Давно хотел написать пост о понимании вещей.
Вот в математике часто так кому-то говорят: "ты зазубрил это определение, но не понял его". И всем, кто изучал матан, это знакомо. Скажем, пресловутое определение предела функции можно выучить, и научиться воспроизводить, и даже доказывать его следствия, но так и не осознать. А вот бывает, ты сидишь – и вдруг у тебя в голове внезапно возникает некая картинка, и как будто щелкает что-то в мозгу, и ты такой: "ААА! Так вот это что такое! Я понял наконец-то!" И кажется, что с того момента ты это уже вряд ли забудешь.
Я помню несколько таких своих внезапных ярких осознаний. Самое ранее, что я помню – это как в начале 9 класса вдруг понял, почему Земля не падает на Солнце, хотя притягивается к нему. В начале 10 класса, когда дома умывался, вдруг понял, благодаря чему стиральная машинка выжимает белье. Я просто с самого раннего детства был в шоке: как так, она же его просто повращала и всё – почему вода-то ушла из него? А тут, когда мне было уже 15 и я что-то знал по физике, взглянув на эту старую стиральную машинку, вдруг как понял.
Самая большая концентрация таких осознаний, конечно, пришлась на первый-второй курсы Физтеха. Забавно, кстати, что для многих из них я помню, где в этот момент находился и что у меня было перед глазами. Помню, как осознал формальное определение интеграла Римана, когда ехал в электричке Александров—Ярославль. Особенно много всего было осознано в нашей первокурской общажной комнате 706-4. Я помню моменты, как прочувствовал, что такое собственные векторы, частные производные, равномерная сходимость. Потом, уже на втором курсе, уже в другой общаге и в другой комнате, пришли осознания ротора и дивергенции, а еще действия группы на множестве. Еще спустя год я наконец понял, что такое случайная величина и интеграл Лебега.
Прикольно вспоминать, как озарения возникали в неожиданные моменты. Например, я помню, что внезапно осознал малую теорему Ферма, когда летом шел из столовой в общагу через площадь перед новым корпусом. А однажды я внезапно осознал, почему сумма квадратов C-шек равна C_{2n}^n, когда подходил к платформе Долгопрудная, направляясь на электричку. А однажды я спускался на эскалаторе в метро и уже подъезжал к самому низу – и внезапно понял, почему количество упорядоченных разбиений числа n на слагаемые равно 2^{n-1}. Тут надо еще раз пояснить, что все эти факты я видел с доказательствами задолго до этого. Но вдруг в какие-то моменты, наподобие той истории со стиральной машинкой, в мозгу что-то щелкало и приходила мысль: "А, так ведь вот это почему так. Это же кристально ясно теперь. И как я раньше в упор не видел этого". (Наверное, так и образуются нейроны в мозгу?)
Но боль в том, что еще больше фактов я так и не мог осознать, сколько ни старался, несмотря на то, что перечитывал учебник по 5 раз и изо всех сил пытался воображать картинки. Вот ты просто сидишь и чувствуешь, что за этой штукой стоит какая-то глубокая идея, после которой все станет кристально ясно, но идея ускользает, мозг оказывается не в силах ее охватить. Я помню, как в конце 2 курса мы вдвоем с одногруппницей пытались понять, что такое интеграл Фурье. Мы ночью перед экзаменом ходили по общаге и подходили к рандомным чувакам на этаже: "Ты понимаешь, что такое интеграл Фурье?" – "Ну да, это надо взять f(x) умножить на e в степени минус i омега икс…" – "Да нет, это всё мы знаем. Мы хотим РЕАЛЬНО ПОНЯТЬ, ЧТО это такое". – "Аа… ну нет, я настолько глубоко не вникал". Мы так и не нашли никого понимающего. Тогда я забил и просто запомнил формулы. Наутро я сдал матан на отл, вытянув как раз этот вопрос – а реально понял его только спустя 6 лет. Похожая история была, например, с понятием нормальной подгруппы в алгебре: на 2 курсе я потратил не один час, пытаясь его прочувствовать, но лишь в 2019 году меня внезапно озарило.
