Математическая эссенция のテレグラム投稿

19 февраля 1473 г. родился Николай Коперник — польский астроном, математик, механик, врач, экономист эпохи Возрождения. Наиболее известен как автор гелиоцентрической системы мира, положившей начало первой научной революции.
Размышляя о Птолемеевой системе мира, Коперник поражался её сложности и искусственности. Изучая сочинения древних философов, он пришёл к выводу, что не Земля, а Солнце должно быть неподвижным центром Вселенной. Исходя из этого предположения, Коперник весьма просто объяснил всю кажущуюся запутанность движений планет.
Создавая свою гелиоцентрическую систему, Коперник опирался на математический и кинематический аппарат теории Птолемея, на полученные последним конкретные геометрические и числовые закономерности.
Главное и почти единственное сочинение Коперника, плод более чем 40-летней его работы, — «О вращении небесных сфер»; сочинение издано в Нюрнберге в 1543 г.
Модель мира Коперника была колоссальным шагом вперёд и сокрушительным ударом по архаичным авторитетам — низведение Земли до уровня рядовой планеты определённо подготавливало ньютоновское совмещение земных и небесных природных законов.
Однако, с современной точки зрения, модель Коперника недостаточно радикальна. Все орбиты в ней круговые, движение по ним равномерное, так что эпициклы сохранялись (хотя их стало меньше, чем у Птолемея). Механизм, обеспечивавший движение планет, также оставлен прежним — вращение сфер, к которым планеты прикреплены. На границу мира Коперник поместил сферу неподвижных звёзд. Строго говоря, модель Коперника даже не была гелиоцентрической, так как Солнце он расположил не в центре планетных сфер.

М.В. Ломоносов:
Случились вместе два Астро́нома в пиру
И спорили весьма между собой в жару.
Один твердил: «Земля, вертясь, круг Солнца ходит»;
Другой, что Солнце все с собой планеты водит.
Один Коперник был, другой слыл Птоломей.
Тут повар спор решил усмешкою своей.
Хозяин спрашивал: «Ты звёзд теченье знаешь?
Скажи, как ты о сём сомненье разсуждаешь?»
Он дал такой ответ: «Что в том Коперник прав,
Я правду докажу, на Солнце не бывав.
Кто видел простака из поваров такова,
Который бы вертел очаг кругом жаркова?»

Решение задачи по ссылке.

Прогрессивное научное мировоззрение Галилея, приведшее к его конфликту с догматическим церковным мировоззрением и ставшее определённым символом противостояния науки и церкви, не мешало Галилею практиковать астрологию. И хотя он высмеивал астрологию как профессию, опирающуюся на самые «неопределённые, если не ложные, основания», время от времени сам составлял гороскопы для студентов и аристократов, что в те времена входило в компетенцию математиков. Мало того, математики должны были учить студентов-медиков использовать гороскопы для назначения подходящего лечения. Сохранилось более двух десятков астрологических карт, начерченных Галилеем — на себя, своих детей, своих студентов, покровителей и членов их семей.

Есть ещё легенда о том, что Галилей страдал от клеветы коллег больше, чем от преследований инквизиции. У этой легенды много красноречивых сторонников, в их числе значится поэт Евгений Евтушенко:
Учёный, сверстник Галилея,
был Галилея не глупее.
Он знал, что вертится Земля,
но у него была семья.
И он, садясь с женой в карету,
свершив предательство своё,
считал, что делает карьеру,
а между тем губил её.
В этих стихах считывается исторический прецедент. Сделав свои открытия, Галилей с 1609 по 1611 г. довольно активно их пропагандировал, предлагая разным людям — в их числе и венецианский дож, и папа римский — лично убедиться существовании и четырёх спутников Юпитера, и гор на Луне, и мириад звёзд в составе Млечного Пути. Но один из коллег Галилея по Падуанском университету, Чезаре Кремонини, которого Галилей считал своим другом, отказался смотреть в телескоп. Его отказ был мотивирован тем, что от оптической трубы нечего ждать, кроме обмана зрения — Кремонини считал себя несведущим в астрономии и потому не имеющим права судить об увиденном, каким бы оно ни было. За этим скрывается довольно сложный философский вопрос о доверии к увиденному: для многих современников Галилея «просто увидеть» было недостаточно. Сам же Галилей придерживался мнения, что истина, однажды обнаруженная, становится очевидной.
Так или иначе, слова Евтушенко о «предательстве» неслучайны. В научно-популярной литературе ответственность за донос на Галилея в инквизицию нередко возлагалась именно на Кремонини — учёного коллегу, отказавшегося смотреть в телескоп. Но сейчас хорошо известно, что в инквизицию обратились два монаха-доминиканца Томмазо Каччини и Никколо Лорини, которых точно нельзя считать коллегами Галилея.

То, что Галилей сказал знаменитую фразу «А все-таки она вертится!» сразу после своего отречения — всего лишь красивая легенда.
Фраза «Eppur si muove» не встречается ни в одном из современных Галилею источников — ни в протоколах суда, ни в последующих работах и переписке ученого. Её не зафиксировал и первый биограф Галилея Винченцо Вивиани. Впервые она появляется в хрестоматии «Italian library», составленной литератором Джузеппе Баретти и опубликованной в Лондоне в 1757 г., то есть спустя 124 года после суда. Баретти пишет: «Как только Галилей был отпущен на свободу, он поднял глаза к небу, затем опустил их на землю, сделал шаг и в задумчивости произнес: „Eppur si muove“».
Стоя на коленях, Галилей зачитывал текст отречения, в котором признавал еретическим мнение, что Солнце находится в центре мира и не движется, а Земля вращается вокруг него. Текст отречения составлен так, чтобы в нём утверждалось, будто доказательство этого еретического мнения не было намерением Галилея. Да и сам он в ходе процесса пытался убедить судей, что хотел прямо противоположного — показать ошибочность учения Коперника. Конечно, заявление, что Земля всё-таки вертится, в такой ситуации было бы совершенно нелогичным и никак бы не вписывалось во всю стратегию защиты Галилея на процессе.

В 1992 г. папа Иоанн Павел II официально признал, что инквизиция в 1633 г. совершила ошибку, силой вынудив учёного отречься от теории Коперника. Тем не менее современные теологи Ватикана утверждают, что приговор Галилею был гуманным, а значительная доля вины за случившееся ложится на самого Галилея.
Одна из версий церковных историков состоит в том, что церковь судила Галилея за гелиоцентризм, чтобы спасти его от более тяжкого обвинения — в атомизме.

Общеизвестна легенда о том, что Галилей ниспроверг аристотелевскую физику, бросив одновременно мушкетную пулю и пушечное ядро с Пизанской башни. Никаких доказательств, написанных рукой самого Галилея, о выполнении этого эксперимента нет. Как нет доказательств и того, что Галилей скатывал шарики по наклонной плоскости или, бросал шарики, смоченные тушью, вдоль листа бумаги, чтобы они, пролетая, оставляли на нём красивые параболы. Эти истории сочинил искренне восхищавшийся своим учителем биограф Галилея Винченцо Вивиани ради придания большего драматизма в опровержении им теории Аристотеля. Для биографа, который ошибся в дате рождения своего героя, а также не всегда достоверно передавал суть его теорий, такие приукрашивания вполне объяснимы.
Большие сомнения вызывает и демонстративность эксперимента по сбрасыванию шаров с Пизанской башни: принимая во внимание высоту башни, можно утверждать, что Галилею, стоящему наверху, сложно было бы разглядеть, насколько одновременно приземлятся брошенные им пуля и ядро, а собравшимся внизу зрителям сложно увидеть, одновременно ли два эти предмета начали движение, да и вообще — стоять внизу, когда сверху летит пушечное ядро, стараясь оказаться поближе к месту его падения, наверное, не лучшая идея.
А в своём знаменитом «Диалоге» Галилей и вовсе утверждает, что не надо бросать ни пулю, ни ядро, чтобы убедиться, что они, падая, должны проделать одинаковый путь за совершенно одинаковое время. Он пишет:
«Представьте себе два предмета, один из которых тяжелее другого, соединённых верёвкой друг с другом, и сбросьте эту связку с башни. Если мы предположим, что тяжёлые предметы действительно падают быстрее, чем лёгкие и наоборот, то лёгкий предмет должен будет замедлять падение тяжёлого. Но поскольку рассматриваемая система в целом тяжелее, чем один тяжёлый предмет, то она должна падать быстрее него. Таким образом мы приходим к противоречию, из которого следует, что изначальное предположение (тяжёлые предметы падают быстрее лёгких) — неверно».
Поистине удивительным в этом мысленном эксперименте Галилея является то, что это — ошибочное на самом деле — рассуждение привело его к верному результату!
Ошибка рассуждений заключается в неявном предположении, что ускорение тел зависит только от одной физической величины — «тяжести» (то есть от гравитационной массы). Если бы масс было две (гравитационная и не равная ей инертная), то подобное «доказательство» провести было бы нельзя. Эта ошибка легко выявляется, если заменить в этом мысленном эксперименте веса тел на электрические заряды, а притяжение Земли — на притяжение третьего тела с бо́льшим зарядом. В случае зарядов правым оказывается скорее Аристотель, чем Галилей, хотя рассуждения можно повторить один в один. Независимость ускорения тела от его массы связана с пропорциональностью инертной и тяжелой масс. Конечно, во времена Галилея ещё не было ни закона Кулона, ни законов Ньютона, и аргументы Галилея казались убедительными. Но сегодня к ним можно относиться скорее как к риторическому приёму, чем как к аргументу.
С помощью своего воображаемого эксперимента Галилей стремился построить физику на базе математики. Однако, подменив опыт математическим доказательством, он совершил логическую ошибку: его рассуждение о прохождении телом всех степеней медленности имеет чисто математический характер, но при этом остаётся недоказанным, что между физическим движением и его математической моделью в предельном случае — а именно такой случай и являет нам конструируемый объект — нет никакого различия.

«По мере того, как сложность возрастает, точные утверждения теряют значимость, а значимые утверждения теряют точность».

4 февраля 1921 г. родился Лотфи Заде, американский математик и логик азербайджанского происхождения, автор термина «нечёткая логика» и один из основателей теории нечётких множеств.

В своей речи мы часто оперируем множествами. Например, когда называем кого-то молодым, то формально делим всё человечество на «молодых» и «не молодых» людей. И таким образом причисляем обсуждаемого персонажа к множеству «молодых».
Однако, в реальном мире возраст, температура, богатство и большинство прочих оценочных категорий, которыми мы оперируем, имеют нечёткие границы. Практически всегда существуют переходные формы, при которых человек может быть «не совсем молодым», воздух в комнате «чуть тёплым» и так далее. Как объяснить это бездушной машине?
Учёный предложил ввести понятие частичного вхождения элемента в множество, глубину которого можно измерять в пределах от 0 (полностью не принадлежит) до 1 (полностью принадлежит). Этот параметр Заде назвал «степенью принадлежности». Можно записать, что человек входит в множество «молодых» со степенью принадлежности 0,7 или температура соответствует множеству «тёплая» со степенью 0,2.
Нечёткая логика, построенная подобным образом, позволяет микропроцессору оперировать промежуточными понятиями: например, не просто «холодно» и «жарко», а ещё и «прохладно», «тепло» и «очень тепло». Благодаря этому «электронный мозг» может гибко реагировать на меняющиеся параметры среды и принимать решения из широкого набора вариантов, заложенных в его память.
Предложенная Заде «нечёткая логика» стала попыткой связать математику с интуитивным способом, с которым люди разговаривают, думают и взаимодействуют с миром. Очертания таких множеств Лотфи сравнил с тенями, которые предметы отбрасывают на стены. Он назвал эти множества «нечёткими», применив английское слово fuzzy, обозначающее нечто туманное и расплывчатое.
Заде разработал приёмы, позволяющие работать с лингвистическими переменными подобно тому, как программисты работают с обычными логическими (Boolean) переменными.
Он определил правила для выполнения логических операций AND, OR, NOT над нечёткими высказываниями. В простейшем случае результатом операции «A AND B» будет минимум из степеней истинности A и B, а для операции «A OR B» — максимум. Отрицание реализуется путём вычитания значения истинности из единицы.
С 1990-х годов нечёткую логику широко используют в различных системах управления — от сложных производственных процессов до бытовых приборов. На рынке появилось множество устройств, на корпусе которых красуется надпись «Fuzzy Logic», ставшая своеобразным символом ИИ.
Например, стиральные машины с шильдиком «Fuzzy Logic» самостоятельно проводят анализ таких факторов, как объём белья, тип порошка, уровень загрязнения, и выбирает оптимальный режим стирки из более чем 4000 возможных вариантов.
Но в отличие от искусственных нейронных сетей, классические нечёткие системы не имеют возможности машинного обучения и не могут самостоятельно корректировать свою работу.

В традиционный университетский праздник Татьянин день, 25.01.1922 г., московские математики разных поколений — от студентов-первокурсников до профессоров — собрались на торжество. П. Урысон «открыл» праздник шуточным докладом — он прочёл его со всей серьёзностью — на тему: «Интеграл от субъективного счастья в пределах от рождения до смерти человека равен нулю».
Субъективное счастье — производная от объективного. По теореме Ньютона–Лейбница этот интеграл равен разности значения объективного счастья в моменты рождения и смерти. Но эти значения равны нулю (если кто-либо не думает, что объективное счастье человека в момент его смерти равно нулю, пусть возьмёт какой-либо момент после смерти). Что доказывает теорему.

У одного из основателей современной топологии П.С. Александрова было прозвище «ПЁС». Оно появилось благодаря дарственной надписи на книге, которую он презентовал П.С. Урысону: «ПСУ от ПСА».

3 февраля 1898 г. родился Павел Самуилович Урысон, советский математик. Основные результаты в области топологии, нелинейных дифференциальных уравнений, геометрии.
Совместно с П.С. Александровым Урысон основал советскую топологическую школу. Урысон доказал много интереснейших теорем, связанных с введённым им понятием размерности. Но ему никак не удавалось доказать, что самый обычный куб имеет размерность 3. После длительных усилий он нашёл замечательный выход из положения, придумав новое определение размерности. Упрощённо его можно пояснить на примерах. Если взять отрезок или окружность, то их можно разбить на сколь угодно малые части так, что каждая точка принадлежит не более чем двум кусочкам. При этом надо брать кусочки вместе с их границами (то есть конечными точками). Квадрат уже так разбить нельзя. На первый взгляд кажется, что при разбиении квадрата на куски всегда будут точки, принадлежащие четырём частям. Но если уложить части так, как кирпичи на стройке, то удаётся добиться, чтобы каждая точка принадлежала не более чем трём различным частям. Точно так же у куба есть разбиение на маленькие параллелепипеды при котором каждая точка принадлежит не более чем четырём параллелепипедам.
Именно это свойство и принял Урысон за новое определение размерности. Фигура называется имеющей размерность n, если её можно разбить на сколь угодно малые замкнутые части так, чтобы ни одна точка не принадлежала n+2 различным частям, но любом достаточно мелком разбиении найдутся точки, принадлежащие n+1 различным частям.
Используя это определение размерности, Урысон доказал, что размерность квадрата равна 2, куба — 3 и т. д. А потом он показал, что это определение равносильно первоначально данному.
Построенная Урысоном теория размерности произвела глубокое впечатление на весь математический мир. Об этом ярко говорит следующий эпизод. Во время заграничной командировки Урысон сделал доклад о своих результатах в Гёттингене (где до прихода к власти нацистов была самая сильная математическая школа). После доклада руководитель геттингенской математической школы Давид Гильберт сказал, что эти результаты надо опубликовать в журнале “Mathematische Annalen” — одном из главных математических журналов того времени. Через несколько месяцев Урысон снова делал доклад в Геттингене и Гильберт спросил у своего помощника по журналу, напечатана ли уже работа Урысона. Тот ответил, что работа рецензируется. “Но я же ясно сказал, что её надо не рецензировать, а печатать!” — воскликнул Гильберт. После столь недвусмысленного заявления статья была немедленно напечатана.

Павел Самуилович трагически погиб в возрасте 26 лет во время купания в шторм в Бискайском заливе.

В недавней заметке, посвящённой Г. Штейнгаузу, была приведена задача из его книги «Сто задач» с авторским решением (из которого, однако, не понятно, как до него можно было бы додуматься):
Доказать, что выражение
S = ||x–y| + x + y – 2z| + |x–y| + x + y + 2z является симметрическим относительно переменных x, y, z.

Наш подписчик математик Leonid Koganov прислал решение, раскрывающее природу явления, лежащего в основе этой задачи.

#предложка