Существительное «будни» и прилагательное «будний» (в сочетании с родовым словом «день») используются в значении «рабочие дни» и считаются полностью синонимичными — выбор тут только за автором текста. Это первое и главное.
✅ Правильно: по будням, по будним дням
Теперь о нюансах. В современном русском языке у существительного «будни» нет единственного числа (существует устаревшее слово «будень», но сейчас оно не используется). Поэтому, если мы хотим сказать не о рабочей неделе в целом, а об отдельном дне, то говорить нужно «будний (то есть не праздничный, не выходной) день».
⚠️ И да, существует еще слово «будничный». Теоретически и его можно использовать со словом «день», но все же его значение несколько иное, чем «рабочий, не выходной». «Будничный» — это скорее «повседневный, ничем не примечательный». Слово используется, когда речь идет не о времени, а, например, о предмете или явлении.
Блесни умом | Образование