Математическая эссенция のテレグラム投稿

Решето Матиясевича-Стечкина — интересный геометрический способ найти все простые числа. Для этого на обычной параболе y = x² мы отмечаем все точки с целыми координатами и проводим все хорды, соединяющие эти точки на правой и левой ветви. Такие хорды пересекают ось ординат в точках с целыми координатами. Оказывается, что все такие точки имеют координату, являющуюся составным числом, а точки, координаты которых — простые числа, никогда не попадут на такие хорды.
Это легко показать. Уравнение прямой, проходящей через точки А(–а; а²) и В(b; b²) имеет вид:
y = (b–а)x + ab.
Отсюда при x = 0 получаем y = ab.

2 марта 1947 г. родился Юрий Владимирович Матиясевич, российский математик, специалист в области математической логики, теории алгоритмов, теории чисел, дискретной математики. Внёс существенный вклад в теорию вычислимости, завершив решение десятой проблемы Гильберта. В этой проблеме требовалось найти единый метод для распознавания наличия решений в целых числах у произвольного диофантова уравнения. Он установил, что метода, требуемого Гильбертом, не существует. Это стало мощным средством для доказательства неразрешимости и других алгоритмических проблем. На этой базе может быть построено решение многих проблем криптографии и теории чисел.
Матиясевич сделал также множество замечательных открытий в теоретической информатике, теории графов, аналитической теории чисел. Но самый красивый результат он получил, используя технику, наработанную при решении 10-й проблемы. Оказалось, что существует многочлен с целыми коэффициентами, множество всех неотрицательных значений которого (при положительных целых значениях переменных) совпадает с множеством простых чисел! Количество переменных в многочлене Матиясевича — 10. Его степень — 15905.

Образовательный проект Popmath подготовил 4-х месячные онлайн-курсы для взрослой аудитории для всех, кому важно осмыслить математику, а не просто заучить набор формул.

На ваш выбор два курса:

📍 Математика для взрослых: для желающих получить прочную математическую базу. Предварительные знания не требуются.
📍Линейная алгебра: для тех, кто хочет разобраться в предмете поглубже и выйти за рамки базовых знаний математики.

🔆 Формат курсов:
- 16 лекций и 16 семинаров через Zoom
- обратная связь с преподавателями в Телеграм
- яркие 2D- и 3D-анимации для лучшего восприятия материала

Старт групп: середина марта

По всем вопросам вы можете писать @popmath_support

Брауэр получил один из самых важных и полезных результатов в топологии — доказал теорему Боля–Брауэра о неподвижной точке.
Представьте, что у нас есть два листка бумаги одинакового размера, причём один листок лежит на другом. Вы берёте один листок, сминаете его в комок и бросаете на другой лист так, чтобы ни одна часть этого скомканного листка не выходила за края нижнего ровного листка бумаги. Теорема утверждает: на данном скомканном листке бумаги имеется хотя бы одна точка, которая будет находиться точно над тем же самым местом на нижнем листке бумаги, где она находилась первоначально, когда два ровных листка лежали один на другом.
Теорема работает и в других измерениях. Возьмите стакан с чаем и размешайте в нём сахар. Теорема Брауэра настаивает на том, что существует некоторая точка в чае, которая будет находиться в том же самом месте, где она находилась до того, как вы размешали сахар. На более точном языке математики теорема утверждает, что любое непрерывное отображение n-мерного шара в n-мерный шар (где n > 0 — размерность пространства) должно иметь неподвижную точку.

В самой гуще событий
Неподвижная точка,
И ничто не забыто,
Правда, это не точно.

И стремительно мчится
Время в ритме сверхсрочном,
Но ничто не случится
С неподвижною точкой.

Мир кружится юлою,
Но она и не знает;
Время мчится стрелою,
Точка чахнет, зевая.

Ей бы каплю вниманья,
Или воли глоточек,
Но её уж прозвали
"Неподвижная точка".
(И. Зайцев)

«Математика — свободное творчество, независимое от опыта; она создаётся из единственной априорной интуиции, которую можно назвать “постоянством в изменении”, или “единством в множественности”».

27 февраля 1881 г. родился Лёйтзен Эгберт Ян Брауэр — голландский философ и математик, работавший в таких областях математики, как топология, теория множеств, математическая логика, теория меры и комплексный анализ.

Брауэр положил начало новому направлению в математике — интуиционизму. В теории множеств, на основании которой хотелось бы построить математику, в начале XX в. обнаружились всякие парадоксы и противоречия. Чтобы выйти из кризиса, математики пробовали идти разными путями, и один из них — интуиционизм.
Брауэр подверг сомнению неограниченную приложимость в математических рассуждениях классических законов исключённого третьего, (снятия) двойного отрицания, косвенного доказательства (доказательства от противного). Одним из результатов анализа таких рассуждений явилось возникновение интуиционистской логики, сформулированной в 1930 г. учеником Брауэра А. Гейтингом и не содержащей указанных законов.
Интуиционистская логика отличается от классической. Например, в классической логике каждое высказывание либо истинно, либо ложно. А у интуиционистов есть истинные высказывания, ложные и все остальные, пока ещё непроверенные. Если высказывание не является истинным, отсюда ещё не следует, что оно ложно.
Интуиционисты не признают доказательств от противного и вообще всех неконструктивных доказательств (теме неконструктивных доказательств ранее была посвящена заметка), с особой осторожностью работают с бесконечностями. Взять какие-то высказывания, потом манипулировать ими по формальным правилам и делать формальные выводы — занятие не для них. Каждый отдельный вывод должен быть очевиден и ясен индивидуально.
Используя термин «ложный» как «противоположность истинного», классическая логика признаёт, что благодаря т.н. закону исключённого третьего каждое утверждение, в частности, о существовании, либо истинно, либо ложно независимо от того, знает ли кто-либо это на самом деле. Однако, как замечают интуиционисты, закон исключённого третьего действителен только для рассуждений о конечных областях объектов. Язык и логика не способны обеспечить достоверность математических рассуждений в бесконечной области. Закон исключённого третьего, истинный в любой сколь угодно большой конечной области, бесполезен в бесконечной. Поэтому ни сведение математики к логике, ни аксиоматизация математических теорий не годятся для её обоснования. Бесплодие этих проектов объясняется просто — они не способны создавать математические объекты, истинные в бесконечных областях.
Интуиционистское исчисление высказываний строил, в частности, А.Н. Колмогоров. Его ученик Пер Мартин-Лёф создал интуиционистскую теорию типов. Его подход использовал В.А. Воеводский для создания гомотопической теории типов. Он ввёл аксиому унивалентности и довёл свои идеи до этапа практических применений.
Математики продолжают работать над основаниями своей науки. Интуиционизм к настоящему времени ещё до конца не выкристаллизовался, его значение в обосновании математики предстоит узнать в будущем.

Франсуа Виет, дата смерти которого 23 февраля 1603 г. (а дата рождения не известна, 1540 г.), изобрёл способ решения кубического уравнения, не основанный на использовании формуле Кардано и комплексных чисел. Это тригонометрический метод, в основе которого лежит древняя задача трисекции угла.
Рассмотрим идею этого метода на примере.

Задачи в теории Рамсея обычно звучат в форме вопроса «сколько элементов должно быть в некотором объекте, чтобы гарантированно выполнялось заданное условие или существовала заданная структура».
Простейший пример: доказать, что в любой группе из 6 человек найдутся либо 3 человека, попарно знакомые друг с другом, либо 3 человека, попарно незнакомые друг с другом.
Для доказательства возьмём любого из шестерых — назовём его А. Предположим, что он знает хотя бы троих из оставшихся. Если среди этих троих есть двое знакомых, они образуют искомую тройку (попарно знакомых) с А, если нет — то тройку попарно незнакомых между собой. Если же А знает не более двоих из оставшихся, то у него есть трое незнакомых, и для них работает аналогичное рассуждение. Также легко видеть, что в компании из пяти человек может уже не найтись троих попарно знакомых или попарно незнакомых: поставим пятерых изначально незнакомых людей по кругу и познакомим соседей.
На языке теории графов это утверждение формулируется так: если есть граф с шестью вершинами (это люди), ребра которого раскрашены в красный и синий цвета (знакомство и незнакомство соответственно), то найдутся три вершины, соединённые рёбрами одного цвета. А для графа с пятью вершинами такой тройки может и не быть.
А если мы хотим найти в какой-нибудь группе больше людей, которые или каждый с каждым знакомы, или каждый с каждым не знакомы? Верно ли, что какие бы значения n и k мы не взяли, в достаточно большой компании найдутся или n попарно знакомых, или k попарно незнакомых людей? Да, верно: это утверждает теорема Рамсея, доказанная им в 1930 г. Наименьший размер компании, заведомо удовлетворяющей этому условию, обозначается R(n, k) и называется числом Рамсея. Или, учитывая синюю группу из n вершин или красную группу из k вершин, минимальное количество вершин, которое должен иметь полный граф, чтобы каждое ребро было окрашено в красный или синий цвет.
Выше мы установили, что R(3,3) = 6. Считать числа Рамсея очень трудно. Известно, что, например, R(4,4) = 18 — соответствующий граф показан на рисунке.
R(4,5) = 25 (это сложно). А R(5,5) никто не знает, известно только, что 43 ⩽ R(5,5) ⩽ 48.
Фактически теорема Рамсея утверждает, что любая структура обязательно содержит упорядоченную подструктуру, а полный беспорядок невозможен. Если число объектов (звёзд, камней, людей, геометрических точек и т.п.) в совокупности достаточно велико и любые два объекта связывает одно из набора отношений, то всегда существует подмножество данной совокупности, содержащее заданное число объектов, и при этом такое, что в нём все объекты связаны отношением одного типа.
Теория Рамсея возникла как обобщение принципа Дирихле. Для её результатов характерна неконструктивность: доказывается, что некоторая структура существует, но не предлагается никакого способа её построения кроме прямого перебора. Кроме того, для существования искомых структур требуется, чтобы объекты, их содержащие, состояли из очень большого числа элементов. Зависимость числа элементов объекта от размера структуры обычно, как минимум, экспоненциальная.
Теория Рамсея имеет много интересных приложений, включая результаты в области теории чисел, геометрии, алгебры, топологии, логики, теории множеств, эргодической теории, теоретической информатики и теории информации.

22 февраля 1903 г. родился Фрэнк Пламптон Рамсей — британский математик, который, вдобавок к исследованиям в области математики, внёс значительный вклад в философию и экономическую науку.
В 1927 г. опубликовал статью, в которой представил, как её иногда называют, избыточную теорию истины. Позже возник отдельный раздел математики — теория Рамсея. Это раздел математики, изучающий условия, при которых в произвольно формируемых математических объектах обязан появиться некоторый порядок.
В экономике исследовал проблематику математического моделирования, в частности, разрабатывал модели оптимального налогообложения и экономического роста. Исследования Рамсея в области математической экономики были высоко оценены современниками, одна из моделей экономического роста носит его имя, также в экономической теории известна проблема Рамсея.
Его работы о природе вероятности во многом опередили время, их значение стало понятно только с развитием теории игр и теории принятия решений.
Фрэнк Рамсей умер в 26 лет в результате неудачной операции, повлёкшей инфекционный гепатит.

Перед Первой мировой войной Феликс Клейн занимался реорганизацией преподавания в немецких гимназиях. Инспектируя одну из школ, он спросил гимназистов, когда родился Коперник. Ответить никто не смог.
— Если не знаете дат его рождения и смерти, скажите хотя бы, в каком веке он жил? — Опять гробовое молчание.
— Скажите, он жил до нашей эры или нет?
— Конечно, до нашей эры, — убеждённо ответил весь класс.

В своем резюме Клейн отметил: «Школа должна добиться, чтобы ученики, отвечая на этот вопрос, хотя бы не употребляли слова "Конечно"».

Можно встретить утверждения, будто Коперник пострадал за свои взгляды или что только смерть в год публикации главного труда спасла астронома от участи Джордано Бруно. Например:

В огне растворишься, безумец Коперник,
Ты божьей науке и Риму соперник,
Ты ересью дьявола стал обладать,
Как могут планеты в пространстве летать?!
Земля же всегда на опоре стояла,
Когда же она вокруг Солнца летала?
Как можно в глаза инквизиции врать? —
Тебе же под пыткою правду держать.
Сверкнувши очами промолвил Епископ:
«Раскайся безумец, — рассвет уже близко,
Скорей отрекайся от ереси сей,
Не то инквизиция будет страшней».
(Ю. Галкин).

В реальности же Католическая церковь, занятая борьбой с Реформацией, первоначально снисходительно отнеслась к новой астрономии, тем более что вожди протестантов (Мартин Лютер, Меланхтон) отнеслись к ней резко враждебно.
В «Застольных беседах» Лютера приводится его высказывание:
«Говорят о каком-то новом астрологе, который доказывает, будто Земля движется, а небо, Солнце и Луна неподвижны; будто здесь происходит то же, что при движении в повозке или на корабле, когда едущему кажется, что он сидит неподвижно, а земля и деревья бегут мимо него. Ну, да ведь теперь всякий, кому хочется прослыть умником, старается выдумать что-нибудь особенное. Вот и этот дурак намерен перевернуть вверх дном всю астрономию».
Благожелательное отношение Ватикана к гелиоцентризму в первой половине XVI в. было связано и с тем, что для предстоящей реформы календаря были полезны наблюдения Солнца и Луны, содержащиеся в книге Коперника.
Официально католическая церковь запретила гелиоцентрическую систему мира Коперника только в 1616 г., спустя 73 г. после смерти Коперника (хотя гелиоцентрической моделью по-прежнему разрешалось пользоваться для математических расчётов движения планет). Самым известным следствием этого решения стал суд над Галилеем в 1633 г.
Вопреки устоявшемуся мнению, сама книга Коперника «De Revolutionibus Orbium Coelestium» была формально запрещена инквизицией лишь на 4 года (до 1620 г.), однако подверглась цензуре. Требуемые цензурные поправки, которые необходимо было внести владельцам книги для возможности дальнейшего использования, в основном касались утверждений, из которых следовало, что гелиоцентризм является не просто математической моделью, но отражением реальности.