چالش های هدفمند ریاضی

#پاسخ_263

#مسئله_263

چند عدد پنج رقمی وجود دارد که 54 برابر آن ها هم مربع کامل و هم مکعب کامل است .

اینکه نمره ۱۴ از ۲۰ معادل ۷۰ درصده مسخره نیست؟ ۱۴ حس کم‌کاری کردن میده ولی ۷۰ درصد یه جوریه انگار تو تلاشتو کردی به بقیه کارهات هم رسیدی.

این هم فایل زیپ شده این عدد که دارای ۴۱ میلیون رقم یا به عبارت دقیق تر
41024320
رقم دهدهی هست

که فایل زیپ شدش ۱۸ مگابایت حجم دارد

این لیست تمامی اعداد اول مرسن کشف شده هستش که در
https://www.mersenne.org/primes/
هم میتونید مشاهده بکنید

همونطوری که قابل مشاهده هست
بزرگترین عدد اول قبلی در سال ۲۰۱۸ کشف شده و رکورد جدید بالاخره بعد از ۶ سال شکسته شد
که تبدیل میشه به ۵۲ امین عدد اول مرسن کشف شده و بزرگترین عدد اول کشف شده تاریخ (تا به اینجا)

رکورد پیدا کردن بزرگترین عدد اول کشف شده بالاخره بعد از ۶ سال توسط پروژه
great internet mersenne prime search
شکسته شد

لازم به ذکر هستش که اعداد اول قبلی و رکورد های قبلی هم توسط همین پروژه به دست اومده بود
این عدد به فرم
2¹³⁶²⁷⁹⁴⁸¹-1
هستش که دارای
بیش از ۴۱ میلیون رقم بر مبنای ده دهی هستش !!!

#پاسخ_262
#استاد_محمودی

#پاسخ_262
#استاد_کریمی

#مسئله_262

در حضور تو، در بیان عشقت صفرم؛ و همین صفر گاه از بی‌نهایت هم ارزشمندتر است.

#پاسخ_261
#استاد_قادر

#مسئله_261

#پاسخ_260

x²+y²=(xy-7)²

x²+y²=(xy)²-14xy+49

(x+y)²-2xy=(xy)²-14xy+49

(x+y)²=(xy)²-12xy+49

x+y=s , xy=p

s²=p²-12p+36+13

s²=(p-6)²+13

s²-(p-6)²=13

[s-(p-6)].[s+(p-6)]=13

1×13=13 or 13×1=13

s-(p-6)=1
s+(p-6)=13 →
2s=14→s=7 , p=12 →

x+y=7
xy=12
t²-7t+12=0 →t=3,4 →
x=3,y=4 ✓ or x=4 , y=3 ✓


s-(p-6)=13
s+(p-6)=1 →
2s=14→s=7 , p=0
t²-7t=0→t= 0 , 7 →
x=0 , y=7  → غ ق ق
x=7 , y=0 → غ ق ق

#پاسخ_260
#استاد_وحیدی_فرد

#مسئله_260

در مثلث قائم الزاویه ای طول وتر xy-7 و اضلاع قائمه آن x و y می باشند و x و y اعداد صحیح هستند . آن ها را به دست آورید .

#پاسخ_259
#استاد_بیکی

نکته : تمام معادلات به فرم بالا دارای دو جواب زیر هستند ؛
φ , -1/φ
توجه: fn جمله n ام دنباله فیبوناتچی است .
مثال :

x²-x-1=0
x³-2x-1=0
x⁴-3x-2=0
x⁵-5x-3=0

با توجه به نکته بالا به پاسخ سوال می پردازیم 👇

#مسئله_259

تمام جواب های حقیقی معادله زیر را بیابید :

2¹⁰x¹⁰ -110x -34 =0

اما مجموع بالا طبق قضیه دوجمله ای چیزی نیست جز
(10³+1)⁷=1001⁷ =7⁷×11⁷×13

پس عامل های اول این عدد 7 و 11 و 13 هستند .

#پاسخ_258

نکته :
ابتدا به بسط دو جمله ای ⁷(1+a) توجه کنید که می توان به صورت زیر گسترده کرد ؛

a⁷+7a⁶+21a⁵+35a⁴+35a³+21a²+7a+1

اما برگردیم به مسئله اصلی؛
عدد داده شده را در صفرها مطابق  

100, 70, 210, 350, 350, 2100, 700,1

می توان تفکیک کرد و آن را به صورت زیر نوشت ؛👇

#مسئله_258

عدد زیر را به حاصل ضرب عامل های اول تجزیه کنید .

1007021035035021007001

روشی که استاد حسینی استفاده کرده اند در کتاب سوم راهنمایی نظام قدیم آموزش داده شده 👇

#پاسخ_257
#استاد_حسینی

#پاسخ_257
#استاد_امیری

#پاسخ_257
#استاد_قادر

#پاسخ_257
#استاد_فرهادی

سلام فرض کنیم x=11111. عدد زیر رادیکال را می‌توان به صورت
N = x (4×10⁵+8)+1
    = 4x(10⁵+2)+1
نوشت. اما واضح است که
10⁵=9x+1.
لذا
N=4x(9x+3)+1=(6x+1)²
پس حاصل رادیکال برابر است با
6x+1=66 667.

#مسئله_257
حاصل رادیکال بالا را بدون استفاده از ماشین حساب به دست آورید.

اما عدد 142857 یک عدد حلقوی است که قبلا داخل کانال راجع به آن توضیح داده بودیم . 👆

بنابراین طبق راه حل اساتید این مسئله جواب یکتا نداشته اما کوچکترین عددی که به دست می آید همان 142857 است
و عدد بعدی
142857142857
و عدد بعدی
142857142857142857
و به همین ترتیب ادامه خواهد داشت

#پاسخ

#پاسخ

عددی وجود دارد که تعداد ارقام آن را نمی‌دانیم.
رقم سمت راست هفت است .
وقتی رقم یکان را برداریم و در سمت چپ عدد قرار دهیم  ، عدد جدید به دست آمده ۵ برابر عدد اولیه است .
کوچکترین عدد چیست؟
با راه حل پیدا کنید .

۶ عدد تاکسی

در ریاضی  n امین عدد تاکسی کوچکترین عدد طبیعی است که بتوان آن را به n شکل متفاوت به صورت حاصل جمع مکعب دو عدد طبیعی نشان داد.
مشهورترین عدد تاکسی عدد ۱۷۲۹ است که دومین عدد تاکسی است.

همانطور که گفته شد عدد 1729 به دو صورت مختلف می‌توان در قالب مجموع دو عدد مکعب نوشت ؛

1729 = 1³ + 12³
1729 = 9³ + 10³

این عبارت با مکعب‌های مثبت بیان شده.
با استفاده از مکعب‌های منفی کامل کوچکترین عددی که به‌دست می‌آید ۹۱ است (که از قضا مقسوم علیه ۱۷۲۹ است) :
91=3³+4³
91=6³+(-5)³

به کوچک‌ترین اعدادی که می‌توان آن‌ها را به چند روش به صورت مجموع دو مکعب نوشت «اعداد تاکسی» می‌گویند.

ماساهیکو فوجیوارا نشان داد ۱۷۲۹ یکی از چهار عدد صحیحی است(سه عدد دیگر شامل ۸۱ ، ۱۴۵۸ و به‌طور قطع ۱ است) که وقتی ارقامش را با هم جمع کنیم، یکی از مقسوم‌علیه‌های عدد به دست می‌آید، که اگر در عکسش ضرب شود، حاصل عدد اصلی می‌شود:
۱=۱×۱
(۱=۱)
۸۱=۹×۹
(۱+۸=۹)
۱۴۵۸=۱۸×۸۱
(۱+۴+۵+۸=۱۸)
۱۷۲۹=۱۹×۹۱
(۱+۷+۲+۹=۱۹)

ادامه دارد ....

1729 یک عدد تاکسی است !!!

در عدد ۱۷۲۹ داریم ؛

-- دو عدد ۱۷ و ۲۹ هر کدام عدد اول هستند. 
 
-- جمع دو عدد سمت چپ( ۱+۷=۸) و دو عدد سمت راست ( ۲+۹=۱۱) میشود ۸۱۱ که باز هم عدد اول است. 

-- دو عدد ابتدایی (سمت چپ) اگر جمع شوند؛ به عدد ۸۲۹ می رسیم که باز هم عدد اول است. 

-- تفریق دو عدد سمت چپ ( ۱-۷=۶) و دو عدد سمت راست (۲-۹=۷) که عدد ۶۷ ساخته می شود و باز هم عدد اول است. 

-- دو عدد سازنده آن عدد اول است (۷و ۲). 

-- جمع عددی اعداد تشکیل دهنده ۱۷۲۹ میشود ۱+۷+۲+۹=۱۹ که اول است؛ 

-- عکس ۱۹ عدد ۹۱ است؛ که ۱۹×۹۱=۱۷۲۹

-- عدد  ۱۷۲۹ کوچکترین عددی است که می توان آن را به دو صورت مختلف در قالب مجموع دو عدد مکعب نوشت:

1729 = 1³ + 12³
1729 = 9³ + 10³
  
توضیح تکمیلی:

عدد 1729، به عنوان عدد رامانوجان - هاردی شناخته می شود. حکایت زیر توسط ریاضیدان بریتانیایی، جی. اچ هاردی (G. H. Hardy) نقل شده است: 
 
"خاطرم هست روزی که برای ملاقاتش [رامانوجن] به بیمارستان پوتنی می رفتم، سوار یک تاکسی شدم که شماره اش 1729 بود. وقتی که برای رامانوجان جریان را تعریف می کردم، گفتم امیدوار بودم عدد تاکسی عدد جالبی باشد. رامانوجان پاسخ داد: این عدد خیلی هم جالب است؛
1729 کوچکترین عددی است که می توان آن را به دو صورت مختلف در قالب مجموع دو عدد مکعب نوشت! " 
 
البته این ایده سبب شد که برخی اعداد با چنین خاصیت هایی به "اعداد تاکسی" شهرت بیابند.

شایان ذکر است که 1729 یک "عدد کارمایکل" نیز می باشد.




ادامه دارد .....

مثلث سفیدی وجود ندارد اما آن را می بینیم !

به این پدیده ادراک‌ نامرئی مغز میگویند
که با آن سعی در الگوسازی بین تصاویر هماهنگ میکند...!

فقط با جای گذاری علائم ریاضی تساوی زیر را نشان دهید .

0 0 0 = 6

یک عدد اول ۹ رقمی را بخاطر بسپارید

جالبه که جمع ارقام اش هم ۷۹ میشه🙂

40585 بزرگترین عدد شناخته شده است که برابر مجموع فاکتوریل ارقام خودش هست !!!

برای دوستانی که می‌پرسند برای اعداد یک رقمی هم جواب میده یا نه

پاسخ ؛ بله
مثال
عدد 1
تعداد کل ارقام ؛ 1
تعداد ارقام زوج ؛ 0
تعداد ارقام فرد؛ 1
پس عدد 101 تولید می‌شود
حال داریم
تعداد کل ارقام ؛ 3
تعداد ارقام زوج ؛ 1
تعداد ارقام فرد؛ 2
پس 312

عدد 312

اگر اين قسمت را بخوانيد برايتان جالب خواهد بود و بيشتر به رياضي علاقمند مي شويد:

هر عددي دوست داريد در نظر بگيريد :

( مثلا عدد 674328 )تعداد رقمهاي اين عدد را شمرده و آنرا بنويسيد ( در اين مثال 6 مي شود )
سپس تعداد ارقام زوج را شمرده کنار عدد قبلي قرار دهيد( تعداد زوجها 4 است پس داريم 64 )
حال تعداد ارقام فرد را شمرده کنار عدد قبلي قرار دهيد ( تعداد فردها 2 است پس داريم 642 )
هم اکنون عدد 642 را داريم با اين عدد نيز مراحل بالا را تکرار کرده تعداد رقمهاي اين عدد را شمرده و آنرا بنويس ( 3 مي شود )
سپس تعداد ارقام زوج را شمرده کنار عدد قبلي قرار دهيد ( تعداد زوجها 3 است پس داريم 33 )
حال تعداد ارقام فرد را شمرده کنار عدد قبلی قرار دهيد ( تعداد فردها 0 است پس داريم 330 )
حالا براي عدد 330 اين کار را انجام مي دهيم
تعداد رقمهاي اين عدد را شمرده و آنرا بنويسيد ( 3 مي شود )
سپس تعداد ارقام زوج را شمرده کنار عدد قبلي قرار دهيد ( تعداد زوجها 1 است پس داريم 31)
حال تعداد ارقام فرد را شمرده کنار عدد قبلي قرار دهيد ( تعداد فردها 2 است پس داريم 312 )
در اين مثال مشاهده نموديم که آ خر به 312 رسيديم


ما ادعا مي کنيم که هر عدد طبيعي با اين روال به 312 ختم مي شود باور نداريد امتحان کنيد !!!

اعداد 1 تا 35 طوری مرتب شده‌اند که مجموع هر دو عدد متوالی یک مربع کامل است!

(1)(3)(13)(23)(26)(10)(6)(19)(30)(34)(15)(21)(28)(8)(17)(32)(4)(12)(24)(25)(11)(5)(20)(29)(35)(14)(22)(27)(9)(16)(33)(31)(18)(7)(2)

روش پیداکردن اعداد اول

یه روش جالب در مورد اینکه تشخیص بدیم عددی اول هست یا نه! خوب از یه مثال ساده شروع میکنم :

برای مثال 1313

من این عدد رو از وسط به دو بخش تقسیم میکنم یعنی 13 و 13. هر دوی این اعداد به یه عدد مشترک یعنی 13 بخش پذیرند، پس 1313 اول نیست!! چرا؟ 😐👇

1313=1300+13=13×100+13=13×101

حالا یه مثال که کمی پیچیده تر باشه عدد 351491 اول هست یا نه؟

خوب اینو به سه بخش تقسیم میکنم، 35، 14 و 91

اگه دقت کنید هر 3 تای این اعداد بر 7 بخش پذیرند، پس این عدد اول نیست!! چرا؟ 👇

351491=350000+1400+91=
7×50000+7×200+7×13=
7×(50000+200+13)=50213

مفهوم سفسطه

شاگردان از استادشان پرسیدند: سفسطه چیست؟
استاد کمی فکر کرد و جواب داد: گوش کنید، مثالی می زنم، دو مرد پیش من می آیند. یکی تمیز و دیگری کثیف من به آن ها پیشنهاد می کنم حمام کنند. شما فکر می کنید، کدام یک این کار را انجام دهند؟
هر دو شاگرد یک زبان جواب دادند: خوب مسلما کثیفه!
استاد گفت: نه، تمیزه. چون او به حمام کردن عادت کرده و کثیفه قدر آن را نمی داند. پس چه کسی حمام می کند؟
حالا پسرها... می گویند: تمیزه!
استاد جواب داد: نه، کثیفه، چون او به حمام احتیاج دارد. و باز پرسید: خوب، پس کدامیک از مهمانان من حمام می کنند؟
یک بار دیگر شاگردها گفتند: کثیفه!
استاد گفت: اما نه، البته که هر دو! تمیزه به حمام عادت دارد و کثیفه به حمام احتیاج دارد. خوب بالاخره کی حمام می گیرد؟
بچه ها با سر درگمی جواب دادند: هر دو!
استاد این بار توضیح می دهد: نه، هیچ کدام! چون کثیفه به حمام عادت ندارد و تمیزه هم نیازی به حمام کردن ندارد!
شاگردان با اعتراض گفتند: بله درسته، ولی ما چطور می توانیم تشخیص دهیم؟ هر بار شما یک چیزی را می گویید و هر دفعه هم درست است.

استاد در پاسخ گفت: خوب پس متوجه شدید، این یعنی سفسطه!

خاصیت سفسطه بسته به این است که چه چیزی را بخواهی ثابت کنی

عدد عجیب 15873

عدد 15873 عدد عجيبي است. چون اگر آن را در هر رقمی (منظور از رقم، يعني اعداد 1 تا 9 ) ضرب و سپس حاصل را در عدد 7 ضرب كنيم، ارقام عدد حاصل عبارت خواهد بود از رقم انتخابی.
براي مثال اگر اين عدد را در 4 ضرب كنيم داريم:
4×15873 = 63492
سپس با ضرب حاصل به دست آمده در 7 داريم:
7×63492 = 444444
خودتان براي ارقام ديگري نيز امتحان كنيد.

از آن عجيب تر آن كه اگر اين عدد را در عددهاي دو رقمي كه مجموع ارقام آنها از 10 كمتر باشد ضرب كنيم، به نتيجه جالب تري مي رسيم. براي مثال اگر اين عدد را ابتدا در 35 و سپس در 7 ضرب كنيم داريم:
35×15873 = 555555
7×555555 = 3888885
ارقام اول و آخر عدد همان ارقام 35 هستند و ارقام ديگر تكرار حاصل جمع 3 و 5 است. براي ارقام ديگر هم امتحان كنيد.

شما هم می توانید برای خودتان الگوهایی در اعداد طبیعی کشف کنید.

یه ریاضیدانه هیچوقت هواپیما سوار نمیشده چون میگفته احتمال این که یکی بمب بیاره تو هواپیما زیاده. بعد یه مدت یهو شروع میکنه سوار شدن. میپرسن داستان چیه؟ میگه احتمال این که دو نفر همزمان بمب بیارن خیلی کمه، منم هر سری با خودم بمب میارم اوکی میشه.

خلاف قانون ولی صحیح !!

اعداد شگفت انگیز یا اتومورفیک (Automorphic)

در ریاضیات به یک عدد زمانی عدد شگفت انگیز گفته می‌شود که n رقم آخر مربع عدد، برابر با خود عدد باشد.

برای مثال 625 =25×25 و 5776 = 76×76 این اعداد به نام اعداد اتومورفیک نیز نامیده می‌شوند.

اعداد اتومورفیک بزرگ‌تری مانند 212890625 و 787109376 نیز وجود دارند:

212890625²=45322418212890625
و

787109376²= 619541169787109376

همچنین باید بدانید که اگر n رقم آخر مربع عدد برابر با خود عدد باشد، این رابطه در مورد مکعب عدد و توان‌های بالاتر نیز صدق می‌کند. مشخص شده است که برای هر n>1 دو عدد شگفت انگیز به طول n وجود دارد.

@mrRiazi79