التدحرج بالرياضيات

انا هم

أحسها تافهة

شلونكم وي المعادلات الزمنيّة

@Irsaccccbot

أي مُلاحظة، سؤال

مِن المفاهيم المهمّة بأساسيات الدَوال، شي نسمّيه التناظر ..

قبل كلشي لازم تعرف إنّو عدنا بالرياضيات نوعين من التناظر، أو عالأقل عدنا بالمنهج نوعين من التناظر، الأوّل نسمّيه التناظر على محور الصادات، والثاني نسمّيه التناظر على نقطة الأصل.

إحنا بشكل عام لمّا نجي نرسم مستقيم إحداثي حيكون عدنا ٣ أمور أساسية، محور سينات (x) ، محور صادات (y) ونقطة الأصل (0,0) ، محور الصادات هو المحور الطولي الي يقطع محور السينات، إلّي مأشرلك بالصورة الثانية تحت عاليسار.

حتى نعرف شنو معنى التناظر على محور الصادات خلنتخيل أن هذا المحور عبارة عن مراية، كُلْشي حنخلّيه ع يسار هذا المحور، حينعكس ع يمين هذا المحور، وكلشي نخلّيه ع يمين هذا المحور، ع يطلع ع يسار هذا المحور، وهذا نسميه التناظر على محور الصادات. يعني أكو دوال يكون جزءها الي يصير عيمين المحور، هو بالضبط نفسه الجزء ع يسار المحور، لا زايد ولا ناقص. مثل النخلة. الفرق الوحيد، أن بما أن النخلة نقطة (كلشي نحطّه ع مستقيم الأحداث هو عبارة عن نقطة) فحيكون إحداثي y الصادي لهاي النقطة ثابت، سواء جبناها يمين أو يسار، لهلسبب نسميه تناظر على محور الصادات، يعني ممكن تتغير إشارة السين، أو يتغير السين بكبره، ويبقى الصاد ثابت ..

نكدر نستنتج إن إحنا سمينا هالشكل تناظر، لأن إحداثياته ثابتة يمين الصاد ويساره، وسميناه تناظر صادي أو تناظر على محور الصادات لأن الصاد ثابتة، قيمةً وإشارةً .. زين زين

شنو هو التناظر على نقطة الأصل ؟

وي شوي تركيز واستنتاج، تستنتج إن النخلة كلشي ماصارلها حرفيًا، بس تغيرت قيمة x إلها من الموجب للسالب، ف انگلبت ع راسها .. هذا يسموه تناظر حول نقطة الأصل، لأن نخلة صارت فوگ النقطة، والثانية صارت تحت النقطة. نگدر نستنتج هم إن النقطة بقت ثابتة، بس تغيرت إشارات كل من محوريها.

نكدر نستنتج إن التناظر على محور الصادات، هو بقاء الصاد ثابت قيمةً وإشارةً مع قلب إشارة السين، والتناظر على نقطة الأصل هي قلب إشارات الإثنين.

الصورة لتوضيح أكثر ..

فائدة هاي المُلاحظة: تكمن في الفصل الثالث والثاني، وإنت مو خسران شي لمّا تعرف شنو هو التناظر، إلي هو بالأصل من أساسيات الرياضيات.🤷🏻‍♂️

زين وين يفيدنا بالفصل الثاني؟

لمّا يگلك (نقطتان متناظرتان) وينطيك نقطتين مثلًا (1,1) و (-1,1) فأنت تحير، القطع وين ع محور الصاد لو السين ؟!

الملاحظة تگلّك انت شوف التناظر وين؟ إذا الإشارات المتشابهة هي السين، فالقطع ع محور السين، وإذا الإشارات المتشابهه ع محور الصاد، فالقطع ع محور الصاد ..

شوف الصورة عاليمين، قطع مكافئ، يمر بالنقطتين (2,6.3) والنقطة (-6,3 ، 2) ، التناظر ع محور السينات، والقطع سيني، بكل اختصار إذا كانت النقطتين إلي يمر بيها القطع بيها تناظر سيني، ف بديهيًا القطع حيكون سيني ..

زين لو نفترض النقطة مابيها تناظر سيني؟ ويكلك يمر بالنقطة (6.3 , -2) فيكون كاعد يجذب عليك، لأن كلش واضح بالرسمة، القطع مايمر بأي شي بيه سالب، وجهته كلها موجبة .. مادام جهته كلها موجبة، يعني كل القيم السينية إله لازم تكون موجبة، وإذا كان تناظر النقطة اليمر بيها عالصاد، ف بديهيا يكون وجه القطع عالصاد ..

هذا إختصار لمفهوم التناظر، وبس🏃🏻‍♂️

اليگول مبروك يتعاقب

مُبَارك ..

مَبْروك من بَرك - بركت ، وهو جلوس الناقة

وشكرا

باركولنا

5000🥳

(1)

بَعيدًا عن الملخّصات .. الّي اِختفت لأني كنت أفك تراكماتي وضغوط الدراسة🏃🏻‍♂️

تعالوا نسولف شوي عن مُبْرهنة رول .. ولَتْخاف، حتلو مواصَل إلها بَعدك هم حَيفيدك هالكلام.

رُول هو عالم فِرنسي، وأول من تكلّم عن هذا البرهان سنة ١٦٩١، وكحال كُلّ الطلاب أول ماتشوف كلمة (برهان) حيجيك إيرور .. هو شنو يعني أصلًا برهان !؟

البُرْهان كلمة سمعناها هواي، مبرهنة فيثاغورس، مبرهنة ديموفر، وهسة مبرهنة رول ومبرهنة القِيمَة المتوسطة، البُرْهان هي سلسلة من الخَطوات لإثبات صحّة عبارة رياضيّة ما، إنت حتگول عبارة معيّنة، بعدها حتبثت صحتها بهذي البَراهين ، مثل لما تكون عندك نظرية ما، وحتثبتها بمجموعة من الخطوات المنطقية .. ع سبيل المَثال خل ننطي عبارة معيّنة، نگول (مجموع أي عددين فرديين هو عدد زوجي)

هالعِبَارة إذا ردنا نحوّلها لمبرهنة، فحتكون (a + b = 2k) بحيث يكون a,b عددان فرديان و k عدد صَحيح، ومادام مضروب في 2، فهو بلا شك عدد زوجي.

وكذلك مبرهنة رول، الي تتخصص بالتَفاضل والدوال ومو أي دوال، لا بَسْ الي تنطبق عليها مجموعة من الشروط (اِلّي حنعرفها بعدين) .. بَس قبل كل شي لازم نعرف، شنو أصلًا معنى دالّة ؟

باللغة العَربيّة عدنا كلمة جميلة اِسمها (دَوَلْ) أو (دِوَلْ) والّي معناه الشيء المتغيّر والي مايثبت من حَال لحال، مثلًا تگول لواحد (الأيَّامُ دُوَلٌ) يعني الأيَّام تتغير ومتبقى أكيدًا ثابتة. أو مثل ميگول الشَّاعر:

قُلْ للغَرورِ إذَا رَاقَتْ مَحاسِنُها .. إنَّ المَحاسنَ فِي وَجْهِ النِّسَا دِوَلُ

إذًا نگدر (عن طريق هذه اللفظة) نتوقع أن الدَالّة مو شيء ثابت، لا شيء متغيّر .. بس شلون ؟

يعرّف الرياضيون الدوال كأنها هي صندوق، ندخللها مجموعة من المُدْخلات، وهي تطلعلنا نَواتج .. مثلًا خلناخذ دَالّة (المُدْخل تربيع + ٦) ، ونحدد مجموعة من المُدْخلات، مثلًا (1,2,3)

من نبدي ندخّل هالمُدْخَلات لهلصندوق حينطيني نواتج حسب تعريف هاي الدالة، مثلًا

(1²+ 6 = 7)
(2² + 6 = 10)
(3² + 6 = 15)

هسة هنا عندي مدخلات (1,2,3) وعندي مُخْرجات (7,10,15) ، المدخلات حنسميها قِيَمْ X والمُخْرجات قيم Y ، والدَالّة راح نكدر نعرفها ب (X² + 6 = Y)، وهاي كل أساسيات الدَالّة

يعني هنا نكدر نعيد تعريف الدَالّة ونكول، الدالة تدلل النا عالعلاقة بين x,y، بين المدخلات وبين المخرجات، وتراوينا شلون راح تتحول المدخلات إلى مخرجات، على سَبِيل المثال، دَالّة تبين إلنا تغير المسافة بالنسبة للزمن، أو تغير شيء بالنسبة لشيء آخر ، وغيرها .

وشوف الصورة، ولاحظ شلون أن لما كانت x=1 بالدالة، الـy كانت تساويلنا 7، وشلون تغيرت y من تغيرت x

زين، شنو هو الإشتقاق!

الدالة عادةً تراوينا تغير X,Y بس الإشتقاق حيراوينا شلون حيتغير X,Y .. تخيّل وياي إنك حتروح من نقطة معينة لبيتكم لمدرستكم، هاي الدالة، بس الاشتقاق حيراويك لما تكون إنت بنص الكيّة رايح للمدرسة، حتى نعرف هاللحظة، نشتق الدَالّة، وحتى نعرف نقطة لما تكون انت يم بيتكم بعدك ما واصل لراس الشارع، نشتق الدالة اشتقاق ثاني، لحد ما نشتق اشتقاق اخير الي حيراوينا لما تكون انت ببيتكم، يعني أي دالة بالكون تبقى تشتقها، حتوصل لنقطة 0، وهذا هو التفاضل

هسّة .. شنو مبرهنة رول؟

.. إحنا نعرف إننا إذا أردنا نرسم الدالة، فحنرسمها عن طريق مستقيم الأحداث، يعني مجموعة من النقط نربطها ببعض وحتنطينا شكل يكون هو شكل الدالة .. مبرهنة رول هي مبرهنة سوّاها العالم رول، تگلّك ترا أكو دوال الي تنطبق عليها الشروط، تكون هاي الدوال بيها نقطة نسميها نقطة حرجة، الدالة مو عبارة عن مجموعة من النقاط؟ وحدة من هاي النقاط حنسميها الحرجة ونرمز لها بالرمز C، ولما نشتق الدالة يم هاي النقطة تلقائيًا حيكون ناتج الاشتقاق صفر! يعني ميحتاج نشتق اشتقاق اول وثاني وثالث ورابع لحد ما نوصل للصفر، لا .. إشتقاق واحد بهلنقطة گبل هالناتج حيكون صفر، لذلك لما إجه رول يحول هاي المبرهنة لصيغة رياضية كلك f’(c) = 0 .. يعني (إشتقاق الدالة عند النقطة C يساوي صفر)

زين .. تعال يا رول ، شنو هالشروط ؟!

رول يجاوبنا ب ٣ نقاط، قد تكون مبهمة كلّش بالنسبة إلنا لما نسمعها لاول مرة، بس لما نفهم معناها حتلكى انها شغلات بديهية ومفهومة وما يحتاج يحفّظك ياها المدرّس، الثلاث شروط هي كما يلي:

١- يجب أن تكون الدالة مستمرة في الفترة المغلقة [a,b]
٢- يجب أن تكون الدالة قابلة للاشتقاق في الفترة المفتوحة (a,b)
٣- يجب أن تكون f(a) = f(b)

هاي الثلاث شروط بيا دالة نشوفها متوفرة، كبل حنكول ترا هاي الدالة بيها نقطة حرجة، وممكن انت تسأل .. شنو فايدة هذا؟ انتظر يا عزيزي نشرح الشروط، ونرجع نبيّن الفايدة العملية .

2

الشرط الأول: أن تكون مستمرة في الفترة المغلقة [a,b]

هاي الدالة إلي أمامنا دالة محققة جميع شروط المبرهنة، نكدر نلاحظ أنها تحتوي على نقطتين تبدي منها الدالة وتنتهي بيها الدالة، النقطة الأولى a، وتنتهي الدالة بb ، رول يگلك انت لازم تشوف الدالة بين a,b إذا جانت مستمرة فهي تحقق الشرط، إذا لا فهي ماتحقق الشرط، شنو معنى مستمرة؟ معنى مستمرة يعني هاي الدالة ما تحتوي على فجوات (قطوعات) لا تجي كخط واحد من a,b ، وأيضًا مستمرة يعني ماكو نقطة غير معرفة بين هاي النقطتين ، يعني ماكو قيمة لا تنتمي لمجموعة الأعداد الحقيقية بين a,b ، مرات تكون عدنا دوال، من نجي نشوف نقاطها نلاحظ أكو نقطة منها مثلًا جذر سالب واحد، هالعدد مو معرف بمجموعة الأعداد الحقيقية لأنه عدد مركب! فتعتبر هالدالة غير مستمرة وتحتوي على فجوة، (مقطوعة) بين هالنقطتين .. صار واضح؟

زين .. شلون نتأكد من الاستمرارية، هل لازم نكعد نرسم الدالة نقطة نقطة؟ لأ، الدالّة نعرفها مستمرّة من ٣ شروط نسميها شروط الاستمرارية، تاخذها بالفصل الثالث إن شاء الله

*شوف الصورة الأولى عاليسار حتى تفهم

الشرط الثاني: أن تكون قابلة للاشتقاق في الفترة المفتوحة (a,b)

لازم نتفق إن إشتقاق أي دالة، هو إيجاد المَيْل مالها .. شلون يعني؟ يعني لما تجي تشتق أي دالة بهلكون، فإنت حرفيًا دتلگه المَيل مال هاي الدالة، شنو هو الميل ؟ المستقيم المماس لهاي الدَالة .. ليش إحنا من نفاضل يعني دنلگه ميل الدَالّة ؟ سالفة طويلة وماتكفيها جم كلمة، الشي المطلوب تعرفه.. إن أي اِشتقاق هو إيجاد المَيْل ..

زين إحنا كل الدوال نكدر نشتقها ونلگه الميل مالها؟

إجابةً .. لأ ، لأن لو تتذكر بالفصل الرابع والخامس، إحنا چنا نلگة مَيْل الدائرة، وأخذنا ميل بالقطوع، المَيْل هو شي موجود بس بالمنحنيات، شكو منحني حيكون يحتوي على ميل، فلمّا يكلك لازم الدالة قابلة للاشتقاق، ديگلك يعني ترا لازم الدالة تكون منحني بيها مَيْل، يعني -مثل مدتشوف بالصورة- ، شكو شي بيه زاوية حادّة فهذا يعتبر ما بيه مَيْل، بالتالي مانكدر نشتقّه .. الميل لازم يكون منحني، لذلك رول ديگلك ترا ماكو نقطة حرجة إلا بالمنحنيات .. واضححح ؟ واضح🏃🏻‍♂️

الشرط الثالث: أن تكون صورة النقطة a تساوي صورة النقطة b

لو تلاحظ بالصورة الثالثة، حتلگه عدنا دالّة مطابقة لكل الشروط، بس بيها مشكلة بسيطة خلّاها تخرج عن مبرهنة رول، شنو هاي المشكلة؟ المشكلة ديكلك لازم a,b على محور واحد، يعني من تجر خط من a إلى b لازم الخط يكون مستقيم، يوصل بيناتهن ضبطًا .. إذا ماكانت الدالّة هيج، للأسف هي متحقق مبرهنة رول ..

الاستنتاج :

إجه عمنا رول وگال يا جماعة، باختصار .. الدالّة الي تحقق كل ذن ال٣ شروط، حيكون بيها نقاط حرجة (تكون في أعلى مناطق الدالّة أو في أدنى مناطق الدالّة) ، لما نجي نشتقها (نلگه الميل مالها) .. حنلاحظ أن هذا الميل يساوي صفر، يعني خط مستقيم مابيه مَيَلان .. شنو نستفاد من هالشي ؟

إذا كانت أرباحك بشركة معينة ع شكل دالة، ف النقطة الحرجة الي يسولفلنا رول عليها حتكون أكثر نقطة ربحا للفلوس، أو أقل نقطة ربحًا للفلوس، يعني حيراويك أعلى نقطة بهاي الدالة، وأقل نقطة بهاي الدالة، ويسميها هو (النقطة الحرجة)


وهذا هو بمحاولة إختصار مخلّ، لمبرهنة رول 🏃‍♂️

كالعادة الملف السابق متروس اخطاء

مو لشيء ترا بس حتى أختبركم .. وهذا الملف المعدّل 🏃🏻‍♂️

ركز، إحنا ما كلنا تخيلي وتخيلي، ولا حقيقي وحقيقي، احنا كلنا جزء حقيقي بجزء حقيقي، وجزء تخيلي بجزء تخيلي.

زين شنو الفرق بين الجزء والحد، وشنو معنى ثنائية الحدود أصلًا ؟

لازم تعرف أن أدوات الفصل بالرياضيات هي الجمع والطرح، شكو جمع وطرح حتلكه ع يمينه حد و ع يساره حد، ع سبيل المثال

(X + Y)

هنا السين حد، والصاد حد آخر. بينما لو گلنا

(X.Y)
فهذا كلّه إحنا نعتبره حد واحد إسمه سين بصاد، ليش؟ لأن الضرب مو أداة فصل، وكذلك لما نگول

(X/Y)

هذا هم حد واحد، لأن القسمة مو أداة فصل، هذا السبب هو الي يخلّينه نسمي مربع الحدانية بهل إسم، لأنه مربع لحدّين يفصل بينهم جمع وطرح، لذلك نسميه مربع حدّانية.

زين هسة شنو الفرق بين الجزء والحد؟

الحد هو الّي شرحناه، الجزء هو يتضمن بالحقيقة مجموعة من الحدود، قد يكون واحد واثنين وثلاثة، هذا كله نسميه جزء🏃🏻‍♂️

أتمنى وضحت

تعالوا نسولف عن هَاي الشَّخبوطة!

لمَّا شرحها لنا أستاذ متمكن لأوّل مرة، استغرق بيها حوالي ٤٥ دقيقة، وسمّاها بالـ"شخبوطة"

لأن هي حَرْفيًا مو موضوع لوحدة بالفصل الأول، ولا هي فدشي صعب مثلًا، بس هي تتضمن معاني وأمور حتأثر عالفصل الأول كاملًا!

وين ما تشوف عددين مركبين (بصيغتهم العادية) متساوين مع بعضهم البعض، فأنت من حقك تساوي الاجزاء الحقيقية بالاجزاء الحقيقية، والتخيلية بالتخيلية، ومحد إله حق يحاسبك

خلّي هاي الخَاصيّة بجيبك، ووين ما تشوف إشارة التساوي طبقها.


لملاحظات أكثر
‏https://t.me/Mathrol/3453