Математическая свалка Сепы

Коммутативные квадраты абелевых групп часто появляются в математике. Полезно знать их базовые свойства. Если вы знаете спектральную последовательность бикомплекса, и рассмотрите коммутативный квадрат как бикомплекс, то вы сможете доказать эти свойства c закрытыми глазами, без листочка бумаги.

Следующие утверждения эквивалентны:
1) центральный квадрат — пулбэк;
2) последовательность
0 → A → A'⊕B → B'
точна;
3) α' — изоморфизм и β' — мономорфизм.

Двойственные утверждения тоже эквивалентны
1) центральный квадрат — пушаут;
2) последовательность
A → A'⊕B → B' → 0
точна;
3) α' — эпиморфизм и β' — изоморфизм.

Получаем, что и следующие утверждения эквивалентны.
1) центральный квадрат — пулбэк и пушаут;
2) последовательность
0 → A → A'⊕B → B' → 0
точна;
3) α' и β' — изоморфизмы.

Конечно, здесь всё симметрично относительно замены (α, β) на (φ,ψ). Поэтому α' и β' изоморфизмы тогда и только тогда, когда
φ' : Ker(α) → Ker(β)
ψ' : Coker(α) → Coker(β)
изоморфизмы.

Это работает в любой абелевой категории.

𝑙_p-комплексы Виеториса-Рипса

Мы с моим китайским другом Сяоменгом выложили препринт, в котором определяем обобщение комплекса Виеториса-Рипса, зависящее от дополнительного параметра
1≤𝑝≤∞. В этом определении используется 𝑙_p-норма. При 𝑝=∞ получается обычный комплекс Виеториса-Рипса, а при 𝑝=1 — пространство, гомологии которого — это размытые магнитудные гомологии.

Таким образом, мы объединяем эти две теории и утверждаем, что их следует изучать вместе. В частности, мы доказываем, что для компактного риманова многообразия 𝑀 при малом параметре 𝑟 этот комплекс гомотопически эквивалентен 𝑀 для любого 𝑝. Мы также приводим доказательства других свойств, которые ранее были известны для классического комплекса Виеториса-Рипса. Например, при переходе к пополнению метрического пространства гомотопический тип 𝑙_p-комплекса Виеториса-Рипса сохраняется.

Кроме того, мы доказываем свойство, которое удивило некоторых специалистов по магнитудным гомологиям. Мы показываем, что гомологии нашего 𝑙_p-комплекса Виеториса-Рипса коммутируют с фильтрующимися копределами метрических пространств. Важно отметить, что в этом доказательстве используется строгое неравенство в определении комплекса; для нестрогого неравенства это свойство не выполняется. В частности, строго размытые магнитудные гомологии коммутируют с фильтрующимися копределами, а нестрого размытые (как и обычные магнитудные) не коммутируют.

Подробности в прикреплённой далее презентации, и в архиве

https://arxiv.org/abs/2411.01857

Комплекс Виеториса-Рипса окружности

Комплекс Виеториса-Рипса VR(X,r) метрического пространства X — это (абстрактный) симплициальный комплекс, симплексы которого — это конечные непустые подмножества Х диаметра строго меньше r, где r — это положительный вещественный параметр. Этот комплекс используется в геометрической теории групп, метрической геометрии, и топологическом анализе данных. Например, в геометрической теории групп они пользуются тем, что для гиперболической группы G и для любого выбора конечного набора порождающих в ней, комплекс Виеториса-Рипса графа Кэли стягиваем для любого достаточно большого параметра r.

Есть теорема о том, что для компактного Риманова многообразия M и достаточно малого параметра r>0 геометрическая реализация VR(M,r) гомотопически эквивалентна M. То есть при малых r гомотопический тип VR(M,r) не зависит от метрики, а зависит только от гомотопического типа M. Что происходит с гомотопическим типом VR(M,r) при больших значениях параметра r — это загадочный вопрос.

Например, если взять окружность периметра один S^1 с внутренней метрикой, то все сферы нечётных размерностей S^1, S^3, S^5,... появляются как гомотопические типы VR(S^1,r).

Например,

0 < r ≤ 1/3 ⇒ |VR(S^1,r)| ≃ S^1;

1/3 < r ≤ 2/5 ⇒ |VR(S^1,r)| ≃ S^3;

2/5 < r ≤ 3/7 ⇒ |VR(S^1,r)| ≃ S^5;

....

1/2 ≤ r ⇒ |VR(S^1,r)| стягиваемо.

Таким вот необычным способом можно получить все нечётные сферы из окружности.

Есть гипотеза, что для любого компактного Риманова многообразия M связность |VR(M,r)| возрастает с ростом r.

Есть так же какие-то вычисления для эллипсов с Евклидовой метрикой.

https://arxiv.org/abs/1503.03669

https://publish.illinois.edu/ymb/files/2020/03/Hausmann-1995-On-the-Vietoris-Rips-complexes-and-a-cohomology-th.pdf

https://arxiv.org/abs/1704.04956

Дима Каледин, математик (старожилы русского интернета могут знать его имя по старому ЖЖ), опубликовал 600-страничную статью , в которой описывает новый подход к абстрактной теории гомотопии, над которым он работал много лет. Он предлагает этот подход в качестве альтернативы популярной в последние 20 лет теории категорий бесконечных порядков Джейкоба Лурье.

Я совершенно некомпетентен в этих вопросах и не имею собственного мнения о работе Каледина (или о школе Лурье), но должен сказать, что первые 40 страниц статьи Каледина - введение - прочел с огромным интересом; что-то понял, другое пропустил, и все равно интересно. Рекомендую.

Очень понравились слова Каледина о силе нарратива, это что-то, в чем я неоднократно убеждаюсь в своей жизни и своих мыслях снова и снова:

"I still remember a talk in Tokyo, in 2008, after which a prominent algebraic geometer came to me and said something like this: “I liked your talk; of course, the last thing the world needs are new foundations for homological algebra, but at least, there was a story”. This was one of the best pieces of advice I ever had: no matter what you do, people will listen if there is a story."

Антон Капустин, у которого я прочитал об этой работе, тоже хвалит ее введение и замечает, что хорошо бы кто-то выпустил книгу, состоящую только из особенно хороших предисловий к математическим статьям или книгам. Да, такое я бы с удовольствием почитал.

вот ещё видео моего старого доклада про гипотезу Эндрюса-Кёртиса

https://youtu.be/sQ6rRSOLX6M?si=ebfn6rRwGkXvvE5n

Копия поста из контакта (22 июля 2018 г).
_______________________

Гипотеза Эндрюса-Кёртиса

Допустим, что у нас есть несколько элементов r_1, ...,r_n какой-то группы. Тогда преобразования этого набора
(1) r_i —> r_ir_j для i≠j;
(2) r_i —> r_i^{-1};
(3) r_i —> r_i^g, где g любой элемент;
не меняют нормальную группу, которую порождают эти элементы. Если один такой набор элементов можно получить из другого при помощи преобразований (1)-(3), то мы назовём их эквивалентными. Легко проверить, что при помощи этих преобразований можно получить любую перестановку исходного набора. Поэтому можно добавить перестановку в качестве ещё одного преобразования, а можно не добавлять.

Гипотеза Эндрюса-Кёртиса говорит, что для любого сбалансированного копредставления (т.е. количество порождающих равно количеству соотношений) тривиальной группы
< x_1,...,x_n | r_1,...,r_n >=1
набор элементов r_1,...,r_n эквивалентен "стандартному" набору x_1,...,x_n. Иначе говоря, все такие наборы эквивалентны. Гипотеза открыта. Люди не верят, что она верна. Причём, есть много потенциальных контрпримеров, про которые ничего не удаётся доказать. Даже для n=2.

Гипотеза возникла из топологии, которую я не хочу объяснять. Смотри в их прикреплённой статье 65-ого года.

Компьютерными методами проверено, что для любого копредставления тривиальной группы
<x,y | r,s>=1
такой, что |r|+|s|<13, где модуль обозначает длину слова, гипотеза верна. А в случае |r|+|s|=13 проверили, что любое такое копредставление либо эквивалентно тривиальному, либо копредставлению
<x,y | xyx=yxy, x^4=y^3 >
(Havas,Ramsay'03).
Поэтому это копредставление <x,y | xyx=yxy, x^4=y^3 > сейчас наиболее подозрительно на контрпример.
Более того, это всё посчитали люди в 2003, а потом другие люди обратились к этому копредставлению в 2016 (Panteleev, Ushakov) и тоже не смогли доказать, что оно эквивалентно стандартному.

Доказано (Bridson'15), что при n=4 можно построить последовательность примеров P_k, где сумма длин соотношений будет расти линейно по k, но минимальное количество необходимых элементарных движений к тривиальному будет расти очень быстро, быстрее любых экспонент; больше чем 2^(2^(2^(...^2)...) где количество возведений равно log(k).

Как можно пробовать доказать, что она неверна? Свободная группа слишком сложна. Можно спроектироваться на более понятые группы, в которых уже можно разобраться с тем, какие наборы эквивалентны, посмотреть на проекции потенциальных контрпримеров и показать, что они не эквивалентны стандартному. Какие более-менее понятные группы мы знаем? Первое, что приходит в голову: разрешимые и конечные. Для разрешимых так не получится (Мясников'85), для конечных — тоже (Borovik, Lubotzky,Myasnikov'03). А именно, аналоги гипотезы Эндрюса-Кёртиса верны для разрешимых групп и для конечных групп.

Можно ещё попробовать спроектроваться на группу Григорчука и тоже обломаться: https://arxiv.org/pdf/1304.2668.pdf .

В статье Burns,Macedonska'93 года даётся понятие M-преобразования, которое в какой-то степени заменяет преобразования (1)-(3). Мне не очень важно, что можно использовать только его, мне просто нравится, что его можно использовать. Оно более "крупное" (одно M-преобразование содержит много преобразований типа (1),(3)). И очень интуитивно понятное. Именно про помощи него проще всего доказывать руками, что какие-то примеры эквивалентны стандартному. Вот определение

(M) r_i —> r'_i, где r_i ≡ r'_i mod « r_1,...,r_{i-1},r_{i+1},...,r_n».

То есть факторизуешь по всем остальным соотношениям, кроме данного, и заменяешь его на любое другое равное в этой фактор группе.

Есть ещё "стабильная" версия этой гипотезы, которая связана с теорией простых гомотопий (Simple-homotopy theory). И всякие её варианты, которые были недавно решены при помощи того, что GL_2 не равно GE_2 для кольца многочленов Лорана (см. https://arxiv.org/pdf/1806.11493.pdf ). Может, ещё напишу об этом отдельно потом, чтобы самому подробнее разобраться.

🚀 @SBERLOGASCI webinar on mathematics and data science:
👨‍🔬 Sergei Gukov "What makes math problems hard for reinforcement learning: a case study"
⌚️ 19 September, Thursday 19.00 Moscow time

Add to Google Calendar

Can AI solve hard and interesting research-level math problems? While there is no mathematical definition of what makes a mathematical problem hard or interesting, we can provisionally define such problems as those that are well known to an average professional mathematician and have remained open for N years. The larger the value of N, the harder the problem. Using examples from combinatorial group theory and low-dimensional topology, in this talk I will explain that solving such hard long-standing math problems holds enormous potential for AI algorithm development, providing a natural path toward Artificial General Intelligence (AGI).

The talk is based on a recent paper: https://arxiv.org/abs/2408.15332

О докладчике: Сергей Гуков - профессор КалТех, выпускник МФТИ и Принстона, один из наиболее известных специалистов по теории струн и математической физике, в последние годы занимающийся применением методов Reinforcement Leaning к задачам математики и физики.

Zoom link will be in @sberlogabig just before start. Video records: https://www.youtube.com/c/SciBerloga and in telegram: https://t.me/sberlogasci/19688 - subscribe !

Анонс на твиттер:
https://x.com/sberloga/status/1835702457260765359
Ваши лайки и репосты - очень welcome !

Когда-то я писал про гипотезу Эндрюса-Кёртиса. И про то, что представление Акбулата-Кирби AK(3)
< x, y | x^3 = y^4, xyx = yxy >
является потенциальным контрпримером к ней. И к стабильной версии, и к нестабильной. Используя искусственный интеллект, люди доказали, что это не контрпример к стабильной версии. Про нестабильную версию, как я понял, вопрос остаётся открытым.

https://arxiv.org/pdf/2408.15332

Свободные диаграммы симплициальных множеств и гомотопические копределы.

Нужно мне было значит какие-то очень конкретные гомотопические копределы симплициальных множеств руками посчитать. И так и сяк пробовал, потом поговорил с разными людьми, нашел рабочий метод, и решил тут зафиксировать на будущее. Метод называется — замена диаграммы пространств на свободную диаграмму пространств.

Пусть у вас есть функтор из какой-то категории в категорию симплициальных множеств
F : D —> sSets.
Он называется свободным (сдвободное D-пространство, свободная диаграмма), если для каждого n≥0 и d∈D можно выбрать такие подмножества (базис функтора)
B_{n,d} ⊆ F(d)_n,
которые замкнуты относительно вырождений
s_i( B_{n,d} ) ⊆ B_{n+1,d},
и для каждого симплекса x ∈ F(d)_n, существует единственный морфизм
f : d' —> d
и единственный элемент базиса b∈ B_{n,d'} такой, что
F(f)(b)=x.

Для свободного функтора его копредел совпадает с гомотопическим копределом (каноническое отображение является слабой эквивалентностью).

Наиболее рабочий способ вычислять руками конкретные гомотопические копределы, который работает в моём конкретном случае, — это построить морфизм из "удобной" свободной диаграммы в вашу диаграмму, состоящий из слабых эквивалентностей. Типа выбрать удобную "кофибратную замену". Подбор удобной замены — это хитрое дело. Есть стандартные замены, но они большие, неудобные. Как при вычислениях гомологий групп через резольвенту, угадывание хорошей резольвенты — это половина работы, так и тут.

Многие диаграммы сразу свободные. Например, если есть два вложения симплициального множества в два других симплициальных множества
S' <—< S >—> S'',
то это свободная диаграмма. И гомотопический пушаут совпадает с обычным пушаутом. Если есть последовательность вложений симплициальных множеств
S^0 >—> S^1 >—> S^2 —> ...,
то это свободная диаграмма, и гомотопический копредел совпадает с копределом. Это стандартная тема.

Приведу более сложный пример, который мне был полезен для понимания. Допустим, у вас есть последовательность вложений, которая теперь проиндексирована не натуральными числами, а целыми.
... >—> S^{-1}>—> S^0 >—> S^1 >—> ...
Если их пересечение не пусто, то это не свободная диаграмма. Для простоты предположим, что все они состоят из одной точки
S_n = *.
Как в этом (казалось бы простейшем) случае гомотопический копредел посчитать? Нужно каждое S_n заменить на слабо эквивалентное S'_n такое, чтобы пересечение было пусто. Например, в качестве S'_n можно выбрать такое одномерное симплициальное множество
... —> (n-2) —> (n-1) —> (n),
составленное из склеенных отрезков, проиндексированных целыми числами не больше n. Такой симплициальный аналог луча (-∞,n]. Более строго его можно описать как 1-скелет от нерва упорядоченного множества целых чисел не больше n. Отображения
S'_n —> S'_{n+1} определить как вложения. И получается, что это уже свободная диаграмма и копредел это объединение, которое стягиваемое.

Список литературы:

[1] Dwyer, William G., and Daniel M. Kan. "Function complexes for diagrams of simplicial sets."
(Определение свободной диаграммы §2.4.
Утверждение про гомотопические копределы §4.2.)

[2] Farjoun, Emmanuel Dror. "Homotopy and homology of diagrams of spaces."
(Прежде всего §2.4)

[3] Farjoun, Emmanuel. "Cellular spaces, null spaces and homotopy localization"
(Аппендикс "Homotopy colimits and fibrations").

Путевые гомологии — это не гомологии пространства.

Когда я впервые услышал о путевых гомологиях орграфов, меня удивило сочетание дурацкости определения и замечательности свойств. Сразу захотелось найти нормальное определение, из которого эти свойства бы легко следовали. Самое очевидное желание — построить по орграфу пространство, гомологии которого — это путевые гомологии орграфа. Прошло уже больше двух лет с тех пор, как я впервые начал заниматься путевыми гомологиями, и вот только сейчас наконец вдвоем с постдокшей по имени Син разобрались, что построить такое пространство невозможно. Во всяком случае, невозможно построить пространство, гомологии которого совпадают с путевыми гомологиями орграфа с коэффициентами во всех кольцах одновременно.

Для нарисованного выше орграфа G не существует топологического пространства X, гомологии которого совпадали бы с путевыми гомологиями G с коэффициентами одновременно и в ℤ, и в ℤ/2.

https://arxiv.org/abs/2407.17001