6. Jika f(x) = sin x cos 3x, maka f' (1/6π) =....
A. 1/2
B. -1/2
C. -1 1/2
D. -1/2 + √3
E. -1 1/2 + √3
Pembahasan:
f(x) = sin x cos 3x
u = sin x → u' = cos x
v = cos 3x → v' = -3 sin 3x
f(x) = u • v
f'(x) = u' • v + u • v'
f'(x) = cos x • cos 3x + sin x • -3 sin 3x
= cos x • cos 3x - 3sin x • sin 3x
f'(1/6π) = cos(1/6π) • cos 3(1/6π) - 3 sin(1/6π) • sin 3(1/6π)
= cos 30° • cos 90° - 3 sin 30° • sin 90°
= 1/2√3 • 0 - 3 • 1/2 • 1
= 0 - 3/2
= -3/2 => -1 1/2 (C)
7. Turunan pertama dari fungsi y = (sin x + cos x)² adalah y' =....
A. 0
B. 4 sin²x
C. 4 sin²x - 2
D. 4 cos²x - 2
E. 4 cos²x - 4
Pembahasan:
f(x) = (sin x + cos x)²
f'(x) = 2(sin x + cos x) (cos x - sin x)
= 2(cos²x - sin²x)
= 2(cos²x - 1 + cos²x)
= 2(2cos²x - 1)
= 4 cos²x - 2 (D)
8. Persamaan garis yang tegak lurus garis singgung kurva y = tan x di titik (π/4,1) adalah....
A. y = -x/2 + π/4 + 1
B. y = -x/2 + π/8 - 1
C. y = x/2 - π/8 - 1
D. y = -x/2 - π/4 - 1
E. y = -x/2 + π/8 + 1
Pembahasan:
Gradien garis singgung kurva y = tan x di titik (π/4,1) adalah:
y = tan x
m = y' = sec²x
= 1/cos²x
= 1/cos²(π/4)
= 1/(1/2√2)²
= 1/(1/4•2)
= 2
Dua garis saling tegak lurus maka perkalian kedua gradien garis adalah -1 atau m1 •m2 = -1, sehingga garis yang tegak lurus dengan garis singgung kurva gradiennya adalah m = -1/2
Persamaan garis yang tegak lurus dengan garis singgung kurva di titik (π/4,1) dan m = -1/2 adalah:
y - y1 = m(x - x1)
y - 1 = -1/2 (x-π/4)
y -1 = -1/2x + π/8
y = -1/2x + π/8 + 1 (E)
9. Nilai maksimum dari f(x) = 2cos 2x + 4 sin x untuk 0<x<π, adalah....
A. 2
B. 3
C. 4
D. -6
E. -12
Pembahasan:
Untuk menyelesaikan soal di atas kita coba selesaikan dengan uji turunan pertama f'(x) = 0
f(x) = 2cos 2x + 4 sin x
f'(x) = -4 sin 2x + 4 cos x
Untuk f'(x) = 0, kita peroleh:
-4 sin 2x + 4 cos x = 0
-4 2sin x cos x + 4 cos x = 0
-4 cos x (2sin x -1) = 0
-4 cos x = 0 atau 2 sin x -1 = 0
Cos x = 0 atau sin x = 1/2
Untuk 0<x<π kita peroleh:
• saat cos x = 0 nilai x yang memenuhi adalah x = 90°
f(x) = 2 cos 2x + 4 sin x
f(90°) = 2 cos 2(90°) + 4 sin (90°)
= 2 cos 180° + 4 sin 90°
= 2 (-1) + 4 (1) = 2
• saat sin x = 1/2 nilai x yang memenuhi adalah x = 30°,150°
f(x) = 2 cos 2x + 4 sin x
f(30°) = 2 cos 2 (30°) + 4 sin (30°)
= 2 cos 60° + 4 sin (30°)
= 2 (1/2) + 4 (1/2) = 3
f(x) = 2 cos 2x + 4 sin x
f(150°) = 2 cos 2 (150°) + 4 sin (150°)
= 2 cos 300° + 4 sin 150°
= 2 (1/2) + 4 (1/2) = 3 (B)
10. Apabila f(x) = x² - (-1/x) + 1, maka f'(x)=....
A. x - x²
B. x + x²
C. 2x - x^-2 + 1
D. 2x - x² - 1
E. 2x + x^-2
Pembahasan:
f(x) = x² - (1/x) + 1
= x² - x^-1 + 1
f'(x) = 2x - (-1)x^-1-1
= 2x + x^-2 (E)
