат Нобелевской премии по физике «за вклад в теорию атомного ядра и элементарных частиц, особенно с помощью открытия и приложения фундаментальных принципов симметрии». Он первым понял силу принципов симметрии в предсказании инвариантностей физических процессов.

Из вступления к статье Юджина Вигнера «Непостижимая эффективность математики в естественных науках»:

«Рассказывают такую историю. Встретились как-то раз два приятеля, знавшие друг друга еще со студенческой скамьи, и разговорились о том, кто чем занимается. Один из приятелей стал статистиком и работал в области прогнозирования изменения численности народонаселения. Оттиск одной из своих работ статистик показал бывшему соученику. Начиналась работа, как обычно, с гауссова распределения. Статистик растолковал своему приятелю смысл используемых в работе обозначений для истинных показателей народонаселения, для средних и т. д. Приятель был немного недоверчив и отнюдь не был уверен в том, что статистик его не разыгрывает. — Откуда тебе известно, что все обстоит именно так, а не иначе? — спросил он. — А это что за символ? — Ах, это, — ответил статистик. — Это число π. — А что оно означает? — Отношение длины окружности к ее диаметру. — Ну, знаешь, говори, да не заговаривайся, — обиделся приятель статистика. — Какое отношение имеет численность народонаселения к длине окружности?
Мы, естественно, склонны улыбаться, видя такую непосредственность. Но когда я слушал эту историю, мною, признаться, овладело чувство ужаса. В самом деле: ведь реакция молодого человека была проявлением обычного здравого смысла. Такое же чувство я испытал с еще большей силой несколько позже, когда ко мне зашел студент, выразивший свое удивление ограниченным выбором фактов, на основе которых мы устанавливаем справедливость своих теорий, так: «Откуда известно, что нельзя — если обратить внимание на явления, которыми мы пренебрегали, и игнорировать те явления, которые сейчас являются для нас определяющими, — построить другую теорию, мало похожую на существующую, но объясняющую столько же явлений, сколько объясняет современная теория?». Следует признать очевидным, что никто не может доказать невозможность такой теории.
Эти две истории подчеркивают две главные идеи, которым посвящена статья. Первая идея: математические представления могут оказаться в совершенно неожиданной связи. Более того, они часто приводят к неожиданно удачному и точному описанию явлений в этой связи. Вторая идея: именно благодаря упомянутой широте применения математических представлений и тому факту, что мы не понимаем причин такой широты, мы ниоткуда не может узнать, единственна ли теория, сформулированная на языке наших математических представлений. Мы похожи на человека со связкой ключей, который, пытаясь открывать одну дверь за другой, всегда находит правильный ключ с первой или второй попытки. Это заставляет его сомневаться относительно взаимно-однозначного соответствия между ключами и замками.
Большая часть того, что здесь будет сказано по этому поводу, отнюдь не ново. Сходные мысли в том или ином виде, вероятно, приходили в голову многим ученым. Моя главная цель — осветить этот вопрос с нескольких сторон. С одной стороны, невероятная эффективность математики в естественных науках есть нечто граничащее с мистикой, ибо никакого рационального объяснения этому факту нет. С другой стороны, именно эта непостижимая эффективность математики в естественных науках выдвигает вопрос о единственности физических теорий».

Наталья Иванова. Лист Мёбиуса

Лист Мёбиуса — символ математики,
Что служит высшей мудрости венцом…
Он полон неосознанной романтики:
В нем бесконечность свернута кольцом.

В нём — простота, и вместе с нею — сложность,
Что недоступна даже мудрецам:
Здесь на глазах преобразилась плоскость
В поверхность без начала и конца.

Здесь нет пределов, нет ограничений,
Стремись вперед и открывай миры,
Почувствуй силу новых ощущений,
Прими познанья высшего дары:

Познай любовь и ненависть изведай,
Низвергнись в ад — тотчас увидишь рай.
Ты в одночасье насладись победой
И горечь пораженья испытай.

На грани бесконечного блаженства
Испытывая суеверный страх,
Найдешь свой путь. Достигнув совершенства,
Окажешься в таинственных мирах.

И, вдохновленный этим дерзновеньем,
По экспоненте поднимаясь в высь,
Ты ощутишь восторг освобожденья,
Почувствуешь, как возникает Мысль.

Покажется, что распростерлась Вечность,
Что взломан Мироздания пароль.
И вдруг твое стремленье в бесконечность
Тебя вернет к исходной точке: в ноль.

Как о порог, об этот ноль споткнешься.
Но как бы ни был прежний путь тернист,
Вновь выбирай (и ты не ошибешься!)
Путь в бесконечность — Мёбиуса лист!

На фото: из письма В.И. Арнольда Н.Ю. Ивановой.

17 ноября 1790 г. родился Август Фердинанд Мёбиус — немецкий математик, механик и астроном-теоретик. Установил существование односторонних поверхностей и в связи с этим стал знаменит как изобретатель ленты Мёбиуса — простейшей неориентируемой двумерной поверхности с краем, допускающей вложение в трёхмерное евклидово пространство. Ввёл однородные и барицентрические координаты.

16 ноября 1835 г. родился Эудженио Бельтрами — итальянский математик, известный своими работами по дифференциальной геометрии и математической физике. Бельтрами сыграл значительную роль в признании неевклидовой геометрии. В частности, он показал, что геометрия Лобачевского на плоскости локально реализуется на некоторой поверхности в трёхмерном пространстве, называемой псевдосферой или поверхностью Бельтрами; первым построил проективную модель и конформно-евклидову модель геометрии Лобачевского. Разработал метод решения волнового уравнения с тремя пространственными переменными.

Прогрессивные взгляды д'Аламбера в эпоху Просвещения послужили идеологической подготовкой Великой французской революции.
Поэт Ф.К. Сологуб пишет об этом (1923 г.) в свойственной ему мрачной манере:

Когда-то мудрый д'Аламбер
Успехи армии немецкой
Приветствовал. Какой пример
Для нашей проповеди детской!

А за примером и урок.
О чём, о чём же мы мечтали,
Когда и Запад и Восток
Мы на восстанье разжигали?

Не ты ли, милый Мопассан,
Нам показал судьбой ужасной,
Что бунтом Франции был дан
Подарок грозный и опасный?

На девятнадцатый весь век
Легла густая тень паденья,
И стал добычей человек
То пошлости, то вырожденья.

«Воображение созидающего геометра ничуть не меньше, чем у творящего поэта; Архимед заслуживает места рядом с Гомером, Ньютон — с Корнелем».
«Алгебра щедра, она часто даёт больше, чем у нее просят».
(По поводу первой цитаты вспоминается Пушкин с его «Вдохновение нужно в геометрии, как и в поэзии» — 35-томная Энциклопедия наук, искусств и ремёсел, где приведена эта фраза Д’Аламбера, была в личной библиотеке поэта — он выиграл её в карты у своего знакомого Ивана Великопольского в 1826 г.)

16 ноября 1717 г. родился Жан Лерон Д’Аламбер — французский учёный-энциклопедист. Широко известен как философ, математик и механик.
Первые труды Д’Аламбера по математике и физике были посвящены движению твёрдых тел в жидкостях и интегральному исчислению. Известность Д'Аламберу принес «Трактат по динамике», в котором был описан метод сведения динамики твёрдых тел к статике (принцип Д'Аламбера). В работе «Исследования по интегральному исчислению» он дал первое (не вполне строгое) доказательство основной теоремы алгебры о существовании корней алгебраического уравнения. Учёный опубликовал статью по теории поперечных колебаний струн, где дал метод решения дифференциального уравнения 2-го порядка в частных производных. Также получил важные результаты в теории обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, ввёл понятие предела, в теории рядов ввёл признак сходимости.

В 1867 году, когда Шалю было 74 года, он представил в Академии наук доказательства того, что слава Ньютона незаслуженна: француз Паскаль якобы открыл основополагающие законы физики раньше англичанина. Разразился скандал. Англия выступила с протестом, но Шаль представил в Парижскую академию наук целое собрание найденных будто бы писем Галилея, Паскаля, Ньютона и других известных личностей, включая даже письма Александра Македонского к Аристотелю и Клеопатры к Цезарю.
Однако внимательное изучение представленных Шалем письменных доказательств показало, что он стал жертвой самого заурядного мошенничества: некто Денис Врен-Люк продал учёному уникальную коллекцию писем, с тем чтобы «они не уплыли из Франции».
Непостижимым в этой истории является то обстоятельство, что Мишель Шаль, человек образованный и умный, так просто позволил мошеннику обвести себя вокруг пальца. Среди этих писем были: послание Аттилы франкам, письмо Эсхила Пифагору, письмо Архимеда «горячо любимому Гиерону», гневная эпистола, посланная Юлием Цезарем предводителю галлов Верцингеториксу, 135 писем Карла Великого (о котором доподлинно известно, что он не умел писать), письмо Александра Македонского Аристотелю, два письма за подписью Иисуса Христа (причем через дефис), письмо, адресованное Понтием Пилатом императору Тиберию, письмо Иуды Искариота Марии Магдалине, послание последней воскресшему Лазарю, 124 письма Жанны д'Арк, 35 писем Христофора Колумба несравненному Рабле, а также переписка Сократа, Нерона, Овидия, Платона, Тацита, Данте, Шекспира и других исторических персонажей. По основной научной специальности академика в его коллекции хранилось 1745 писем Паскаля, 622 письма Ньютона и 3000 писем Галилея.
Самое удивительное состоит в том, что вся эта феерическая корреспонденция была составлена на старофранцузском языке — вернее, на имитирующей его галиматье. По легенде все эти документы были не оригиналами, а переводами, будто бы сделанными в XVI веке в Турском аббатстве.
Аферист Врен-Люк был сыном провинциального садовника. Самоучка, окончивший лишь начальную школу, он все свободное время проводил в парижской библиотеке, где нахватался бессистемных и бесполезных знаний. Затем он поступил конторщиком к одному парижскому специалисту по генеалогии, который за большие деньги составлял родословные. На этом месте он и научился основам фальсификации документов.
Французская Академия наук, поддавшись чарам патриотизма, выступила со следующим заявлением: «Никакой человек, без сомнения, не был бы в состоянии настроить свое душевное состояние и писать в духе Галилея, Мильтона, Людовика XIV или какого-нибудь другого знаменитого человека и притом о вещах в высшей степени темных и трудных. Слог – это человек. Какому-нибудь жалкому обманщику, без сомнения, было бы чрезвычайно трудно возвыситься до благородной простоты Людовика XIV. Точно так же и другие письма, в большом количестве представленные г. Шалем, носят в себе признаки подлинности, ибо нигде нельзя было открыть следов отсутствия связи между ними, таковые же непременно обнаружились бы, если бы они были подложны».
Интересно, что полностью раскрыть грандиозный обман смогло не научное сообщество, а парижская полиция. Зарвавшийся маэстро Врен-Люк попытался нагреть имперскую библиотеку и угодил в кутузку. Скрупулёзное изучение его трудовой биографии вывело полицейских на след сказки о коллекции писем. Фантазии Врен-Люка в глазах французского уголовного суда потянули на два года тюрьмы и крупный штраф.
А раздавленный горем Мишель Шаль сквозь зубы признал, что слава открытия гравитации по праву принадлежит Ньютону.

15 ноября 1793 г. родился Мишель Шаль, французский математик. Основные работы относятся к проективной геометрии, механике, истории математики.
Шаль доказал важную теорему о классификации движений:
На плоскости:
Всякое сохраняющее ориентацию движение плоскости представляет собой либо поворот, либо параллельный перенос.
Всякое меняющее ориентацию движение плоскости является осевой или скользящей симметрией.
В пространстве:
Всякое сохраняющее ориентацию движение пространства является скользящим поворотом.
Всякое меняющее ориентацию движение пространства является композицией зеркальной симметрии и скользящего поворота.

Несложно сделать пособие, иллюстрирующее первую часть теоремы о классификации движений на плоскости. На сайте Матэтюды сделана его виртуальная версия. На листе бумаги и на прозрачной плёнке нанесён один и тот же рисунок — случайным образом закрашенные клетки таблицы. В исходном положении на лист накладывается плёнка таким образом, чтобы рисунки совпадали. Затем плёнка немного сдвигается произвольным образом. В результате почти всегда закрашенные клетки будут располагаться на концентрических окружностях и будет ощущение видимости этих окружностей. (Если только не повезло сделать параллельный перенос.) Это и показывает, что движение было поворотом.

13 ноября 1878 г. родился Макс Ден, немецкий математик, известный своими работами в области геометрии, топологии и геометрической теории групп. Первым (в 1900 г.) решил одну из проблем Гильберта (третью): всегда ли можно ли разрезать два многогранника равного объёма на одинаковые куски? Ответ на этот вопрос в статье Инвариант Дена.

Решение задачи по ссылке.

Решение задачи по ссылке.

«В своей работе я всегда старался соединить истинное с прекрасным, но когда мне приходилось выбирать одно или другое, я обычно выбирал прекрасное»

«Классическая математика, взращенная верой в абсолют, превосходящий все человеческие возможности реализации, выходит за рамки утверждений, которые могут претендовать на реальный смысл и истину, основанную на опыте»

«Логика — это своего рода гигиена, которая позволяет математику поддерживать свои идеи здоровыми и сильными»

«Математика — это вид умственной деятельности, а не набор точных знаний»

«Математика – это не мёртвая схема, которая омертвляет всё вокруг нас, как часто думают непосвященные: нет, здесь мы находимся именно на том узловом перекрёстке необходимости и свободы, который является сущностью самого человека»

«Объективный мир просто есть, он не случается. Лишь для взора моего сознания, карабкающегося по мировой линии жизни моего тела, порождается часть мира как образ, плывущий в пространстве и непрерывно меняющийся во времени»

9 ноября 1885 г. родился Герман Вейль — выдающийся немецкий математик и физик-теоретик.

По мнению И.М. Яглома: «История математики знает не много учёных, равных Вейлю по своим заслугам; он принадлежит к числу классиков математической науки, о которых пишутся исследования и защищаются диссертации. При этом поражает разносторонность Вейля: и в арифметику (теорию чисел), и в алгебру, и в геометрию, и в анализ этот великий “математический полиглот” внёс вклад, который будут помнить многие поколения учёных. И когда сегодня мы вспоминаем Германа Вейля, то прежде всего приходит на память его колоссальная разносторонность, его умение в каждой частности видеть “математику в целом” и в “математике в целом” различать всё многообразие задач и методов, тенденций и идей...»

Под псевдонимом Поль Монгре Хаусдорф писал стихи, философские эссе и сатирические пьесы.
Вот одно из его стихотворений (к сожалению, профессионального стихотворного перевода на русский язык мне не удалось найти).

Медленно идти по дрожащим равнинам,
где изначально длится непрерывный звук,
к дыму и миру в спиральном смутном танце
разворачивать душу в небе.
Беспрепятственно наблюдать, не задерживаясь взглядом
на поворотах, или лицах, или углах,
медленно идти по дрожащим равнинам,
где изначально длится непрерывный звук.
Свободная от всего собственного,
не связанная с человеком, чистая песня,
звук без источника, который его производит.
Нестись, плавать, проходить без форм, движения,
медленно идти по дрожащим равнинам.

Несмотря на то, что Хаусдорф был немецким патриотом и во время Первой мировой войны несколько лет в качестве добровольца служил в немецкой пехоте, он, будучи евреем, во время национал-социалистического режима был вынужден носить звёзды Давида, подвергался преследованию и унижениям вплоть до 26 января 1942 года, когда вместе с женой предпочёл самоубийство неизбежной депортации в концентрационный лагерь Эндених. Сохранилось письмо, которое Хаусдорф написал в воскресенье, 25 января 1942 г. В нем он писал: «Auch Endenich ist noch vielleicht das Ende nich». Эта фраза является жутким каламбуром слов «Endenich», район Бонна, и «Ende» и «Nicht», что означает «конец» и «нет»: «Несмотря на это, Эндених, может быть, ещё не конец».

«Есть в математике нечто, вызывающее человеческий восторг!»
«Когда у нас нет женщины, которую можно любить, мы любим человечество, науку или вечность. Идеализм, который всегда отмечает отсутствие чего-то лучшего, есть заменитель эротизма».

8 ноября 1868 г. родился Феликс Хаусдорф — немецкий математик, один из основоположников современной топологии. Обогатил принципиально новыми идеями и подходами ряд областей математики. В теории множеств Хаусдорф полностью решил проблему мощности борелевых множеств, построил теорию меры в пространствах многих измерений, разработал теорию упорядоченных множеств. Хаусдорф является основателем общей топологии и общей теории метрических пространств, которые благодаря ему, особенно его теории топологических пространств, заняли центральное место в современной математике. Фундаментальные результаты получены Хаусдорфом также в математическом анализе, теории непрерывных групп, в теории чисел и других областях математической науки.

Э. Галлей. Ода Исааку Ньютону. 1687 г.

Перевод с латинского Валерия Брюсова

К знаменитейшему мужу
Исааку Ньютону на сей его труд
математико-физический, великую славу
нашего века и народа нашего

Вот тебе мера Небес и весы божественной Массы,
Вот и Юпитера счёт. Утвердив вещей изначалье,
Эти законы свои нарушать всеродящий Создатель
Не пожелал, положив вековечные мира основы
Се – побежденного Неба вскрываются тайные недра,
Не утаиться и крайний светилам, вращаемым Силой;
Солнце, на троне воссев, всё к себе наставляет стремиться
Быстрым наклонным путём; невозможно нигде колесницам
Звёздным свой путь повести по прямой в пустоте бесконечной,
Всё увлекает оно, в центре став неизменной орбиты.
Ныне зловещих комет путь загнутый стал нам понятен.
И не дивимся мы боле звезды появленьям косматой.
Мы познаём, наконец, почему серебристая Феба
Шагом неровным свершает свой путь; почему, не подвластна
Ни одному астроному досель, числ узду отвергала.
Вспять возвращая Узлы, Апогеи вперед продвигая,
Мы познаём, и какими бродячая Цинтия движет
Силами Понт восстающий, когда тростники покидает
Спавшими волнами, ил морякам обнажая коварный,
речными сменами в берег последний стучась неустанно.
Всё, что терзало не раз мудрецов стародавних раздумья.
Всё, что бесплодно колеблет охриплыми спорами Школы,
Ныне мы можем решить, облака разгоняя Познаньем.
Кто сомневался, тех мглой никакой ум не давит ошибка,
Коим проникнуть в дома небожителей, к высям небесным
Путь обрести — даровала чудесная Гения тонкость.
Смертные! время воспрянуть, земные отбросить заботы!
Первый учил и людей одарил кто благами Цереры,
Кто утешенье скорбей выжимать сказал из винограда,
Кто показал, как на Нильских тростинках возможно нам звуки
Объединять в письменах, голоса пред очами являя, –
Меньше судьбу человека возвысил, как будто бы видеть
Был он способен лишь блага немногие в бедственной жизни.
Доступ уж мы получили к пирам Небожителей, Неба
Вышнего вправе законы судить, и засовы открыты
Тайные темной Земли, всех вещей изначальный порядок,
Было что утаено от веков предыдущего мира.
Оное вскрывшего нам прославляйте со мной в песнопеньях,
Вы, кто питаться при жизни божественным нектаром рады,
Ньютона славьте, ковчег нам открывшего истины скрытой,
Ньютона, Музам Парнаса любезного, в чьей груди чистой
Феб пребывает, сознанье ему божеством наполняя.
Смертному больше, чем это, к богам не дано приближаться.